高中数学-求数列通项公式的十种方法

高中数学-求数列通项公式的十种方法

求数列通项公式的十一种方法 总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：‎ 累加法、‎ 累乘法、‎ 待定系数法、‎ 阶差法（逐差法）、‎ 迭代法、‎ 对数变换法、‎ 倒数变换法、‎ 换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、‎ 数学归纳法、‎ 不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、‎ 特征根法 二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。‎ ‎ 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。‎ ‎ 四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。‎ ‎ 五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。‎ 一、累加法 ‎ ‎1．适用于： ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。‎ ‎2．若，‎ 则 ‎ 两边分别相加得 ‎ 例1 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：由得则 所以数列的通项公式为。‎ 例2 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解法一：由得则 所以 解法二：两边除以，得，‎ 则，故 因此，‎ 则 练习1.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式. 答案：‎ 练习2.已知数列满足，，求此数列的通项公式. 答案：裂项求和 ‎ 评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.‎ ①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;‎ ②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;‎ ③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;‎ ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。‎ 例3.已知数列中, 且,求数列的通项公式.‎ 解:由已知得,‎ 化简有,由类型(1)有,‎ 又得,所以,又,,‎ 则 此题也可以用数学归纳法来求解.‎ 二、累乘法 ‎ ‎1.○。 ------------适用于： ----------这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。‎ ‎2．若，则 两边分别相乘得，‎ 例4 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：因为，所以，则，故 所以数列的通项公式为 例5.设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，…），则它的通项公式是=________.‎ 解：已知等式可化为：‎ ‎()(n+1), 即 时，‎ ‎==.‎ 评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.‎ 练习.已知,求数列{an}的通项公式.‎ 答案：-1.‎ 评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为 若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.‎ 三、待定系数法 适用于 ‎ 基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。‎ ‎1．形如,其中)型 ‎（1）若c=1时，数列{}为等差数列;‎ ‎（2）若d=0时，数列{}为等比数列;‎ ‎（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.‎ 待定系数法：设,‎ 得,与题设比较系数得 ‎,所以所以有：‎ 因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，‎ 所以 即：.‎ 规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式 逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式. ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.‎ 例6已知数列中，，求数列的通项公式。‎ 解法一：‎ ‎ ‎ ‎ 又是首项为2，公比为2的等比数列 ‎ ，即 解法二：‎ ‎ ‎ ‎ 两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的……‎ 练习．已知数列中，求通项。‎ 答案：‎ ‎2．形如： (其中q是常数，且n0,1) ‎ ①若p=1时，即：，累加即可.‎ ②若时，即：，‎ 求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列 即： ,令，则,然后类型1，累加求通项.‎ ii.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。