2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练50 抛物线

2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练50 抛物线

课时规范练50　抛物线 基础巩固组 ‎1.(2017广西桂林一模)若抛物线y2=2px(p>0)上的点A(x0,‎2‎)到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍,则p等于(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.‎1‎‎2‎ B.1 C.‎3‎‎2‎ D.2‎ ‎2.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4‎2‎x的焦点,P为抛物线C上一点,若|PF|=4‎2‎,则△POF的面积为(　　)‎ A.2 B.2‎2‎ C.2‎3‎ D.4‎ ‎3.过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为3,则|AB|等于(　　)‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎4.(2017山西运城模拟)已知抛物线x2=ay与直线y=2x-2相交于M,N两点,若MN中点的横坐标为3,则此抛物线方程为(　　)‎ A.x2=‎3‎‎2‎y B.x2=6y C.x2=-3y D.x2=3y ‎5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,若|AB|=6,则线段AB的中点M的横坐标为(　　)‎ A.2 B.4 C.5 D.6‎ ‎6.(2017黑龙江大庆二模,理11)已知抛物线y2=4x,过焦点F作直线与抛物线交于点A,B(点A在x轴下方),点A1与点A关于x轴对称,若直线AB斜率为1,则直线A1B的斜率为(　　)‎ A.‎3‎‎3‎ B.‎3‎ C.‎2‎‎2‎ D.‎‎2‎ ‎7.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为(　　)‎ A.y2=9x B.y2=6x C.y2=3x D.y2=‎3‎x〚导学号21500763〛‎ ‎8.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为　　　　　. ‎ ‎9.已知点F为抛物线y2=12x的焦点,过点F的直线l与抛物线在第一象限内的交点为A,过A作AH垂直抛物线的准线于H,若直线l的倾斜角α∈‎0,‎π‎3‎,则△AFH面积的最小值为　　　　　. ‎ ‎10.(2017全国Ⅱ,理16)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,若M为FN的中点,则|FN|=　　　　　.〚导学号21500764〛 ‎ 综合提升组 ‎11.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)‎ A.‎3‎‎5‎‎5‎ B.2 C.‎11‎‎5‎ D.3‎ ‎12.‎ ‎(2017河北衡水中学三调,理11)如图,已知抛物线的方程为x2=2py(p>0),过点A(0,-1)作直线与抛物线相交于P,Q两点,点B的坐标为(0,1),连接BP,BQ,设QB,BP与x轴分别相交于M,N两点.如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3,则∠MBN的大小等于(　　)‎ A.π‎2‎ B.π‎4‎ C.‎2π‎3‎ D.‎π‎3‎ ‎13.(2017北京顺义二模,理13)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线为l,若l与圆x2+y2+6x+5=0的交点为A,B,且|AB|=2‎3‎,则p的值为　　　　　. ‎ ‎14.‎ ‎(2017石家庄二中模拟,理20)已知点F(1,0),动点M,N分别在x轴,y轴上运动,MN⊥NF,Q为平面上一点,NQ‎+‎NF=0,过点Q作QP平行于x轴交MN的延长线于点P.