高考卷 2007年普通高等学校全国招生统一考试 (广东卷)数学(理科) 参考答案及试题解析
2007年普通高等学校全国招生统一考试
(广东卷)数学(理科) 参考答案及试题解析
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合要求的。
1. 已知函数的定义域为，的定义域为，则
A. B. C. D.
【命题意图】考查函数的定义域和集合的基本运算
【参考答案】C
【原题解析】由解不等式1-x>0求得M=(-，1)，由解不等式1+x>0求得N=(-1，+)，因而MN=(-1，1)，故选C。
【备考锦囊】在备考中应把握好对基本概念的理解，尤其要把握好集合的交并补等基本运算。
2. 若复数是纯虚数（是虚数单位，是实数）则＝
A.2 B. C. D.-2
【命题意图】考查复数的运算和相关基本概念的理解
【参考答案】A
【原题解析】(1+bi)(2+i)=2-b+(1+2b)i，而复数(1+bi)(2+i)是纯虚数，那么由2-b=0且1+2b≠0得b=2，故选A。
3. 若函数
A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的偶函数
【命题意图】考查三角变换和三角函数的性质
【参考答案】D
【原题解析】通过二倍角公式可将f(x)等价转化为f(x)=cos2x，有余弦函数的性质知f(x)为最小正周期为的偶函数，选D。
【备考锦囊】运用二倍角公式来降幂是常用的技巧，备考中学生应该熟练的掌握这种方法
4. 客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是
【命题意图】考查分段函数
【参考答案】B
【原题解析】由题意可知客车在整个过程中的路程函数S(t)的表达式为
0≤t≤1
S(t)= 1≤t≤3/2
3/2≤t≤5/2
对比各选项的曲线知应选D。
【备考锦囊】学会在实际情景中对函数关系的理解
5. 已知数|an|的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5
显然此时有AB和AC不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为[，+）
17. 下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据.
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=;
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5）
【命题意图】考查线性回归的应用
【参考答案】(1)如下图
(2)=32.5+43+54+64.5=66.5
==4.5
==3. 5
=+++=86
故线性回归方程为y=0.7x+0.35
(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7100+0.35=70.35
故耗能减少了90-70.35=19.65(吨)
18. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.椭圆＝1与圆C的一个交点到椭圆两点的距离之和为10.
（1）求圆C的方程.
（2）试探安C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点P的距离等于线段OF的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【命题意图】考查考查圆的位置关系和圆锥曲线的基本概念的理解
【参考答案】(1)设圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则
=2
即=4 ①
又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得
m2+n2=8 ②
联立方程①和②组成方程组解得
故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8
(2)=5，∴a2=25，则椭圆的方程为 + =1
其焦距c==4，右焦点为(4，0)，那么=4。
要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x─4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。
通过联立两圆的方程解得x=，y=
即存在异于原点的点Q(，)，使得该点到右焦点F的距离等于的长。
19. 如图6所示，等腰△ABC的底边AB=6,高CD=3，点B是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.记
BE＝x，V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积.
（1）求V(x)的表达式；
（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？ 图6
（3）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值
【命题意图】考查棱锥的体积的求法，函数的极值和空间直线的关系
【参考答案】(1)已知EFAB,那么翻折后，显然有PEEF,又PEAE,从而PE面ABC,即PE为四棱锥的高。
四棱锥的底面积S=-
而△BEF与△BDC相似，那么
===
则S=-=（1-）63=9（1-）
故四棱锥的体积V(x)=SH=9（1-）=3（1-）(00,V(x)单调递增；x∈(6，3)时V’(x)><0,V(x)单调递减；因此x=6时， V(x)取得最大值V(x)max= V(6)=12
(3)过P作PQ∥AC交AB于点Q
那么△PQF中
PF=FQ=
而PQ=6
进而求得cos∠PFQ=
故异面直线AC与PF所成角的余弦值为
20. 已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函数y=f(x)在区间［-1,1］上有零点，求a的取值范围。
【命题意图】考查函数的综合运用
【参考答案】当a=0时，函数为f (x)=2x -3，其零点x=不在区间[-1，1]上。
当a≠0时，函数f (x) 在区间[-1，1]分为两种情况：
①函数在区间[─1，1]上只有一个零点，此时
或
解得1≤a≤5或a=
②函数在区间[─1，1]上有两个零点，此时
或
解得a5或a<
综上所述，如果函数在区间[─1，1]上有零点，那么实数a的取值范围为
(-∞, ]∪[1, +∞)
21. 已知函数f(x)=x2+x-1,α、β是方程f(x)=0的两个根（α>β）.f′(x)是f(x)的导数.设a1＝1，an+1=an-(n=1,2,…)。
(1)求α、β的值；
(2)证明：任意的正整数n，都有an>a;
(3)记bn-(n=1,2,…),求数列{bn}的前n项和Sn。
【命题意图】考查数列应用
【参考答案】(1)解方程x2+x-1=0得x=
由>β知=,β=
(2) f’ (x)=2x+1
= - =
下面我们用数学归纳法来证明该结论成立
①当n=1时，a1=1<=成立，
②假设n=k(k≥1, k∈N*)时，结论也成立，即ak<成立，
③那么当n=k+1时，
==-+<-+=+=
这就是说，当n=k+1时，结论也成立，故对于任意的正整数n，都有an<
(3)
= = =
=()2
由题意知an>,那么有an>β，于是对上式两边取对数得
ln=ln()2=2 ln()
即数列{bn}为首项为b1= ln()=2ln( )，公比为2的等比数列。
故其前n项和
Sn=2ln( ) =2ln( )(2n -1)