‎ ‎ 即： ,‎ 令,则可化为.然后转化为类型5来解，‎ iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列 设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.‎ 注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。‎ 例7已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解法一（待定系数法）：设，比较系数得，‎ 则数列是首项为，公比为2的等比数列，‎ 所以，即 解法二（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略 解法三（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略 练习.（2003天津理）‎ 设为常数，且．证明对任意≥1，；‎ ‎3．形如 (其中k,b是常数，且)‎ 方法1：逐项相减法（阶差法）‎ 方法2：待定系数法 通过凑配可转化为 ; ‎ 解题基本步骤：‎ ‎1、确定=kn+b ‎2、设等比数列，公比为p ‎3、列出关系式,即 ‎4、比较系数求x,y ‎5、解得数列的通项公式 ‎6、解得数列的通项公式 例8 在数列中，求通项.（逐项相减法）‎ 解：， ①‎ 时，，‎ 两式相减得 .令,则 利用类型5的方法知 即 ②‎ 再由累加法可得. 亦可联立 ① ②解出.‎ 例9. 在数列中，,求通项.（待定系数法）‎ 解：原递推式可化为 比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为 所以是一个等比数列，首项,公比为. 即：‎ 故.‎ ‎4．形如 (其中a,b,c是常数，且)‎ 基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。‎ 例10 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：设 ‎ 比较系数得， ‎ 所以 ‎ 由，得 则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。‎ ‎5.形如时将作为求解 分析：原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列为等比数列。‎ 例11 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：设 ‎ 比较系数得或，不妨取，（取-3 结果形式可能不同，但本质相同）‎ 则，则是首项为4，公比为3的等比数列 ‎，所以 练习.数列中，若,且满足,求.‎ 答案： .‎ 四、迭代法 (其中p,r为常数)型 例12 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：因为，所以 又，所以数列的通项公式为。‎ 注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。‎ 例13.（2005江西卷）‎ 已知数列，‎ ‎（1）证明 （2）求数列的通项公式an.‎ 解：（1）略（2）所以 ‎ 又bn=－1，所以.‎ 方法2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.解法3：设c，则c,转化为上面类型（1）来解 五、对数变换法 适用于(其中p,r为常数)型 p>0， ‎ 例14. 设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.‎ 解：两边取对数得：，，设，则 是以2为公比的等比数列， ，，，∴‎ 练习 数列中，，（n≥2），求数列的通项公式. ‎ 答案：‎ 例15 已知数列满足，，求数列的通项公式。‎ 解：因为，所以。‎ 两边取常用对数得 ‎ 设 （同类型四）‎ 比较系数得， ‎ 由，得，‎ 所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此 则。‎ ‎ ‎ 六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例16 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：求倒数得为等差数列，首项，公差为，‎ 七、换元法 适用于含根式的递推关系 例17 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：令，则 代入得 即 因为， ‎ 则，即，‎ 可化为，‎ 所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得 ‎。 ‎ 八、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。‎ 例18 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：由及，得 由此可猜测，下面用数学归纳法证明这个结论。‎ ‎（1）当时，，所以等式成立。‎ ‎（2）假设当时等式成立，即，则当时，‎ 由此可知，当时等式也成立。‎ 根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。‎ 九、阶差法（逐项相减法） ‎ ‎ 1、递推公式中既有，又有 ‎ 分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。