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2014届高三理科数学一轮复习试题选编19:空间角与空间距离(教师版)
2014届高三理科数学一轮复习试题选编19:空间角与空间距离 一、选择题 .(2009高考(北京理))若正四棱柱的底面边长为1,与底面成60°角,则到底面的距离为 ( ) A. B.1 C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. 属于基础知识、基本运算的考查.依题意,,,故选 D. .(2013届北京西城区一模理科)如图,正方体中,为底面上的动点,于,且,则点的轨迹是 ( ) A.线段 B.圆弧 C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分 【答案】A 二、解答题 .(北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题)A B C D E N M 如图,在菱形中,,是的中点, ⊥平面,且在矩形中,,. (Ⅰ)求证:⊥; (Ⅱ)求证: // 平面; (Ⅲ)求二面角的大小. 【答案】解:(Ⅰ)连结,则. 由已知平面, 因为F A B C D E N M y x z , 所以平面.……………………2分 又因为平面, 所以.……………………4分 (Ⅱ)与交于,连结. 由已知可得四边形是平行四边形, 所以是的中点. 因为是的中点, 所以.…………………………7分 又平面, 平面, 所以平面. ……………………………………………………………9分 (Ⅲ)由于四边形是菱形,是的中点,可得. 如图建立空间直角坐标系,则,, , . ,.…………………………………………10分 设平面的法向量为. 则 所以 令. 所以.……………………………………………………………12分 又平面的法向量, 所以. 所以二面角的大小是60°. ………………………………………14分 .(2013届北京丰台区一模理科)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,MD⊥平面ABCD,NB∥MD,且NB=1,MD=2; (Ⅰ)求证:AM∥平面BCN; (Ⅱ)求AN与平面MNC所成角的正弦值; (Ⅲ)E为直线MN上一点,且平面ADE⊥平面MNC,求的值. . 【答案】解:(Ⅰ)∵ABCD是正方形, ∴BC∥AD. ∵BCË平面AMD,AD平面AMD, ∴BC∥平面AMD. ∵NB∥MD, ∵NBË平面AMD,MD平面AMD, ∴NB∥平面AMD. ∵NBBC=B,NB平面BCN, BC平面BCN, ∴平面AMD∥平面BCN…………………………………………………………………………………3分 ∵AM平面AMD, ∴AM∥平面BCN…………………………………………………………………………………………4分 (也可建立直角坐标系,证明AM垂直平面BCN的法向量,酌情给分) (Ⅱ)平面ABCD,ABCD是正方形,所以,可选点D为原点,DA,DC,DM所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系(如图)…………………………………………………………………5分 则,,,. , ………………………………………6分 ,, 设平面MNC的法向量, 则,令,则 … 7分 设AN与平面MNC所成角为, . ……9分 (Ⅲ)设,,, 又, E点的坐标为, …………………………………………………………………11分 面MDC,, 欲使平面ADE⊥平面MNC,只要, ,, . ………………………………………………………………………………14分 .(北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习(一)数学理试题)如图,在三棱锥中,侧面与底面垂直, 分别是的中点,,,. (1)求证://平面; (2)若点在线段上,问:无论在的何处,是否都有?请证明你的结论; (3)求二面角的平面角的余弦值. 【答案】解:(1)分别是的中点 // 又平面 //平面 (2) 在中,//, 平面平面, 平面,平面 平面 平面 所以无论在的何处,都有 (3) 由(2)平面 又 平面 是二面角的平面角 在中 所以二面角的平面角的余弦值为 法二: (2) 是的中点, 又平面平面 平面 同理可得平面 在平面内,过作 以为原点,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则,,,, ,, ,设,则, 恒成立,所以无论在的何处,都有 (3)由(2)知平面的法向量为= 设平面的法向量为 则, 即 令,则, 所以二面角的平面角的余弦值为 .(北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 )如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AB=2,,°,平面PAB平面ABC,D、E分别为AB、AC中点. (Ⅰ)求证:DE‖平面PBC; (Ⅱ)求证:ABPE; (Ⅲ)求二面角A-PB-E的大小. 