2018-2019学年四川省棠湖中学高二上学期开学考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年四川省棠湖中学高二上学期开学考试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 四川省棠湖中学2018-2019学年高二上学期开学考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若直线过点且与直线垂直,则的方程为(    )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所求直线与已知直线垂直可以求出斜率，再根据点斜式写出直线方程.‎ ‎【详解】‎ 因为的斜率，所以，由点斜式可得，即所求直线方程为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的位置关系及直线方程的点斜式，属于中档题.‎ ‎2．已知等差数列中，若，则它的前7项和为 A． 120 B． 115 C． 110 D． 105‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得，即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得=105.‎ 故答案为：D ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查等差数列的求和和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 等差数列中，如果m+n=p+q,则,特殊地，2m=p+q时，则，是的等差中项.‎ ‎3．在中，，，分别为角，，所对的边，若，则（ ）‎ A． 一定是锐角三角形 B． 一定是钝角三角形 C． 一定是斜三角形 D． 一定是直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，得到，确定出C为直角，即可得到三角形为直角三角形.‎ 解析：已知，利用正弦定理化简得：‎ ‎，‎ 整理得：，‎ ‎ ，‎ ‎ ，即.‎ 则为直角三角形.‎ 故选：D.‎ 点睛：利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路 ‎(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．‎ ‎(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论．‎ ‎4．一个球的内接正方体的表面积为54,则球的表面积为(　　)‎ A． 27π B． 18π C． 19π D． 54π ‎【答案】A ‎【解析】设正方体的棱长为，则，解得。‎ 设球的半径为，则由正方体的体对角线等于球的直径得，解得。‎ 所以球的表面积为。选A。‎ ‎5．若a，b∈R且a＋b＝0，则‎2a＋2b的最小值是(　　)‎ A．2　　B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：a，b∈R且a＋b＝0，则‎2a＋2b，选A ‎6．给出下列四种说法：‎ ‎① 若平面，直线，则；‎ ‎② 若直线，直线，直线，则；‎ ‎③ 若平面，直线，则； ‎ ‎④ 若直线，，则. 其中正确说法的个数为 (　）‎ A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线面关系举反例否定命题，根据面面平行定义证命题正确性.‎ ‎【详解】‎ 若平面，直线，则可异面；‎ 若直线，直线，直线，则可相交，此时平行两平面的交线；‎ 若直线，，则可相交，此时平行两平面的交线；‎ 若平面，直线，则无交点，即；选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行关系，考查空间想象能力以及简单推理能力.‎ ‎7．设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,等于 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据条件解出公差，再根据等差数列求和公式得，最后根据二次函数性质求最值取法.‎ ‎【详解】‎ 因为,,‎ 所以，‎ 因此当时，取最小值，选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列和项，考查基本求解能力.‎ ‎8．已知cosα＝，α∈()，则cos等于 A． B． － C． D． －‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得,解方程即得cos的值.‎ ‎【详解】‎ 由题得,所以cos ‎ 故答案为：B ‎【点睛】‎ ‎（1）本题主要考查二倍角公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) ,要注意灵活运用.‎ ‎9．一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1、、3，则这个三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：以为三边，补成一个长方体，则三棱锥的外接球球心为长方体的对角线中点，直径为，外接球的表面积为 考点：三棱锥的外接球 ‎【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.‎ ‎10．已知，，，则、、的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数与对数函数的单调性，利用幂函数的性质即可得出．‎ ‎【详解】‎ a=0.52.1∈（0，1），b=20.5＞1，c=0.22.1，‎ ‎∵y=x2.1为增函数，∴0.52.1＞0.22.1，‎ ‎∴a＞c，‎ ‎∴b＞a＞c．‎ 故答案为：D ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查幂函数的图像和性质，考查了推理能力与计算能力．‎ ‎11．的内角的对边分别为，已知，，则的面积的最大值为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形面积公式和不等式性质，可求得三角形面积的最大值。‎ ‎【详解】‎ 因为，所以 又因为，所以 ‎ ‎ ‎ 所以的面积的最大值为 所以选B ‎【点睛】‎ 本题考查了结合不等式性质求三角形面积，对条件式进行化简，属于基础题。‎ ‎12．将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象．若函数在区间上单调递增，且的最大负零点在区间上，则的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平移法则得到平移后的解析式，由函数在区间上单调递增且求得；因为最大负零点在内，进而求得，求交集即可得到的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 将函数的图象向右平移 可得 因为函数在区间上单调递增 所以 ，解不等式组得 ‎ 因为 所以 函数的零点为，‎ 即 ，最大负零点在内 所以，化简得 因为 所以 由可知，的取值范围为 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数性质的综合应用，三角函数的平移、单调性、零点等，涉及知识点多，综合性强，是难题。‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知数列的前项和为，则数列的通项公式为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时， ；当时， ，故数列的通项公式为 ‎ ‎14．已知向量满足，，且，则与的夹角为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量垂直及数量积运算，表示出夹角即可。‎ ‎【详解】‎ 因为 所以，即 ‎ 根据向量的数量积运算，则 代入化简得 ‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量垂直及数量积的定义，属于基础题。‎ ‎15．一个圆锥的底面半径为，高为，在其中有一个高为 的内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时， ________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆柱的半径为r，由，可得r=，又l=x（0＜x＜6），可得圆柱侧面积，利用配方法求出最大值．‎ ‎【详解】‎ 设圆柱的半径为r，由，可得r=，又l=x（0＜x＜6）‎ 所以圆柱的侧面积=，‎ 当且仅当x=3cm时圆柱的侧面积最大．‎ 故答案为：3cm ‎【点睛】‎ ‎（1）本题考查圆柱侧面积，考查配方法，考查学生分析解决问题的能力．（2）解答本题的关键是求出圆柱的侧面积=.‎ ‎16．已知、、是的三个内角，且， ，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】， ，得，因此，故答案为.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．（1）已知点A(－1，－2)和B(－3,6)，直线经过点P(1，－5)．且与直线AB平行，求直线的方程 ‎(2)求垂直于直线 ，且与点的距离是的直线的方程。‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据平行关系得直线斜率，金额由点斜式写方程即可；‎ ‎（2）由垂直得斜率，设直线m的方程为，利用点到直线距离列方程求解即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1） 直线又过点P(1，－5)，则直线的方程为： ‎ ‎（2）由已知条件可得，则设直线m的方程为，‎ 又与点的距离是，则，得到， ‎ ‎.‎ ‎18．已知数列的前项和为，且．‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)若数列的前项和为，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由递推公式得到，得到，得证；（2）由第一问得到，错位相减求和即可。‎ 解析：‎ 当时，，解得．‎ 当时，，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列，‎ 故．‎ ‎，‎ 则，‎ ‎，‎ 上面两式相减，可得 ‎，‎ ‎，‎ 化简可得．‎ 点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。‎ ‎19．已知函数 ‎（1）求的最小正周期和最值 ‎（2）设是第一象限角，且求的值。‎ ‎【答案】（1）的最小正周期是，最大值为，最小值为；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解函数的周期以及函数的最值． （2）由条件代入解析式得，化简求解即可．‎ 试题解析：‎ ‎(1) ‎ 的最小正周期是，最大值为 ，最小值为 ‎（2）‎ 则 则 即 ‎ 又为第一象限的角 则 ‎ .‎ ‎20．如图，在四棱锥中，底面为正方形，,. ‎ ‎（Ⅰ）若是的中点，求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若，，求三棱锥的高.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2） .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）连接交于,连接.在三角形中,中位线 ,且平面,平面,∴平面；（Ⅱ）由,可得与底面垂直，在中，设的中点为，连接，则是三棱柱的高，计算出三角形与面积，利用可求得点到平面的距离为.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）连接交于,连接.在三角形中,‎ 中位线 ,‎ 且平面,平面,‎ ‎∴平面.‎ ‎（Ⅱ）在中，设的中点为，连接，则，又，‎ ‎∴,又∵，‎ ‎∴，∴ ，解得.‎ 所以点到平面的距离为：.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥的高，属于中档题.‎ 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.‎ ‎21．在中，角的对边分别为，已知， .‎ ‎（1）若，求的面积；‎ ‎（2）求的最大值，并判断此时的形状.‎ ‎【答案】（1） （2） 的最大值为 ‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式，结合C是三角形的内角，可求C； （2）利用正弦定理，将化为，进而可得，即可求得结论．‎ 试题解析：‎ 解：由 ‎，‎ 由余弦定理得： ‎ ‎ ‎ ‎（2）法一： ‎ ‎ ‎ 此时为等边三角形 法二：由余弦定理得： ‎ ‎ ‎ 当且仅当等号成立， ‎ 此时为等边三角形.‎ 点睛：在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若f(x)在内为增函数，求实数a的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)若关于x的方程在[1,3]内有唯一实数解，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）； （2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题得，解不等式即得a的取值范围. (Ⅱ)转化为方程=在内有唯一实数解，即在内有唯一实数解，再数形结合求出a的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)设，由题知在上为增函数，‎ ‎ 且>0即解得.‎ ‎（2）关于的方程在内有唯一实数解 即方程=在内有唯一实数解， ‎ 在内有唯一实数解，‎ 设，则在单调递减，在单调递增，‎ ‎ 且，，‎ 或，或.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查函数单调性，考查对数函数的图像和性质，考查函数的零点，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)第2问解答的关键有三个，其一是是先转化为转化为方程=在内有唯一实数解，其二是转化为在内有唯一实数解，其三是数形结合求出a的取值范围.‎