2016年高考数学（文科）真题分类汇编K单元 概率
数 学
K单元 概率
K1 随事件的概率
18．K1，K6，K8[2016·全国卷Ⅱ] 某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
18．解：(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查的200名续保人的平均保费为
0．85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
K2 古典概型
3．K2[2016·全国卷Ⅰ] 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A. B.
C. D.
3．C [解析] 从4种颜色的花中任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花在一个花坛的种法有2种，故所求概率P＝＝.
5．K2[2016·全国卷Ⅲ] 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位
是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )
A. B. C. D.
5．C [解析] 由古典概型公式得所求概率P＝＝.
6．J2，K2[2016·北京卷] 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )
A. B.
C. D.
6．B [解析] 甲被选中的概率为＝.
7．K2、K4[2016·江苏卷] 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．
7. [解析] 本题为古典概型，基本事件共有36个，点数之和大于等于10的有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，6)，(6，5)，(6，4)，共计6个基本事件，故点数之和小于10的有30个基本事件，所求概率为.
11．K2[2016·上海卷] 某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为________．
11. [解析] 将四种水果每两种分为一组，有C＝6(种)方法，则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相同的概率为.
13．J1，K2[2016·四川卷] 从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________．
13. [解析] 由题意可知，(a，b)可能的情况有(2，3)，(2，8)，(2，9)，(3，2)，(3，8)，(3，9)，(8，2)，(8，3)，(8，9)，(9，2)，(9，3)，(9，8)，共12种情况，其中只有(2，8)，(3，9)满足题意，故所求概率为＝.
16．K2[2016·山东卷] 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图14所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
图14
16．解：用数对(x，y)表示儿童参加活动时先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是4×4＝16，
所以基本事件总数n＝16.
(1)记“xy≤3”为事件A，
则事件A包含的基本事件共5个，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)，
所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B，“3
，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
04[2016·浙江卷] “计数原理与概率”模块
(1)已知(1＋2x)4(1－x2)3＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，求a2的值．
(2)设袋中共有8个球，其中3个白球、5个红球，从袋中随机取出3个球，求至少有1个白球的概率．
解：(1)因为(1＋2x)4二项展开式的通项为C(2x)r，r＝0，1，2，3，4.
(1－x2)3二项展开式的通项为C(－x2)r，r＝0，1，2，3.
所以a2＝C·22·C＋C·C·(－1)＝21.
(2)从袋中取出3个球，总的取法有C＝56(种)；
其中都是红球的取法有C＝10(种)．
因此，从袋中取出3个球至少有1个白球的概率是
1－＝.
K3 几何概型
8．K3[2016·全国卷Ⅱ] 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A. B.
C. D.
8．B [解析] 至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为＝.
K4 互斥事件有一个发生的概率
2．K4[2016·天津卷] 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为( )
A. B.
C. D.
2．A [解析] 甲不输的概率P＝＋＝.
7．K2、K4[2016·江苏卷] 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．
7. [解析] 本题为古典概型，基本事件共有36个，点数之和大于等于10的有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，6)，(6，5)，(6，4)，共计6个基本事件，故点数之和小于10的有30个基本事件，所求概率为.
19．B1，I2，K4[2016·全国卷Ⅰ] 某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
图15
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．
(1)若n＝19，求y与x的函数解析式；
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
19．解：(1)当x≤19时，y＝3800；
当x>19时，y＝3800＋500(x－19)＝500x－5700.
所以y与x的函数解析式为
y＝(x∈N)．
(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19.
(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800元，20台的费用为4300元，10台的费用为4800元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
×(3800×70＋4300×20＋4800×10)＝4000(元)．
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000元，10台的费用为4500元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
×(4000×90＋4500×10)＝4050(元)．
比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．
K5 相互对立事件同时发生的概率
K6 离散型随机变量及其分布列
18．K1，K6，K8[2016·全国卷Ⅱ] 某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
18．解：(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查的200名续保人的平均保费为
0．85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
K7 条件概率与事件的独立性
K8 离散型随机变量的数字特征与正态分布
18．K1，K6，K8[2016·全国卷Ⅱ] 某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
18．解：(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查的200名续保人的平均保费为
0．85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
K9 单元综合
3．[2016·运城期末]若m∈(4，7)，则直线y＝kx＋k与圆x2＋y2＋mx＋4＝0至少有一个交点的概率是( )
A. B. C. D.
3．B [解析] 直线y＝kx＋k即y＝k(x＋1)，恒过定点M(－1，0)，要使该直线与圆x2＋y2＋mx＋4＝0至少有一个交点，则点M必须在圆内或圆上，∴(－1)2＋0－m＋4≤0，解得m≥5①.∵x2＋y2＋mx＋4＝0表示圆，∴m2＋0－16>0，解得m>4或m<－4②.综合①②得m≥5，又m∈(4，7)，故所求概率P＝.
5．[2016·福州质检]在2015年全国青运会火炬传递活动中，有编号分别为1，2，3，4，5的5名火炬手，若从中任选2名，则选出的火炬手的编号相连的概率为( )
A. B.
C. D.
5．D [解析] 基本事件总数为10，分别是{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1, 5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，其中选出的火炬手的编号相连的有{1，2}，{2，3}，{3，4}，{4，5}，共4种，故选出的火炬手的编号相连的概率为.
8．[2016·孝感六校期末] 设x∈{－1，1}，y∈{－2，0，2}，则以(x，y)为坐标的点落在不等式x＋2y≥1所表示的平面区域内的概率为( )
A. B.
C. D.
8．C [解析] ∵x∈{－1，1}，y∈{－2，0，2}，∴对应的点的坐标为(－1，－2)，(－1，0)，(－1，2)，(1，－2)，(1，0)，(1，2)，共有6种结果．落在不等式x＋2y≥1所表示的平面区域内的点(x，y)有：(－1，2)，(1，2)，(1，0)，共3种结果．故所求概率P＝＝.