‎ 例19 已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。‎ 解：∵对任意有 ⑴‎ ‎∴当n=1时，，解得或 当n≥2时， ⑵‎ ⑴-⑵整理得：‎ ‎∵各项均为正数，∴‎ 当时，，此时成立 当时，，此时不成立，故舍去 所以 ‎ 练习。已知数列中, 且,求数列的通项公式.‎ 答案： ‎ ‎2、对无穷递推数列 例20 已知数列满足，求的通项公式。‎ 解：因为 ①‎ 所以 ②‎ 用②式－①式得 则 故 所以 ③‎ 由，，则，又知，则，代入③得。‎ 所以，的通项公式为 ‎ 十、不动点法 目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法 不动点的定义：函数的定义域为，若存在，使成立，则称为的不动点或称为函数的不动点。‎ 分析：由求出不动点，在递推公式两边同时减去，在变形求解。‎ 类型一：形如 例21 已知数列中，，求数列的通项公式。‎ 解：递推关系是对应得递归函数为，由得，不动点为-1‎ ‎∴，……‎ 类型二：形如 分析：递归函数为 ‎（1）若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得，其中，∴‎ ‎（2）若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得，其中。‎ 例22. 设数列满足,求数列的通项公式.‎ 分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.‎ 解：对等式两端同时加参数t,得：‎ ‎,‎ 令, 解之得t=1,-2 代入得 ‎,,‎ 相除得,即{}是首项为，‎ 公比为的等比数列, =, 解得.‎ 方法2：‎ ‎，‎ 两边取倒数得，‎ 令b，则b,转化为累加法来求. ‎ 例23 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：令，得，则是函数的两个不动点。因为 ‎。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。‎ 练习1：已知满足，求的通项 答案：‎ 练习2。已知数列满足，求数列的通项 答案：‎ 练习3.（2009陕西卷文）‎ 已知数列满足， .‎ 令，证明：是等比数列；‎ ‎(Ⅱ)求的通项公式。‎ 答案：（1）是以1为首项，为公比的等比数列。（2）。‎ 十一。特征方程法 形如是常数）的数列 ‎ 形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①‎ 若①有二异根，则可令是待定常数）‎ 若①有二重根， 则可令是待定常数）‎ 再利用可求得，进而求得 例24 已知数列满足，求数列的通项 解：其特征方程为，解得，令，‎ 由，得， ‎ 例25 已知数列满足，求数列的通项 解：其特征方程为，解得，令，‎ 由，得， ‎ 练习1．已知数列满足，求数列的通项 练习2．已知数列满足 ‎，求数列的通项 说明：(1)若方程有两不同的解s , t,‎ 则, ,‎ 由等比数列性质可得, ,‎ 由上两式消去可得.‎ ‎(2)若方程有两相等的解，则 ‎，‎ ‎,即是等差数列，‎ 由等差数列性质可知，‎ 所以 ‎ 例26、数列满足，且求数列的通项。‎ 解：……①‎ 令，解得，将它们代回①得，‎ ‎……②，……③，‎ ‎③÷②，得,‎ 则，∴数列成等比数列，首项为1，公比q=2‎ 所以，则，‎ 十二、四种基本数列 ‎1．形如型 等差数列的广义形式，见累加法。‎ ‎2.形如型 等比数列的广义形式，见累乘法。‎ ‎3.形如型 ‎（1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;‎ ‎（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，，分奇偶项来分求通项.‎ 例27. 数列{}满足,,求数列{an}的通项公式.‎ 分析 1：构造 转化为型 解法1：令 则.‎ 时,各式相加:‎ 当n为偶数时，. 此时 当n为奇数时，‎ 此时,所以.故 解法2：‎ 时，，两式相减得：.‎ 构成以,为首项，以2为公差的等差数列;‎ 构成以,为首项，以2为公差的等差数列 ‎ .‎ ‎ 评注：结果要还原成n的表达式.‎ ‎（江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足 Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式.‎ 解：方法一：因为 ‎ 以下同上例，略 ‎ 答案 ‎ ‎4.形如型 ‎（1）若(p为常数)，则数列{}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;‎ ‎（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.‎ 例29. 已知数列,求此数列的通项公式.‎ 注：同上例类似，略.‎ ‎5．形如型 ‎(1)若是常数，同题型1.‎ ‎(2)若是一次式同题型1‎ ‎(3)若是二次式。‎ 例1．(陕西理20)已知正项数列，其前n项和S 满足成等比数列，且10 S= ，求数列的通项公式.‎ 解:∵10 S= ①‎ ‎∴‎ 又10 S=(2), ②‎ ① - ②,得，‎ 即.‎ ‎∵∴.‎ 当.此时不成等比数列，∴.‎ 当.此时有.∴.‎ ‎∴.‎ 评注:该题用即的关系, .‎ 消去,也可用的方法求出.‎ 例2．（重庆理科21）已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列满足，并记为的前项和，‎ 求证：．‎ 解：（I）解由，解得或，‎ 由假设，因此，‎ 又由，‎ 得，即或，‎ 因，故不成立，舍去 ‎ 因此，从而是公差为，首项为的等差数列，‎ 故的通项为．