【数学】2020届一轮复习(文理合用)选修4-5 不等式选讲作业
对应学生用书[考案12理][考案12文]
选修4-5 综合过关规范限时检测
(时间:45分钟 满分100分)
1.(2019·南通模拟)[选修4-5:不等式选讲]
设f(x)=|x|+2|x-a|(a>0).
(1)当a=1时,解不等式f(x)≤4;
(2)若f(x)≥4,求实数a的取值范围.
[解析] (1)f(x)=|x|+2|x-1|=
当x<0时,2-3x≤4,得-≤x<0;
当0≤x≤1时,1≤2-x≤2,得0≤x≤1;
当x>1时,3x-2≤4,得1
1,f(α)+f(β)=6,求证:+≥.
[解析] (1)∵|x-m|+|x|≥|x-m-x|=|m|,
∴若存在实数x使|x-m|+|x|<2成立,则|m|<2,解得-21,f(α)+f(β)=2α-1+2β-1=6,
∴α+β=4.
∴+=(α+β)(+)=(5++)≥(5+2)=,当且仅当α=2β=时取等号.
3.(2019·威海模拟)已知函数f(x)=|2x-2|-|x+2|.
(1)求不等式f(x)≥6的解集;
(2)当x∈R时,f(x)≥-x+a恒成立,求实数a的取值范围.
[解析] (1)当x≤-2时,f(x)=-x+4,
∴f(x)≥6,即-x+4≥6,x≤-2,故x≤-2;
当-20)的解集为[-,],求实数m的值;
(2)若不等式f(x)≤|y|+|a-y|+|2x|对任意的x,y∈R都成立,求正实数a的最小值.
[解析] (1)由题意知,不等式|2x|≤2m+1(m>0)的解为[-,],
由|2x|≤2m+1,得-m-≤x≤m+,
∴m+=,-m-=-,解得m=1.
(2)由题意知,|2x-1|-|2x|≤|y|+|a-y|恒成立,
∴(|2x-1|-|2x|)max≤(|y|+|a-y|)min.
∵|2x-1|-|2x|≤|2x-1-2x|=1,
∴1≤(|y|+|a-y|)min.
又|y|+|a-y|≥|y+a-y|=a,∴a≥1.
故正实数a的最小值为1.
5.(2019·武汉模拟)已知函数f(x)=|2x-1|.
(1)解关于x的不等式f(x)-f(x+1)≤1;
(2)若关于x的不等式f(x)(|2x-1|+|2x+1|)min即可.
由于|2x-1|+|2x+1|=|1-2x|+|2x+1|≥|1-2x+(2x+1)|=2,
当且仅当(1-2x)(2x+1)≥0,即x∈[-,]时等号成立,故m>2.所以m的取值范围是(2,+∞).
6.(2019·佛山模拟)已知函数f(x)=x2+x+|a-|+|a|.
(1)若a=1,解不等式f(x)>|x+1|+|x-1|;
(2)若存在x0使得f(x0)=0,求实数a的取值范围.
[解析] (1)当a=1时,不等式f(x)>|x+1|+|x-1|即x2+x+>|x+1|+|x-1|.
①若x<-1,不等式可化为x2+x+>-x-1-x+1,(x+)2>,解得x<-或x>-,结合x<-1,得x<-;
②若-1≤x≤1,不等式可化为x2+x+>x+1+1-x,(x+)2>,解得x<-或x>-,结合-1≤x≤1,得-1,不等式可化为x2+x+>x+1+x-1,x2-x+>0,x∈R,结合x>1,得x>1.
综合①②③得不等式的解集为{x|x<-或x>-}.
(2)由题意可知Δ=1-4(|a|+|a-|)≥0,
即|a|+|a-|≤,
|-a|≤-|a|,解得0≤a≤,
故a的取值范围为[0,].
7.已知函数f(x)=|x-a|(a∈R).
(1)当a=2时,解不等式|x-|+f(x)≥1;
(2)设不等式|x-|+f(x)≤x的解集为M,若[,]⊆M,求实数a的取值范围.
[解析] (1)当a=2时,原不等式可化为|3x-1|+|x-2|≥3,
①当x≤时,1-3x+2-x≥3,解得x≤0,所以x≤0;
②当0,b>0,函数f(x)=|x+a|+|2x-b|的最小值为1.
(1)证明:2a+b=2;
(2)若a+2b≥tab恒成立,求实数t的最大值.
[解析] (1)证明:∵-a<,
∴f(x)=
显然f(x)在(-∞ ,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,
∴f(x)的最小值为f()=-+a+b=1,即2a+b=2.
(2)∵a+2b≥tab恒成立,∴≥t恒成立,
=+=(+)(2a+b)=(5++)=+(+)≥+2=,
当且仅当=,即a=b=时取“=”,
∴的最小值为.
∴t≤,即实数t的最大值为.