2013届人教A版理科数学课时试题及解析（14）用导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例

2013届人教A版理科数学课时试题及解析（14）用导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例

课时作业(十四)　[第14讲　用导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例]‎ ‎[时间：35分钟　　分值：80分]‎ ‎1．函数y＝的最大值为(　　)‎ A. B．e C．e2 D. ‎2．已知x≥0，y≥0，x＋3y＝9，则x2y的最大值为(　　)‎ A．36 B．‎18 C．25 D．42‎ ‎3．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：y＝－t3－t2＋36t－.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是(　　)‎ A．6时 B．7时 C．8时 D．9时 ‎4．设正三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为(　　)‎ A. B．‎2 C. D.V ‎5．已知函数f(x)＝＋lnx，则f(x)在上的最大值和最小值之和是(　　)‎ A．0 B．1－ln‎2 C．ln2－1 D．1＋ln2‎ ‎6． 函数f(x)＝在[－2,2]上的最大值为2，则a的取值范围是(　　)‎ A. B. C．(－∞，0] D. ‎7．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时‎10 km时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则使行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为(　　)‎ A．‎20 km/h B．‎25 km/h ‎ C．‎19 km/h D．‎‎18 km/h 图K14－1‎ ‎8． 今有一块边长为a的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按图K14－1那样切下三个全等的四边形后，做成一个无盖的盒子，要使这个盒子容积最大，x值应为(　　)‎ A．a B. C. D. ‎9．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的关系式为：p＝24 200－x2，且生产x t的成本为R＝50 000＋200x(元)．则该厂每月生产________ t产品才能使利润达到最大．(利润＝收入－成本)‎ ‎10． 在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为________时它的面积最大．‎ 图K14－2‎ ‎11． 如图K14－2，用半径为R的圆铁皮，剪一个圆心角为a的扇形，制成一个圆锥形的漏斗，则圆心角a取________时，漏斗的容积最大．‎ ‎12．(13分) 甲、乙两村合用一个变压器，如图K14－3所示，若两村用同型号线架设输电线路，问：变压器设在输电干线何处时，所需电线最短？‎ 图K14－3‎ ‎13．(12分) 广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产，按国际惯例以美元为结算货币，依据以往加工生产的数据统计分析，若加工产品订单的金额为x万美元，可获得的加工费近似地为ln(2x＋1)万美元，受美联储货币政策的影响，美元贬值，由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失mx万美元(其中m为该时段美元的贬值指数，m∈(0,1))，从而实际所得的加工费为f(x)＝ln(2x＋1)－mx(万美元)．‎ ‎(1)若某时期美元贬值指数m＝，为确保企业实际所得加工费随x的增加而增加，该企业加工产品订单的金额x应在什么范围内？‎ ‎(2)若该企业加工产品订单的金额为x万美元时共需要的生产成本为x万美元，已知该企业加工生产能力为x∈[10,20](其中x为产品订单的金额)，试问美元的贬值指数m在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．‎ 课时作业(十四)‎ ‎【基础热身】‎ ‎1．A　[解析] 令y′＝＝＝0，得x＝e，当x>e时，y′<0；当x0，故y极大值＝f(e)＝，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝.‎ ‎2．A　[解析] 令f(x)＝x2y＝x2，x∈[0,9]，令f′(x)＝6x－x2＝0，得x＝0或x＝6，可以验证x＝6时f(x)有最大值36.‎ ‎3．C　[解析] y′＝－t2－t＋36＝－(t＋12)(t－8)，令y′＝0得t＝－12(舍去)或t＝8，当6≤t<8时，y′>0，当80，‎ 故x＝1是函数f(x)在区间上的唯一的极小值点，‎ 也就是最小值点，故f(x)min＝f(1)＝0；‎ 又f＝1－ln2，f(2)＝－＋ln2，‎ 所以f－f(2)＝－2ln2＝，‎ 因为e3>2.73＝19.683>16，‎ 所以f－f(2)>0，‎ 即f>f(2)，‎ 即函数f(x)在区间上最大值是f.‎ 综上知函数f(x)在区间上最大值是1－ln2，最小值是0.即f(x)在上的最大值和最小值之和是1－ln2.‎ ‎6．D　[解析] 当x≤0时，f′(x)＝6x2＋6x，函数的极大值点是x＝－1，极小值点是x＝0，当x＝－1时，f(x)＝2，故只要在(0,2]上eax≤2即可，即ax≤ln2在(0,2]上恒成立，即a≤在(0,2]上恒成立，故a≤.‎ ‎7．A　[解析] 设船速度为x(x>0)时，燃料费用为Q元，则Q＝kx3，由6＝k×103可得k＝，∴Q＝x3，‎ ‎∴总费用y＝·＝x2＋，y′＝x－，令y′＝0得x＝20，当x∈(0,20)时，y′<0，此时函数单调递减，当x∈(20，＋∞)时，y′>0，此时函数单调递增，∴当x＝20时，y取得最小值，∴此轮船以‎20 km/h的速度行驶每千米的费用总和最小．‎ ‎8．D　[解析] 折成盒子后底面正三角形的边长为a－2x，高为h＝x·tan30°＝x，‎ 设容积为V，则 V＝Sh＝(a－2x)2sin60°·x，‎ ‎＝x3－ax2＋x，‎ V′＝3x2－2ax＋，‎ 令V′＝0得x＝或x＝(舍去)，当00；当0；当π0，‎ ‎∴f′(x)＝－＝.‎ 由f′(x)>0，即199－2x>0，解得0

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