2020高中数学 第3章 不等式 第四节 基本不等式1 基本不等式的证明习题 苏教版必修5
基本不等式的证明
（答题时间：40分钟）
1. 已知下列不等式①x＋≥2 ②x2＋≥2 ③x＜0，x＋≤－2 ④x＞0，x＋≥2
其中不等式成立的是 。（填写序号即可）
*2. 下列不等式的推导过程正确的是________。（填序号）
①若a，b∈R，则＋≥2＝2；
②若x＞0，则 cos x＋＝2；
③若x＜0，则＝4；
④若a，b∈R，且ab＜0，则＋＝－[（－）＋（－）]≤－2＝-2。
*3. 若0
>>b ② b>>>a
③ b>>>a ④ b>a>>
4. 若a<1，则a＋有最______（填“大”或“小”）值，为________。
*5. 若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围为________。
6. 已知m＝a＋ （a＞2），n＝22－b2（b≠0），则m，n之间的大小关系是________。
**7.（新课标Ⅱ）设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
（1）ab＋bc＋ca≤；（2） ≥1。
**8.（苏州市期末）已知a，b，x，y都是正数，且a＋b＝1，
求证：（ax＋by）（bx＋ay）≥xy。
***9．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
（1）≥8；
（2）≥9。
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1. ② ③ ④
解析：①中，若x＜0，则结论不成立；
②中，，成立；
③，成立；
④，成立。
2. ④
解析：对于①，不能确定与均为正数，不能使用基本不等式，同理，知②也不正确。对于③，x与均为负数，也不能使用基本不等式，所以③错误。对于④，将负数与分别转化为正数－，－，然后再利用基本不等式求解，所以正确。故填④。
3. ③
解析：∵0a＋b，∴b>。
∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a，故b>>>a。
4. 大 －1
解析：∵a<1，∴a－1<0，
∴－＝（1－a）＋≥2（a＝0时取等号），
∴a－1＋≤－2，∴a＋≤－1。
5.
解析：∵x>0，∴>0，易知a>0，
∴≥，∴≤x＋＋3，
∵x>0，x＋＋3≥2＋3＝5（x＝1时取等号），
∴≤5，∴a≥。
6. m＞n
解析：m＝a＋＝（a－2）＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a－2＝
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，即a＝3时，“＝”成立，故m∈[4，＋∞），由b≠0，得b2≠0，
∴2－b2＜2，∴22－b2＜4，即n∈（0,4），综上易得m＞n。
7. 证明：（1）由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca。
由题设得（a＋b＋c）2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，
所以3（ab＋bc＋ca）≤1，即ab＋bc＋ca≤。
（2）因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋（a＋b＋c）≥2（a＋b＋c），即＋＋≥a＋b＋c，
所以＋＋≥1。
8. 证明：∵a，b，x，y都是正数，
∴（ax＋by）（bx＋ay）＝ab（x2＋y2）＋xy（a2＋b2）
≥ab（2xy）＋xy（a2＋b2）
＝（a＋b）2xy，
∵a＋b＝1，∴（a＋b）2xy＝xy，
（ax＋by）（bx＋ay）≥xy成立。
9. 证明：（1），
∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴＋≥8（当且仅当a＝b＝时等号成立）．
（2）方法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＋＝1＋＝2＋，
同理，1＋＝2＋，
∴≥5＋4＝9，
∴≥9（当且仅当a＝b＝时等号成立），
方法二 ，
由（1）知，，故≥9。
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