‎ ‎(1)求点P的轨迹曲线E的方程;‎ ‎(2)过点Q作x轴的垂线l,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交曲线E于A,B两点(直线AB不过点F),交l于C,D两点.若线段AB中点的轨迹方程为y2=2x-4,求△CDF与△ABF的面积之比.‎ ‎〚导学号21500765〛‎ 创新应用组 ‎15.(2017山东菏泽一模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,以抛物线C上的点M(x0,2‎2‎‎)‎x‎0‎‎>‎p‎2‎为圆心的圆与y轴相切,与线段MF相交于点A,且被直线x=p‎2‎截得的弦长为‎3‎|MA|,若‎|MA|‎‎|AF|‎=2,则|AF|=　　　　　. ‎ 参考答案 课时规范练50　抛物线 ‎1.D　由题意,3x0=x0+p‎2‎,∴x0=p‎4‎,‎ ‎∴p‎2‎‎2‎=2.‎ ‎∵p>0,∴p=2,故选D.‎ ‎2.C　利用|PF|=xP+‎2‎=4‎2‎,可得xP=3‎2‎.‎ ‎∴yP=±2‎6‎.∴S△POF=‎1‎‎2‎|OF|·|yP|=2‎3‎.故选C.‎ ‎3.D　由题设知线段AB的中点到准线的距离为4.‎ 设A,B两点到准线的距离分别为d1,d2.‎ 由抛物线的定义知 ‎|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8.‎ ‎4.D　设点M(x1,y1),N(x2,y2).‎ 由x‎2‎‎=ay,‎y=2x-2‎消去y,‎ 得x2-2ax+2a=0,‎ 所以x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎‎=‎‎2a‎2‎=3,即a=3,‎ 因此所求的抛物线方程是x2=3y.‎ ‎5.A　∵抛物线y2=4x,∴p=2.设A,B两点的横坐标分别为x1,x2,利用抛物线定义,AB中点横坐标为x0=‎1‎‎2‎(x1+x2)=‎1‎‎2‎(|AB|-p)=2,故选A.‎ ‎6.C　抛物线y2=4x上的焦点F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),A1(x1,-y1),‎ 则可设直线AB的方程为y=x-1,联立方程y=x-1,‎y‎2‎‎=4x,‎ 可得x2-6x+1=0,‎ 则有x1+x2=6,x1x2=1,‎ 直线A1B的斜率k=y‎2‎‎-(-y‎1‎)‎x‎2‎‎-‎x‎1‎‎=y‎2‎‎+‎y‎1‎x‎2‎‎-‎x‎1‎=x‎1‎‎+x‎2‎-2‎‎(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4‎x‎1‎x‎2‎=‎‎2‎‎2‎,‎ 所以直线A1B的斜率为‎2‎‎2‎,故选C.‎ ‎7.C　如图,分别过点A,B作AA1⊥l于点A1,BB1⊥l于点B1,‎ 由抛物线的定义知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|.‎ ‎∵|BC|=2|BF|,‎ ‎∴|BC|=2|BB1|.‎ ‎∴∠BCB1=30°,∴∠AFx=60°.‎ 连接A1F,则△AA1F为等边三角形,过点F作FF1⊥AA1于点F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于点K,‎ 则|KF|=|A1F1|=‎1‎‎2‎|AA1|=‎1‎‎2‎|AF|,即p=‎3‎‎2‎,‎ 故抛物线方程为y2=3x.‎ ‎8.2　由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.‎ 依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.‎ ‎9.36‎3‎　设点A的坐标为(x,y)(y>0),直线l的倾斜角α∈‎0,‎π‎3‎,则x≥9.‎ 故△AFH的面积S=‎1‎‎2‎(x+3)y.‎ 令t=S2=‎1‎‎4‎(x+3)2×12x=3x(x+3)2.‎ 则t'=3(x+3)2+6x(x+3)=3(x+3)(3x+3)>0,函数t是增函数.