【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第二章 第2讲 第3课时 函数性质的综合问题作业
第2讲 第3课时 函数性质的综合问题
[基础题组练]
1．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)＝( )
A．－2 B．2
C．－98 D．98
解析：选A.由f(x＋4)＝f(x)知，f(x)是周期为4的周期函数，f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．
由f(1)＝2×12＝2得f(－1)＝－f(1)＝－2，
所以f(2 019)＝－2.故选A.
2．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增加的，则满足f(2x－1)
1时，求函数g(x)的最小值．
解：(1)f(x)在y轴右侧的图象如图所示．
若x>0，则－x<0，又函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，
所以f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x>0)，
所以f(x)＝
(2)由(1)知g(x)＝x2－2x－2ax＋2，其图像的对称轴方程为x＝a＋1，
当a>1时，a＋1>2，g(x)＝x2－2x－2ax＋2在[1，2]上是减少的，
则g(x)在[1，2]上的最小值为g(2)＝2－4a.
[综合题组练]
1．已知f(x)是定义在[2b，1－b]上的偶函数，且在[2b，0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集为( )
A. B.
C. [－1，1] D.
解析：选B.因为f(x)是定义在[2b，1－b]上的偶函数，所以2b＋1－b＝0，所以b＝－1，
因为f(x)在[2b，0]上为增函数，即函数f(x)在[－2，0]上为增函数，故函数f(x)在(0，2]上为减函数，则由f(x－1)≤f(2x)，可得|x－1|≥|2x|，即(x－1)2≥4x2，
解得－1≤x≤.又因为定义域为[－2，2]，所以解得
综上，所求不等式的解集为.故选B.
2．(2020·辽宁沈阳东北育才学校联考(二))函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－1)＝0，若对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有<0成立，则不等式f(x)<0的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1，0)∪(0，1)
C．(－∞，－1)∪(0，1) D．(－1，0)∪(1，＋∞)
解析：选C.令F(x)＝xf(x)，
因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以F(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝F(x)，
所以F(x)是偶函数，
因为f(－1)＝0，所以F(－1)＝0，则F(1)＝0，
因为对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2时，都 有<0成立，所以F(x)在(－∞，0)上是减少的，
所以F(x)在(0，＋∞)上是增加的，所以不等式f(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)，故选C.
3．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论．
解：(1)因为对于任意x1，x2∈D，
有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．证明如下：
令x1＝x2＝－1，
有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
所以f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
4．已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上既是奇函数又是减函数．
(1)求证：对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；
(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围．
解：(1)证明：若x1＋x2＝0，显然不等式成立．
若x1＋x2＜0，则－1≤x1＜－x2≤1，
因为f(x)在[－1，1]上是减函数且为奇函数，
所以f(x1)＞f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)＞0.
所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．
若x1＋x2＞0，则1≥x1＞－x2≥－1，
同理可证f(x1)＋f(x2)＜0.
所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．
综上得证，对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0恒成立．
(2)因为f(1－a)＋f(1－a2)＜0⇔f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a－1)，所以由f(x)在定义域[－1，1]上是减函数，得即解得0≤a＜1.
故所求实数a的取值范围是[0，1)．
