2014高考湖南（理科数学）试卷

2014高考湖南（理科数学）试卷

‎2014·湖南卷(理科数学)‎ ‎1．[2014·湖南卷] 满足＝i(i为虚数单位)的复数z＝(　　)‎ ‎　 　　　　　 　　　　　 　　　　‎ A.＋i B.－i C．－＋i D．－－i ‎1．B　[解析] 因为＝i，则z＋i＝zi，所以z＝＝＝.‎ ‎2．[2014·湖南卷] 对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则(　　)‎ A．p1＝p2＜p3 B．p2＝p3＜p1‎ C．p1＝p3＜p2 D．p1＝p2＝p3‎ ‎2．D　[解析] 不管是简单随机抽样、系统抽样还是分层抽样，它们都是等概率抽样，每个个体被抽中的概率均为.‎ ‎3．[2014·湖南卷] 已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　)‎ A．－3 B．－1 C．1 D．3‎ ‎3．C　[解析] 因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，‎ 所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.‎ ‎4．[2014·湖南卷] 的展开式中x2y3的系数是(　　)‎ A．－20 B．－5‎ C．5 D．20‎ ‎4．A　[解析] 由题意可得通项公式Tr＋1＝C(－2y)r＝C(－2)rx5－ryr，令r＝3，则C(－2)r＝C××(－2)3＝－20.‎ ‎5．[2014·湖南卷] 已知命题p：若x＞y，则－x＜－y，命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是(　　)‎ A．①③ B．①④‎ C．②③ D．②④‎ ‎5．C　[解析] 依题意可知，命题p为真命题，命题q为假命题．由真值表可知p∧q为假，p∨q为真，p∧(綈q)为真，(綈p)∨q为假．‎ ‎6．[2014·湖南卷] 执行如图11所示的程序框图．如果输入的t∈[－2，2]，则输出的S属于(　　)‎ A．[－6，－2] B．[－5，－1]‎ C．[－4，5] D．[－3，6]‎ 图11‎ ‎6．D　[解析] (特值法)当t＝－2时，t＝2×(－2)2＋1＝9，S＝9－3＝6，所以D正确．‎ ‎7．、[2014·湖南卷] 一块石材表示的几何体的三视图如图12所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于(　　)‎ 图12‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎7．B　[解析] 由三视图可知，石材为一个三棱柱(相对应的长方体的一半)，故可知能得到的最大球为三棱柱的内切球．由题意可知正视图三角形的内切圆的半径即为球的半径，可得r＝＝2.‎ ‎8．[2014·湖南卷] 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)‎ A. B. C. D.－1‎ ‎8．D　[解析] 设年平均增长率为x，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x＝－1.‎ ‎9．[2014·湖南卷] 已知函数f(x)＝sin(x－φ)，且 ‎∫0f(x)dx＝0，则函数f(x)的图像的一条对称轴是(　　)‎ A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ ‎9．A　[解析] 因为∫0f(x)dx＝0，即∫0f(x)dx＝－cos(x－φ)0＝－cos＋cos ‎ φ＝0，可取φ＝，所以x＝是函数f(x)图像的一条对称轴．‎ ‎10．、[2014·湖南卷] 已知函数f(x)＝x2＋ex－(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图像上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，) B．(－∞，)‎ C. D. ‎10．B　[解析] 依题意，设存在P(－m，n)在f(x)的图像上，则Q(m，n)在g(x)的图像上，则有m2＋e－m－＝m2＋ln(m＋a)，解得m＋a＝ee－m－，即a＝ee－m－－m(m＞0)，可得a∈(－∞，)．‎ ‎(一)选做题(请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分)‎ ‎11．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________．‎ ‎11．ρcos θ－ρsin θ＝1　[解析] 依题意可设直线l：y＝x＋b，曲线C：的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.由|AB|＝2可知圆心(2，1)在直线l：y＝x＋b上，即l：y＝x－1，所以l的极坐标方程是ρcos θ－ρsin θ－1＝0.‎ ‎12．[2014·湖南卷] 如图13所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝，BC＝2，则⊙O的半径等于________．‎ 图13‎ ‎12.　[解析] 设圆的半径为r，记AO与BC交于点D，依题可知AD＝1.由相交弦定理可得1×(2r－1)＝×，解得r＝.‎ ‎13．[2014·湖南卷] 若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为，则a＝________．‎ ‎13．－3　[解析] 依题意可得－3＜ax－2＜3，即－1＜ax＜5 ，而－＜x＜，即－1＜－3x＜5，所以a＝－3.‎ ‎(二)必做题(14～16题)‎ ‎14．