‎ 故当x=9时,S最小,此时Smin‎2‎=3×9×122,即Smin=36‎3‎.‎ ‎10.6　设N(0,a),由题意可知F(2,0).‎ 又M为FN的中点,‎ 则M‎1,‎a‎2‎.‎ 因为点M在抛物线C上,‎ 所以a‎2‎‎4‎=8,即a2=32,‎ 即a=±4‎2‎.‎ 所以N(0,±4‎2‎).‎ 所以|FN|‎ ‎=‎(2-0‎)‎‎2‎+(0±4‎‎2‎‎)‎‎2‎=6.‎ ‎11.B　由题可知l2:x=-1是抛物线y2=4x的准线,设抛物线的焦点为F(1,0),则动点P到l2的距离等于|PF|,则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值,即焦点F到直线l1:4x-3y+6=0的距离,所以最小值是‎|4-0+6|‎‎5‎=2.‎ ‎12.D　设直线PQ的方程为y=kx-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ 由y=kx-1,‎x‎2‎‎=2py,‎得x2-2pkx+2p=0,‎ 则x1+x2=2pk,x1x2=2p,‎ kBP=y‎1‎‎-1‎x‎1‎,kBQ=y‎2‎‎-1‎x‎2‎,‎ kBP+kBQ=‎y‎1‎‎-1‎x‎1‎‎+‎y‎2‎‎-1‎x‎2‎ ‎=‎kx‎1‎-2‎x‎1‎‎+‎kx‎2‎-2‎x‎2‎ ‎=‎‎2kx‎1‎x‎2‎-2(x‎1‎+x‎2‎)‎x‎1‎x‎2‎ ‎=‎2k·2p-2·2pk‎2p=0,‎ 即kBP+kBQ=0,①‎ 又kBP·kBQ=-3,②‎ 联立①②解得kBP=‎3‎,kBQ=-‎3‎,‎ 所以∠BNM=π‎3‎,∠BMN=π‎3‎,‎ 故∠MBN=π-∠BNM-∠BMN=π‎3‎,故选D.‎ ‎13.4或8　抛物线y2=2px的焦点Fp‎2‎‎,0‎,准线x=-p‎2‎,准线与x轴相交于点H.圆x2+y2+6x+5=0的标准方程为(x+3)2+y2=4,则圆心E(-3,0),半径为2,假设抛物线的准线在圆心的右侧,‎ 由|AB|=2‎3‎,则A‎-p‎2‎,‎‎3‎,则|AH|=‎3‎,|AE|=2,‎ ‎∴|EH|=1,则|EH|+p‎2‎=|OE|,‎ 即1+p‎2‎=3,则p=4.‎ 设抛物线的准线在圆心的左侧,由|AB|=2‎3‎,则A‎-p‎2‎,‎‎3‎,‎ 则|AH|=‎3‎,|AE|=2,‎ 则|OE|+|EH|=p‎2‎,‎ 即3+1=p‎2‎,则p=8,‎ ‎∴p的值为4或8.‎ ‎14.解 (1)设P(x,y),由N为Q,F的中点可得N为P,M的中点,则M,N分别为M(-x,0),N‎0,‎y‎2‎‎,MN=x,‎y‎2‎,NF=‎‎1,-‎y‎2‎,‎ 由MN‎·‎NF=0可得点P的轨迹方程为y2=4x.‎ ‎(2)设直线AB与x轴的交点为G(a,0),‎ 设Ay‎1‎‎2‎‎4‎‎,‎y‎1‎,By‎2‎‎2‎‎4‎‎,‎y‎2‎,‎ A,B中点为M(x,y),‎ 当AB与x轴不垂直时,‎ 由kAB=kMG得‎4‎y‎1‎‎+‎y‎2‎‎=‎yx-a,‎ 而y‎1‎‎+‎y‎2‎‎2‎=y,则‎4‎‎2y‎=‎yx-a,‎ 即y2=2(x-a),即a=2.‎ 当AB与x轴垂直时,A,B中点M与G(a,0)重合,此时a=2.‎ 由N为Q,F的中点,可知过点Q作x轴的垂线l即为抛物线y2=4x的准线,‎ S△CDF=‎1‎‎2‎|y1-y2|·2,S△ABF=‎1‎‎2‎|y1-y2|·|a-1|=‎1‎‎2‎|y1-y2|·1,‎ ‎∴△CDF与△ABF的面积之比为2.‎ ‎15.1　由抛物线的定义得|MF|=x0+p‎2‎.‎ ‎∵圆与y轴相切,∴|MA|=x0.‎ ‎∵圆被直线x=p‎2‎截得的弦长为‎3‎|MA|,圆心到直线x=p‎2‎的距离为‎|MA‎|‎‎2‎-‎‎3‎‎2‎‎|MA|‎‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎|MA|,‎ ‎∴|MA|=2x‎0‎‎-‎p‎2‎,‎ ‎∴2x‎0‎‎-‎p‎2‎=x0,解得x0=p.‎ ‎∴M(p,2‎2‎),∴2p2=8,∴p=2.‎ ‎∵‎|MA|‎‎|AF|‎=2,∴|AF|=‎1‎‎2‎|MA|=‎1‎‎2‎p=1,∴|AF|=1.‎