【答案】解:(Ⅰ) D、E分别为AB、AC中点, _ E _ D _ B _ C _ A _ P DE//BC . DEË平面PBC,BCÌ平面PBC, DE//平面PBC .…………………………4分 (Ⅱ)连结PD, PA=PB, PD AB. …………………………….5分 ,BC AB, DE AB. .... .......................................................................................................6分 又 , AB平面PDE.......................................................................................................8分 PEÌ平面PDE, ABPE . ..........................................................................................................9分 (Ⅲ)平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,PD AB, PD平面ABC.................................................................................................10分 如图,以D为原点建立空间直角坐标系 _ E _ D _ B _ C _ A _ P z y x B(1,0,0),P(0,0,),E(0,,0) , =(1,0, ),=(0, , ). 设平面PBE的法向量, 令 得. ............................11分 DE平面PAB, 平面PAB的法向量为.………………….......................................12分 设二面角的大小为, 由图知,, 所以即二面角的大小为. ..........................................14分[ .(2013北京房山二模数学理科试题及答案)如图, 是正方形, 平面, ,. (Ⅰ) 求证:; (Ⅱ) 求二面角的余弦值; (Ⅲ)设点是线段上一个动点,试确定点的位置,使得平面,证明你的结论. 【答案】(Ⅰ)证明: 因为平面, 所以 因为是正方形, 所以, 所以平面, 从而 (Ⅱ)解:因为两两垂直, 所以建立空间直角坐标系如图所示 设,可知 则 ,,,,,, 所以,, 设平面的法向量为,则,即, 令,则 因为平面,所以为平面的法向量, , 所以 因为二面角为锐角,所以二面角的余弦值为 (Ⅲ)解:点是线段上一个动点,设. 则,因为平面,所以, 即,解得 此时,点坐标为,,符合题意 .(2013届北京大兴区一模理科)如图,直三棱柱ABC—A1B1C1中,是等边三角形,D是BC的中点. (Ⅰ)求证:A1B//平面ADC1; (Ⅱ)若AB=BB1=2,求A1D与平面AC1D所成角的正弦值. 【答案】证明:(I)因为三棱柱是直三棱柱,所以四边形是矩形。 连结交于O,则O是的中点,又D是BC的中点,所以在中,。 因为平面,平面,所以平面。 (II)因为是等边三角形,D是BC的中点,所以。以D为原点,建立如图所示空间坐标系。由已知,得: ,,,. 则,,设平面的法向量为。 由,得到,令,则,,所以. 又,得。 所以 设与平面所成角为,则。 所以与平面所成角的正弦值为。 .(2013届北京市延庆县一模数学理) 如图,四棱锥的底面为菱形,,侧面是边长为2的正三角形,侧面底面. (Ⅰ)设的中点为,求证:平面; (Ⅱ)求斜线与平面所成角的正弦值; (Ⅲ)在侧棱上存在一点,使得二面角 的大小为,求的值. 【答案】(Ⅰ)证明:因为侧面是正三角形,的中点为,所以, 因为侧面底面,侧面底面,侧面, 所以平面. ………3分(Ⅱ)连结,设,建立空间直角坐标系, 则,,,,,………5分 ,平面的法向量, 设斜线与平面所成角的为, 则. ………8分 (Ⅲ)设,则, ,, ………10分 设平面的法向量为,则, , 取,得,又平面的法向量………12分 所以,所以, 解得(舍去)或.所以,此时. ………14分 .(北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题)如图,四棱锥中,底面为正方形,,平面, 为棱的中点. (Ⅰ)求证:// 平面; (Ⅱ)求证:平面平面; (Ⅲ)求二面角的余弦值. 【答案】(Ⅰ)证明:连接与相交于点,连结. 因为四边形为正方形,所以为中点. 因为 为棱中点. 所以 . ………………3分 因为 平面,平面, 所以直线//平面. ………………4分 (Ⅱ)证明:因为平面,所以. ………………5分 因为四边形为正方形,所以, 所以平面. ………………7分 所以平面平面. ………………8分 (Ⅲ)解法一:在平面内过作直线. 因为平面平面,所以平面. 