2014届高三理科数学一轮复习试题选编23:抛物线(学生版)

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2014届高三理科数学一轮复习试题选编23:抛物线(学生版)

‎2014届高三理科数学一轮复习试题选编23:抛物线 一、选择题 .(北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 )已知直线和直线,抛物线上一动点到直线 和直线的距离之和的最小值是 (  )‎ A. B. C. D.‎ .(2013北京东城高三二模数学理科)过抛物线焦点的直线交抛物线于,两点,若,则的中点到轴的距离等于 (  )‎ A. B. C. D.‎ .(2013北京西城高三二模数学理科)已知正六边形的边长是,一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点,则抛物线的焦点到准线的距离是 (  )‎ A. B. C. D. ‎ .(北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学)抛物线(>)的焦点为,已知点,为抛物线上的两个动点,且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线,垂足为,则的最大值为 (  )‎ A. B.‎1 ‎C. D.2‎ .(北京市石景山区2013届高三一模数学理试题)对于直线l:y=k (x+1)与抛物线C:y2= 4x,k=±1是直线l与抛物线C有唯一交点的( )条件 (  )‎ A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要条件 D.既不充分也不必要 .(2013届北京海滨一模理科)抛物线的焦点为,点为该抛物线上的动点,又点,则的最 小值是 (  )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题 .(北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷(解析))在平面直角坐标系中,设抛物线的焦点为,准线为为抛物线上一点,,为垂足.如果直线的倾斜角为 ‎,那么_______.‎ .(2013北京房山二模数学理科试题及答案)抛物线的焦点坐标为,则抛物线的方程为___,若点在抛物线 上运动,点在直线上运动,则的最小值等于____.‎ .(北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学(理))直线与抛物线相切于点. 若的横坐标为整数,那么的最小值为______.‎ .(2013届北京西城区一模理科)在直角坐标系中,点与点关于原点对称.点在抛物线上,且直线与的斜率之积等于,则______.‎ 三、解答题 .(北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 )(本小题满分13分)已知椭圆的对称轴为坐标轴, 离心率为且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线与椭圆相交于A、B两点,以线段为邻边作平行四边形OAPB,其中点P在椭圆上,为坐标原点. 求点到直线的距离的最小值.‎ .(北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学(理))如图,已知,两点分别在轴和轴上运动,并且满足,. ‎ ‎(Ⅰ)求动点的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)若正方形的三个顶点在点的轨迹上,求正方形面积的最小值.‎ .(北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题)如图,已知抛物线的焦点为.过点 的直线交抛物线于,‎ 两点,直线,分别与抛物线交于点,.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)记直线的斜率为,直线的斜率为.证明:为定值.‎ .(北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学(理))动圆过点且在轴上截得的线段长为,记动圆圆心轨迹为曲线.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的方程;‎ ‎(Ⅱ)已知是曲线上的两点,且,过两点分别作曲线的切线,设两条切线交于点,求△面积的最大值.‎ .(北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 )已知是抛物线上一点,经过点的直线与抛物线交于两点(不同于点),直线分别交直线于点.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线方程及其焦点坐标;‎ ‎(Ⅱ)已知为原点,求证:为定值.‎ 北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编23:抛物线参考答案 一、选择题 ,【答案】B ‎【 解析】因为抛物线的方程为,所以焦点坐标,准线方程为。所以设到准线的距离为,则。到直线的距离为,‎ 所以,其中为焦点到直线的距离,所以,所以距离之和最小值是2,选B. ‎ D ‎ B; ‎ A ‎ A ‎ B 二、填空题 答案4抛物线的焦点坐标为,准线方程为.因为直线的倾斜角为,所以,又,所以.因为,所以,代入,得,所以. ‎ ‎ 1 ‎ ; ‎ 三、解答题 解:(I)由已知抛物线的焦点为,故设椭圆方程为, 则所以椭圆的方程为……5分 ‎(II)当直线斜率存在时,设直线方程为,‎ 则由 ‎ 消去得,, …………………6分 ‎, ①…………7分 设点的坐标分别为,则:‎ ‎,…………8分 由于点在椭圆上,所以 . ……… 9分 从而,化简得,经检验满足①式. ‎ ‎………10分 又点到直线的距离为:‎ ‎ ………11分 ‎ 当且仅当时等号成立 ………12分 当直线无斜率时,由对称性知,点一定在轴上,‎ 从而点的坐标为,直线的方程为,所以点到直线的距离为1 . ‎ 所以点到直线的距离最小值为 . ………13分 解:(I) ‎ ‎ ‎ 由已知则 ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)如图,不妨设正方形在抛物线上的三个顶点中在轴的下方(包括轴), ‎ 记的坐标分别为,其中 ‎ 并设直线的斜率为 ‎ B A C D O y x ‎ ‎ 则有① ‎ 又因为在抛物线上,故有 ‎ 代入①式得 ‎ ‎② ‎ 因为 ‎ 即 ‎ 所以 ‎ 所以将②代入可得: ‎ ‎ ‎ 即, ‎ 得 ‎ 正方形的边长为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 易知, 所以 ‎ 所以正方形ABCD面积的最小值为. ‎ (Ⅰ)解:依题意,设直线的方程为. ………………1分 将其代入,消去,整理得 . ………………4分 从而. ………………5分 ‎(Ⅱ)证明:设,. ‎ 则 . ………………7分 设直线的方程为,将其代入,消去,‎ 整理得 . ………………9分 所以 . ………………10分 同理可得 . ………………11分 故. ………………13分 由(Ⅰ)得 ,为定值. ………………14分 解:(Ⅰ)设圆心坐标为,那么,化简得 ‎ ‎(Ⅱ)解法一:设 ‎ 设直线PQ的方程为,代入曲线C的方程得, ‎ 所以 ‎ 因为,所以 ‎ 所以, ‎ 过P、Q两点曲线C的切线方程分别为 ‎ 两式相减,得 ‎ ‎,, ‎ 代入过P点曲线C的切线方程得, ‎ ‎, ‎ 即两条切线的交点M的坐标为(),所以点M到直线PQ的距离为 ‎ ‎ ‎ 当时, ,此时的面积的取最大值 ‎ 解法二: 设,则过P、Q两点曲线C的切线方程分别为 ‎ ‎ ‎ 两式相减得, ‎ ‎,, ‎ 代入过P点曲线C的切线方程得, ‎ ‎, ‎ 即两条切线的交点M的坐标为(,) ‎ 设PQ中点为C,则C的坐标为(,),所以MC平行于y轴,所以 ‎ ‎ ‎ 设点M到直线PQ的距离为d,那么(当且仅当时等号成立) . ‎ 又因为,所以, ‎ 即,. ‎ 所以 (当且仅当时等号成立) . ‎ 因此,, ‎ 所以的面积的最大值为. ‎ 解:(Ⅰ)将代入,得 所以抛物线方程为,焦点坐标为 ………………3分 ‎(Ⅱ)设,,,‎ 法一:‎ 因为直线不经过点,所以直线一定有斜率 设直线方程为 与抛物线方程联立得到 ,消去,得:‎ 则由韦达定理得:‎ ‎ ………………6分 直线的方程为:,即,‎ 令,得 ………………9分 同理可得: ………………10分 又 ,‎ 所以 ‎      ‎ ‎                     ………………13分 所以,即为定值 ………………14分 法二:‎ 设直线方程为 与抛物线方程联立得到 ,消去,得:‎ 则由韦达定理得:‎ ‎ ………………6分 直线的方程为:,即,‎ 令,得 ………………9分 同理可得: ………………10分 又 ,‎ ‎      ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎………………12分 所以,即为定值 ………………13分
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