‎ ‎（II）证法一：由可解得；‎ 从而．‎ 因此．‎ 令，‎ 则．‎ 因，故．‎ 特别地，从而．‎ 即．‎ 证法二：同证法一求得及，‎ 由二项式定理知，当时，不等式成立．‎ 由此不等式有 证法三：同证法一求得及． ‎ 令，．‎ 因．‎ 因此．‎ 从而 ‎．‎ 证法四：同证法一求得及．‎ 下面用数学归纳法证明：．‎ 当时，，，‎ 因此，结论成立．‎ 假设结论当时成立，即．‎ 则当时，‎ ‎；‎ 因．故．‎ 从而．这就是说，当时结论也成立．‎ 综上对任何成立．‎ 例3．（全国理科2）设函数．数列满足，．‎ ‎（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；‎ ‎（Ⅱ）证明：；‎ ‎（Ⅲ）设，整数．证明：．‎ 解：（Ⅰ）证明：，‎ 故函数在区间(0,1)上是增函数．‎ ‎（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，，‎ ‎．‎ 由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间 是增函数，，即成立；‎ ‎（ⅱ）假设当时，成立，即 那么当时，由在区间是增函数，得：‎ ‎.而，则，‎ ‎，也就是说当时，也成立；‎ 根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立．‎ ‎ （Ⅲ）证明：由．可得：‎ ‎．‎ ‎1、若存在某满足，则．‎ ‎2、若对任意都有，则：‎ ‎ ‎ 成立．‎ 例4.已知数列中, 且,求数列的通项公式.‎ 解:由已知得,‎ 化简有,由类型(1)有,‎ 又得,所以,又,,‎ 则．‎ 6. 形如 例１．（湖南理科）（本小题满分12分）‎ 数列 ‎(Ⅰ)求并求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)设证明：当 ‎ 解 (Ⅰ)因为 一般地，当时，‎ ‎＝，即 所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此 当时，‎ 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此 故数列的通项公式为 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，‎ ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎ ①-②得，‎ 所以 要证明当时，成立，只需证明当时，成立.‎ ‎ 　证法一(1)当n = 6时，成立.‎ ‎ (2)假设当时不等式成立，即 则当n =k+1时，‎ 由(1)、(2)所述，当6时，，即当6时，‎ 证法二 ‎ 令，则 ‎ 所以当时，.因此当时，．‎ 于是当时，．综上所述，当时，．‎ ‎7. 形如型 例1．（重庆理科22）设各项均为正数的数列{}满足.‎ ‎（Ⅰ）若，求，并猜想的值（不需证明）；‎ ‎（Ⅱ）记对2恒成立，求的值及数列{bn}的通项公式.‎ 解：(Ⅰ)因　，　‎ ‎ 由此有，‎ 故猜想的通项为．∴‎ ‎ （Ⅱ）令．‎ ‎ 由题设知x1=1且 ， 　①‎ ‎ 　 ②‎ ‎ 因②式对n=2成立，有 　 ③‎ ‎ 下面用反证法证明：‎ ‎ 由①得． ‎ ‎ 因此数列是首项为，公比为的等比数列.故 ‎ ④‎ ‎ 又由①知 ‎ ‎ 因此是是首项为，公比为-2的等比数列,所以 ‎ ⑤‎ ‎ 由④-⑤得 ⑥‎ ‎ 对n求和得 ⑦‎ 由题设知 ‎ ‎ 即不等式22k+1＜，对恒成立.但这是不可能的，矛盾.‎ 因此x2,结合③式知2 =,‎ 因此代入⑦式得Sn = 2－(),‎ 所以bn = = ()‎ ‎8. 形如= 0型 例1．（2008年天津理科22）在数列与中，，数列的前项和满足,为与的等比中项，.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求数列与的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）设.证明.‎ 本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分14分 解：（Ⅰ）由题设有，，解得．由题设又有，，解得．‎ ‎（Ⅱ）解法一：由题设，，，及，，进一步可得，，，，‎ 猜想，，．‎ 先证，．‎ 当时，，等式成立．当时用数学归纳法证明如下：‎ ‎（1当时，，等式成立．‎ ‎（2）假设时等式成立，即，．‎ 由题设， 　　‎ ‎　　　　 ‎①的两边分别减去②的两边，整理得，从而 ‎．‎ 这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的成立．‎ 综上所述，等式对任何的都成立 再用数学归纳法证明，．‎ ‎（1）当时，，等式成立．‎ ‎（2）假设当时等式成立，即，那么．‎ 这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式 对任何的都成立． ‎ 解法二：由题设　　‎ ‎　　　 　 ‎①的两边分别减去②的两边，整理得，．所以 ‎　，　，……　，．‎ 将以上各式左右两端分别相乘，得，‎ 由（Ⅰ）并化简得，．‎ 止式对也成立．‎ 由题设有，所以，‎ 即，．‎ 令，则，即．‎ 由得，．所以，即，．‎ 解法三：由题设有，，‎ 所以，，……，．‎ 将以上各式左右两端分别相乘，得，化简得 ‎，．‎ 由（Ⅰ），上式对也成立．所以，．‎ 上式对时也成立．‎ 以下同解法二，可得，．‎ ‎（Ⅲ）证明：‎ ‎．‎ 当，时， ‎ ‎．‎ 注意到，‎ ‎　．‎ 当，时，‎ 当，时，‎ ‎．‎ 当，时，‎ ‎．‎ 所以．‎ 从而时，有 总之，当时有，即 ‎