由两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系. …………9分 设,则. 所以 ,. 设平面的法向量为,则有 所以 取,得. ………………11分 易知平面的法向量为. ………………12分 所以 . ………………13分 由图可知二面角的平面角是钝角, 所以二面角的余弦值为. ………………14分 解法二:取中点,中点,连结,. 因为为正方形,所以. 由(Ⅱ)可得平面. 因为,所以. 由两两垂直,建立如图所示 的空间直角坐标系. ………………9分 设,则. 所以 ,. 设平面的法向量为,则有 所以 取,得. ………………11分 易知平面的法向量为. ………………12分 所以. ………………13分 由图可知二面角的平面角是钝角, 所以二面角的余弦值为. ………………14分 .(2013北京朝阳二模数学理科试题)如图,四边形是正方形,平面,,,,, 分别为,,的中点. (Ⅰ)求证:平面; (Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角的大小; (Ⅲ)在线段上是否存在一点,使直线与直线所成的角为?若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由. A D B C P E F G H 【答案】(Ⅰ)证明:因为,分别为,的中点,所以. 又平面,平面, 所以平面 (Ⅱ)因为平面,, 所以平面, 所以,. 又因为四边形是正方形, 所以. 如图,建立空间直角坐标系, 因为, A D B C P E F G H z y x 所以,,, ,,. 因为,, 分别为,,的中点, 所以,,. 所以,. 设为平面的一个法向量,则,即, 再令,得.,. 设为平面的一个法向量,则, 即,令,得.所以==. 所以平面与平面所成锐二面角的大小为 (Ⅲ)假设在线段上存在一点,使直线与直线所成角为. 依题意可设,其中.由,则. 又因为,,所以. 因为直线与直线所成角为,, 所以=,即,解得. 所以,. 所以在线段上存在一点,使直线与直线所成角为,此时 .(北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 )如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,AC=BC=2,,CC1=4,M是棱CC1上一点. (Ⅰ)求证:BC⊥AM; (Ⅱ)若N是AB上一点,且,求证: CN //平面AB1M; (Ⅲ)若,求二面角A-MB1-C的大小. 【答案】证明: (Ⅰ)因为 三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC, 所以 CC1⊥BC. ……………………1分 因为 AC=BC=2,, 所以 由勾股定理的逆定理知BC⊥AC. ……………………2分 又因为AC∩CC1=C, 所以 BC⊥平面ACC1A1. ……………………3分 因为 AM平面ACC1A1, 所以 BC⊥AM. ……………………4分 (Ⅱ)过N作NP∥BB1交AB1于P,连结MP ,则 NP∥CC1,且∽. ……………5分 于是有. 由已知,有. 因为 BB1=CC1. 所以 NP=CM. 所以 四边形MCNP是平行四边形. ……………………6分 所以 CN//MP. ……………………7分 因为 CN平面AB1M,MP平面AB1M, ……………………8分 所以 CN //平面AB1 M. ……………………9分 (Ⅲ)因为 BC⊥AC,且CC1⊥平面ABC, 所以 以C为原点,CA,CB,CC1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系C-xyz.…………………10分 因为 ,所以C(0,0,0),A(2,0,0),B1(0,2,4),,,. ……………………11分 设平面的法向量,则,. 即 令,则,即. ……………………12分 又平面MB1C的一个法向量是, 所以 . ……………………13分 由图可知二面角A-MB1-C为锐角, 所以 二面角A-MB1-C的大小为. ……………………14分 .(北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 )(本小题满分14分)在长方体中,,,为中点. (Ⅰ)证明:; (Ⅱ)求与平面所成角的正弦值; (Ⅲ)在棱上是否存在一点,使得∥平面?若存在,求的长;若不存在,说明理由. 【答案】(Ⅰ)证明:连接 ∵是长方体, ∴平面, 又平面 ∴ ………………1分 在长方形中, ∴ ………………2分 又 ∴平面, ………………3分 而平面 ∴ ………………4分 (Ⅱ)如图建立空间直角坐标系,则 , 设平面的法向量为,则 令,则 ………………7分 ………………9分 所以 与平面所成角的正弦值为 ………………10分 (Ⅲ)假设在棱上存在一点,使得∥平面. 设的坐标为,则 因为 ∥平面 所以 , 即, ,解得, ………………13分 所以 在棱上存在一点,使得∥平面,此时的长.……14分 .(2013北京顺义二模数学理科试题及答案)如图,在长方体中,,为的中点,为的中点. (I)求证:平面; (II)求证:平面; (III)若二面角的大小为,求的长. 