[2014·湖南卷] 若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝________.‎ ‎14．－2　[解析] 画出可行域，如图中阴影部分所示，不难得出z＝2x＋y在点A(k，k)处取最小值，即3k＝－6，解得k＝－2.‎ ‎15．[2014·湖南卷] 如图14，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C，F两点，则＝________．‎ 图14‎ ‎15．1＋　[解析] 依题意可得C，F，代入抛物线方程得a＝p，b2＝2a，化简得b2－2ab－a2＝0，即 2－2－1＝0，解得＝1＋.‎ ‎16．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值是________．‎ ‎16．1＋　[解析] 由||＝1，得动点D在以C为圆心，半径为1的圆上，故可设D(3＋cos α，sin α)，‎ 所以OA＋OB＋OD＝(2＋cos α，＋sin α)，所以|OA＋OB＋OD|2＝(2＋cos α)2＋(＋sin α)2＝8＋4cos α＋2sin α＝8＋2sin (α＋φ)，‎ 所以(|＋＋|2)max＝8＋2，即|＋＋|max＝＋1.‎ ‎17．、[2014·湖南卷] 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．‎ ‎(1)求至少有一种新产品研发成功的概率．‎ ‎(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．‎ ‎17．解：记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}，由题设知 P(E)＝，P(E)＝，P(F)＝，P(F)＝，‎ 且事件E与F，E与F，E与F，E与F都相互独立．‎ ‎(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则H＝E F，于是P(H)＝P(E)P(F)＝×＝，‎ 故所求的概率为P(H)＝1－P(H)＝1－＝.‎ ‎(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0，100，120，220.因为P(X＝0)＝P(E F)＝×＝，P(X＝100)＝P(E F)＝×＝，‎ P(X＝120)＝P(E F)＝×＝，‎ P(X＝220)＝P(EF)＝×＝，‎ 故所求的分布列为 X ‎0‎ ‎100‎ ‎120‎ ‎220‎ P 数学期望为 E(X)＝0×＋100×＋120×＋220×＝＝＝140.‎ ‎18．、[2014·湖南卷] 如图15所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.‎ 图15‎ ‎(1)求cos∠CAD的值；‎ ‎(2)若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．‎ ‎18．解：(1)在△ADC中，由余弦定理，得 cos∠CAD＝，‎ 故由题设知，cos∠CAD＝＝.‎ ‎(2)设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.‎ 因为cos∠CAD＝，cos∠BAD＝－，‎ 所以sin∠CAD＝＝‎ ＝，‎ sin∠BAD＝＝＝.‎ 于是sin α＝sin (∠BAD－∠CAD)‎ ‎　 ＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD ‎　　 ＝×－× ‎　　 ＝.‎ 在△ABC中，由正弦定理，得＝.‎ 故BC＝＝＝3.‎ ‎19．、[2014·湖南卷] 如图16所示，四棱柱ABCD A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．‎ ‎(1)证明：O1O⊥底面ABCD；‎ ‎(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1OB1D的余弦值．‎ 图16‎ ‎19．解：(1)如图(a)，因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD.‎ 因为CC1∥DD1，所以CC1⊥BD.而AC∩BD＝O，因此CC1⊥底面ABCD.‎ 由题设知，O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD.‎ ‎(2)方法一： 如图(a)，过O1作O1H⊥OB1于H，连接HC1.‎ 由(1)知，O1O⊥底面ABCD，所以O1O⊥底面A1B1C1D1，于是O1O⊥A1C1.‎ 图(a)‎ 又因为四棱柱ABCD A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形，‎ 因此A1C1⊥B1D1，从而A1C1⊥平面BDD1B1，所以A1C1⊥OB1，于是OB1⊥平面O1HC1.‎ 进而OB1⊥C1H.故∠C1HO1是二面角C1OB1D的平面角．‎ 不妨设AB＝2.因为∠CBA＝60°，所以OB＝，OC＝1，OB1＝.‎ 在Rt△OO1B1中，易知O1H＝＝2.而O1C1＝1，于是C1H＝＝＝.‎ 故cos∠C1HO1＝＝＝.‎ 即二面角C1OB1D的余弦值为.‎ 方法二：因为四棱柱ABCD A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形，因此AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD，从而OB，OC，OO1两两垂直．‎ 图(b)‎ 如图(b)，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O xyz，不妨设AB＝2.