【答案】(I)证明:在长方体中, 因为平面,所以. 因为,所以四边形为正方形, 因此,又,所以平面. 又,且,所以四边形为平行四边形. 又在上,所以平面 (II)取的中点为,连接. 因为为的中点,所以且, 因为为的中点,所以,而,且, 所以,且,因此四边形为平行四边形, 所以,而平面,所以平面 (III)如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,设, x y z 则, 故. 由(I)可知平面, 所以是平面的一个法向量. 设平面的一个法向量为, 则, 所以 令,则, 所以. 设与所成的角为,则. 因为二面角的大小为,所以,即, 解得,即的长为1 .(2013届北京西城区一模理科)在如图所示的几何体中,面为正方形,面为等腰梯形,//,, ,. (Ⅰ)求证:平面; (Ⅱ)求与平面所成角的正弦值; (Ⅲ)线段上是否存在点,使平面平面?证明你的结论. 【答案】(Ⅰ)证明:因为,, 在△中,由余弦定理可得 , 所以 . ………………2分 又因为 , 所以平面. ………………4分 (Ⅱ)解:因为平面,所以. 因为,所以平面. ………………5分 所以两两互相垂直,如图建立的空间直角坐标系. ………………6分在等腰梯形中,可得 . 设,所以. 所以 ,,. 设平面的法向量为,则有 所以 取,得. ………………8分 设与平面所成的角为,则 , 所以 与平面所成角的正弦值为. ………………9分 (Ⅲ)解:线段上不存在点,使平面平面.证明如下: ………………10分 假设线段上存在点,设 ,所以. 设平面的法向量为,则有 所以 取 ,得. ………………12分 要使平面平面,只需, ………………13分 即 , 此方程无解. 所以线段上不存在点,使平面平面. ………………14分 .(北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 )在长方体中,,点在棱 上,且. A1 B1 E C B D1 C1 A D (Ⅰ)求证:平面; (Ⅱ)在棱上是否存在点,使∥平面? 若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)若二面角的余弦值为,求棱的 长. 【答案】A1 B1 E C B D1 C1 A D 证明:(Ⅰ)在长方体中, 因为面, 所以. ……………………2分 在矩形中,因为, 所以. 所以面. ………………………4分 (Ⅱ)A1 B1 C B D1 C1 A D x y E z 如图,在长方体 中,以为原点建立空间直角坐标系. 依题意可知,, , 设的长为,则, . 假设在棱上存在点,使得∥平面. 设点,则, . 易知. 设平面的一个法向量为, 则,即.………………………………………………7分 令得,,所以. 因为∥平面,等价于且平面. 得,所以. 所以,,所以的长为.………………………………9分 (Ⅲ)因为∥,且点, 所以平面、平面与面是同一个平面. 由(Ⅰ)可知,面, 所以是平面的一个法向量. ………………………………11分 由(Ⅱ)可知,平面的一个法向量为. 因为二面角的余弦值为, 所以,解得. 故的长为. …………………………………………………………14分 .(2013北京海淀二模数学理科试题及答案)如图1,在直角梯形中,,,, . 把沿对角线折起到的位置,如图2所示,使得点在平面上的正投影恰好落在线段上,连接,点分别为线段的中点. (I) 求证:平面平面; (II)求直线与平面所成角的正弦值; (III)在棱上是否存在一点,使得到点四点的距离相等?请说明理由. 若甲、乙两人的日产量相等,则甲、乙两人中技术较好的是. 12.图2是一个有....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................层的六边形点阵.它的中心是一个点,算作 第一层.第2层每边有2个点.第3层每边有3个点,…,第层 每边有个点,则这个点阵的点数共有个. 13.已知的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56:3, 则该展开式中的系数为. (二) 选做题 (14~15题.考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题) 已知直线的参数方程为 (参数), 圆的参数方程为 (参数), 则直线被圆所截得的弦长为. 15.(几何证明选讲选做题) 如图3,半径为5的圆的两条弦 和相交于点,,为的中点, ,则弦的长度为. 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分) 已知,. (1) 求值; (2) 求的值. 17.(本小题满分12分) 如图4,在直角梯形中,°.°,,把沿对角线折起后如图5所示 (点记为点).点在平面上的正投影落在线段上,连接. (1) 求直线与平面所成的角的大小; (2) 求二面角的大小的余弦值. 