因为∠CBA＝60°，所以OB＝，OC＝1，于是相关各点的坐标为O(0，0，0)，‎ B1(，0，2)，C1(0，1，2)．‎ 易知，n1＝(0，1，0)是平面BDD1B1的一个法向量．‎ 设n2＝(x，y，z)是平面OB1C1的一个法向量，则即 取z＝－，则x＝2，y＝2，所以n2＝(2，2，－)．‎ 设二面角C1OB1D的大小为θ，易知θ是锐角，于是 cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝.‎ 故二面角C1OB1D的余弦值为.‎ ‎20．、[2014·湖南卷] 已知数列{an}满足a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N*.‎ ‎(1)若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；‎ ‎(2)若p＝，且{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．‎ ‎20．解：(1)因为{an}是递增数列，所以an＋1－an＝|an＋1－an|＝pn.而a1＝1，因此.又a1，2a2，3a3成等差数列，所以4a2＝a1＋3a3，因而3p2－p＝0，解得p＝或p＝0.‎ 当p＝0时，an＋1＝an，这与{an}是递增数列矛盾，故p＝.‎ ‎(2)由于{a2n－1}是递增数列，因而a2n＋1－a2n－1>0，于是(a2n＋1－a2n)＋(a2n－a2n－1)>0.①‎ 因为<，所以|a2n＋1－a2n|<|a2n－a2n－1|.②‎ 由①②知，a2n－a2n－1>0，因此a2n－a2n－1＝＝.③‎ 因为{a2n}是递减数列，同理可得，a2n＋1－a2n<0，故a2n＋1－a2n＝－＝.④‎ 由③④可知，an＋1－an＝.‎ 于是an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋－＋…＋＝1＋ ‎·＝＋·.‎ 故数列{an}的通项公式为an＝＋·.‎ ‎21．、、、[2014·湖南卷] 如图17，O为坐标原点，椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：－＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝，且|F2F4|＝－1.‎ ‎(1)求C1，C2的方程；‎ ‎(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点．当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．‎ 图17‎ ‎21．解： (1)因为e1e2＝，所以·＝，即a4－b4＝a4，因此a2＝2b2，从而F2(b，0)，‎ F4(b，0)，于是b－b＝|F2F4|＝－1，所以b＝1，a2＝2.故C1，C2的方程分别为＋y2＝1，－y2＝1.‎ ‎(2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(－1，0)，故可设直线AB的方程为x＝my－1，由得(m2＋2)y2－2my－1＝0.‎ 易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1＋y2＝，y1y2＝.‎ 因此x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝，于是AB的中点为M，故直线PQ 的斜率为－，PQ的方程为y＝－x，即mx＋2y＝0.‎ 由得(2－m2)x2＝4，所以2－m2>0，且x2＝，y2＝，从而|PQ|＝2＝2.设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d＝.因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，从而2d＝.‎ 又因为|y1－y2|＝＝，所以2d＝.‎ 故四边形APBQ的面积S＝|PQ|·2d＝＝2·.‎ 而0<2－m2≤2，故当m＝0时，S取最小值2.‎ 综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.‎ ‎22．、[2014·湖南卷] 已知常数a＞0，函数 f(x)＝ln(1＋ax)－.‎ ‎(1)讨论f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；‎ ‎(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，且f(x1)＋f(x2)＞0，求a的取值范围．‎ ‎22．解：(1)f′(x)＝－＝.(*)‎ 当a≥1时，f′(x)>0，此时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．‎ 当00.‎ 故f(x)在区间(0，x1)上单调递减，‎ 在区间(x1，＋∞)上单调递增．‎ 综上所述，‎ 当a≥1时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；‎ 当0＜a＜1时，f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增．‎ ‎(2)由(*)式知，当a≥1时，f′(x)≥0，‎ 此时f(x)不存在极值点，因而要使得f(x)有两个极值点，必有0－且x≠－2，‎ 所以－2>－，－2≠－2，‎ 解得a≠.此时，由(*)式易知，x1，x2分别是f(x)的极小值点和极大值点．‎ 而f(x1)＋f(x2)＝ln(1＋ax1)－＋ln(1＋ax2)－＝ln[1＋a(x1＋x2)＋a2x1x2]－ ‎＝ln(2a－1)2－＝ln(2a－1)2＋－2.‎ 令2a－1＝x.由0g(1)＝0.故当0.‎ 综上所述，满足条件的a的取值范围为.‎