【答案】解:(I)因为点在平面上的正投影恰好落在线段上 所以平面,所以 因为在直角梯形中,,, , 所以,,所以是等边三角形, 所以是中点, 所以 同理可证 又 所以平面 (II)在平面内过作的垂线 如图建立空间直角坐标系, 则,, 因为, 设平面的法向量为 因为, 所以有,即, 令则 所以 所以直线与平面所成角的正弦值为 (III)存在,事实上记点为即可 因为在直角三角形中,, 在直角三角形中,点 所以点到四个点的距离相等 .(北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学)(本小题满分分) 已知:如图,在四棱锥中,四边形为正方形,,且,为中点. (Ⅰ)证明://平面; (Ⅱ)证明:平面平面; (Ⅲ)求二面角的正弦值 【答案】(本小题满分分) 解: (Ⅰ) 证明:连结BD交AC于点O,连结EO O为BD中点,E为PD中点, ∴EO//P B EO平面AEC,PB平面AEC, ∴ PB//平面AE C. (Ⅱ)证明: PA⊥平面ABC D. 平面ABCD, ∴ 又在正方形ABCD中且, ∴CD平面PA D 又平面PCD, ∴平面平面 (Ⅲ)如图,以A为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空 间直角坐标系 由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为 A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0), D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) PA平面ABCD,∴是平面ABCD的法向量,=(0, 0, 2). 设平面AEC的法向量为, , 则 即 ∴ ∴ 令,则 ∴, 二面角的正弦值为 .(北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 )如图,在直三棱柱中,, 是中点. (I)求证:平面; (II)若棱上存在一点,满足,求的长; (Ⅲ)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(I) 连接交于点,连接 因为为正方形,所以为中点, 又为中点,所以为的中位线, 所以 ………………2分 又平面,平面 所以平面 ………………4分 (Ⅱ)以为原点,为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系 所以 设,所以, 因为,所以 ,解得,所以 ………………8分 (Ⅲ)因为, 设平面的法向量为, 则有,得, 令则,所以可以取, ………………10分 因为平面,取平面的法向量为 ………………11分 所以 ………………13分 平面与平面所成锐二面角的余弦值为 ………………14分 .(北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学(理))已知正三角形与平行四边形所在的平面互相垂直. 又,且,点分别为的中点. (I) 求证: (Ⅱ) 求二面角值. 【答案】(I)因为在正三角形中,为中点, 所以 又平面平面,且平面平面, 所以平面,所以 在中, 所以,所以, 即,又 所以平面,所以 (Ⅱ)以为坐标原点,所在直线为坐标轴建立坐标系, 则, 由(I)得平面的法向量为 设平面的法向量为 因为 所以解得,取 所以, 所以二面角的值为. .(2013北京丰台二模数学理科试题及答案)如图(1),等腰直角三角形ABC的底边AB=4,点D在线段AC上,于E,现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置(如图(2)). (Ⅰ)求证:PBDE; (Ⅱ)若PEBE,直线PD与平面PBC所成的角为30°,求PE长. 图(1) 图(2) 【答案】x y z 解: (Ⅰ),,DEPE, , DE平面PEB, , BP DE; (Ⅱ)PEBE, PEDE,,所以,可由DE,BE,PE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系(如图), 设PE=,则B(0,4- ,0),D(,0,0),C(2,2-,0),P(0,0, ), ,, 设面PBC的法向量, 令, , , BC与平面PCD所成角为30°, , 解得:=,或=4(舍),所以,PE的长为 .(2013北京东城高三二模数学理科)如图,△是等边三角形, ,,将△沿折叠到△的位置,使得. (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)若,分别是,的中点,求二面角的余弦值. 【答案】(共14分) (Ⅰ)证明:因为 所以, 又因为,且, 所以 平面, 因为平面, 所以 . (Ⅱ)因为△是等边三角形, ,, 不防设,则 , 又因为,分别为,的中点, 由此以为原点,,,所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系. 则有,,,,,. 所以,. 设平面的法向量为. 则即令,则.所以. 又平面的一个法向量为. 所以 . 所以二面角的余弦值为 .(2011年高考(北京理))如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2, A B C D P (Ⅰ)求证: (Ⅱ)若,求与所成角的余弦值; (Ⅲ)当平面PBC与平面PDC垂直时,求PA的长. 【答案】【命题立意】本题考查了空间的点、线、面的位置关系,线线垂直、线面垂直的转化,会利用空间直角坐标计算空间角和空间距离. 【解析】因为四边形ABCD是菱形,所以, 又因为PA平面ABCD,所以, 所以平面 (Ⅱ)设.因为, PA=AB=2,所以BO=1,AO=CO=. 如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系, 则,所以. 设与所成的角为,则 (Ⅲ)由(Ⅱ)知.设,则. 设平面的法向量,则, 所以 令,则,,所以 同理,平面PDC的法向量, 因为平面平面,所以,即,解得. 所以 .(2013届北京市高考压轴卷理科数学)如图所示,在棱锥中, 平面,底面为直角梯形,且//,, (Ⅰ)求证: (Ⅱ)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(Ⅰ)在直角梯形ABCD中,AC=, 取AB中点E,连接CE, 则四边形AECD为正方形, AE=CE=2,又BE=, 则为等腰直角三角形, , 又平面ABCD,平面, ,由得平面PAC, 平面PAC,所以 (Ⅱ)以A为坐标原点,AD,AB,AP分别为轴, 建立如图所示的坐标系.则,B(0,4,0), C(2,2,0), 由(Ⅰ)知即为平面PAC的一个法向量, , 即PB与平面PAC所成角的正弦值为 .(2013北京昌平二模数学理科试题及答案)如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面,且,、分别为、的中点. (Ⅰ) 求证: //平面; (Ⅱ) 求证:面平面; (Ⅲ) 在线段上是否存在点使得二面角的余弦值为?说明理由. 【答案】(Ⅰ)证明:连结,为正方形,为中点, 为中点.∴在中,// 且平面,平面 ∴ (Ⅱ)证明:因为平面平面, 平面面 为正方形,,平面 所以平面. ∴ 又,所以是等腰直角三角形, 且 即 ,且、面 面 又面, ∴面面 (Ⅲ) 如图,取的中点, 连结,. ∵, ∴. ∵侧面底面, , ∴, 而分别为的中点,∴,又是正方形,故. ∵,∴,. 以为原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系, 则有,,,. 若在上存在点使得二面角的余弦值为 ,连结 设. 由(Ⅱ)知平面的法向量为. 设平面的法向量为.∵, ∴由可得,令,则, 故∴,解得,. 所以,在线段上存在点,使得二面角的余弦值为 .(北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 )如图1,在Rt中,,.D、E分别是上的点,且,将沿折起到的位置,使,如图2. (Ⅰ)求证: 平面; (Ⅱ)若,求与平面所成角的正弦值; (Ⅲ) 当点在何处时,的长度最小,并求出最小值. A B C D E 图1 图2 A1 B C D E 【答案】(Ⅰ)证明: 在△中, .又. 由 . …………………………4分 A1 B C D E x z y (Ⅱ)如图,以为原点,建立空间直角坐标系. ……………………5分 . 设为平面的一个法向量, 因为 所以, 令,得. 所以为平面的一个法向量. ……………………7分 设与平面所成角为. 则. 所以与平面所成角的正弦值为. …………………9分 (Ⅲ)设,则 …………………12分 当时, 的最小值是. 即为中点时, 的长度最小,最小值为. …………………14分 .(北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学)如图所示,正方形与矩形所在平面互相垂直,,点E为的中点。 (Ⅰ)求证: (Ⅱ) 求证: (Ⅲ)在线段AB上是否存在点,使二面角的大小为?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由。 【答案】(Ⅰ) , 点E为的中点,连接。 的中位线 // ……2分 又 ……4分 (II) 正方形中, 由已知可得:, …….6分 , …….7分 …….8分 (Ⅲ)由题意可得:,以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则, ………9分 设 ……10分 设平面的法向量为 则 得 ……11分 取是平面的一个法向量,而平面的一个法向量为 ……12分 要使二面角的大小为 而 解得: 当=时,二面角的大小为 13分 .(北京市石景山区2013届高三一模数学理试题) 如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90o,PD⊥平面ABCD,AD =1,AB=,BC =4. (I)求证:BD⊥PC; (II)求直线AB与平面PDC所成的角; (Ⅲ)设点E在棱PC上,,若DE∥平面PAB,求的值. 【答案】 查看更多