2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册课时分层作业:1

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2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册课时分层作业:1

www.ks5u.com 课时分层作业(七) ‎ ‎(建议用时:40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.u=(2,-2,2)是平面α的一个法向量,v=(1,2,1)是平面β的一个法向量,则下列命题正确的是(  )‎ A.α,β平行 B.α,β垂直 C.α,β重合 D.α,β不垂直 B [u·v=(2,-2,2)·(1,2,1)=2×1-2×2+2×1=0,∴u⊥v,∴平面α⊥平面β.]‎ ‎2.已知直线l1的一个方向向量a=(2,4,x),直线l2的一个方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且l1⊥l2,则x+y的值是(  )‎ A.-3或1 B.3或-1‎ C.-3 D.1‎ A [由条件可知|a|==6,且a·b=4+4y+2x=0,解得或,∴x+y=1或-3.]‎ ‎3.在四棱锥PABCD中,底面ABCD是平行四边形,=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),则PA与底面ABCD的关系是(  )‎ A.相交 B.垂直 C.不垂直 D.成60°角 B [因为·=2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=0,所以⊥;因为·A=4×(-1)+2×2+0×(-1)=0,所以⊥,又∩=A,所以AP⊥ABCD.]‎ ‎4.已知A(-1,1,2),B(1,0,-1),设D在直线AB上,且=2,设C,若CD⊥AB,则λ的值为(  )‎ A. B.- C. D. B [设D(x,y,z),则=(x+1,y-1,z-2),=(2,-1,-3),=(1-x,-y,-1-z),‎ ‎∵=2,∴∴ ‎∴D,=,‎ ‎∵⊥,∴·=2+λ-3(-1-λ)=0,∴λ=-.]‎ ‎5.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则(  )‎ A.EF至多与A1D,AC之一垂直 B.EF⊥A1D,EF⊥AC C.EF与BD1相交 D.EF与BD1异面 B [建立以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴的空间直角坐标系(图略),不妨设正方体的棱长为1,则=(1,0,1),‎ =(0,1,0)-(1,0,0)=(-1,1,0),‎ E,F,‎ =,∴·=0,·=0,‎ ‎∴EF⊥A1D,EF⊥AC.]‎ 二、填空题 ‎6.已知三点A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1),则平面ABC的单位法向量为________.‎ 或 [三点A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1),则=(0,-1,1),=(-1,0,1).‎ 令平面ABC的法向量为n=(x,y,z),可得,‎ 即,∴x=y=z,∵平面ABC的法向量n=(x,y,z)为单位法向量,‎ ‎∴x2+y2+z2=1,解得x=y=z=±,‎ 故平面ABC的单位法向量是或.]‎ ‎7.设平面α与向量a=(-1,2,-4)垂直,平面β与向量b=(2,3,1)垂直,则平面α与β的位置关系是________.‎ 垂直 [由题意,a·b=(-1,2,-4)·(2,3,1)=-2+6-4=0,∴a⊥b,‎ ‎∵根据平面α与向量a=(-1,2,-4)垂直,平面β与向量b=(2,3,1)垂直,∴α⊥β.故答案为垂直.]‎ ‎8.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则=________.‎  [∵⊥,∴·=0,∴3+5-2z=0,∴z=4.∵=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,‎ ‎∴即 解得故=.]‎ 三、解答题 ‎9.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.求证:AM⊥平面BDF.‎ ‎[证明] 以C为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(,,0),B(0,,0),D(,0,0),F(,,1),M.‎ 所以=,=(0, ,1),=(,-,0).‎ 设n=(x,y,z)是平面BDF的法向量,‎ 则n⊥,n⊥,‎ 所以 ‎⇒ 取y=1,得x=1,z=-.则n=(1,1,-).‎ 因为=.‎ 所以n=- ,得n与共线.‎ 所以AM⊥平面BDF.‎ ‎10.如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,E,F分别是棱AB,BC的中点.求证:平面B1EF⊥平面BDD1B1.‎ ‎[证明] 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图,‎ 由题意,知D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,4),E(2‎ eq (2),,0),F(,2,0),‎ 则=(0,-,-4),‎ =(-,,0).‎ 设平面B1EF的法向量为n=(x,y,z).‎ 则n·=-y-4z=0,n·=-x+y=0,‎ 得x=y,z=-y,令y=1,得n=.‎ 又平面BDD1B1的一个法向量为=(-2,2,0),‎ 而n·=1×(-2)+1×2+×0=0,‎ 即n⊥,∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.‎ ‎11.(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于下列结论正确的有(  )‎ A.AP⊥AB B.AP⊥AD C.是平面ABCD的法向量 D.∥ ABC [由于·=-1×2+(-1)×2+(-4)×(-1)=0,·=4×(-1)+2×2+0×(-1)=0,所以A、B、C正确,又=-=(2,3,4).‎ ‎∵=(-1,2,-1),不满足=λ,‎ ‎∴D不正确,故选ABC.]‎ ‎12.(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中,ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体,给出下列结论中,正确的是(  )‎ A.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)‎ B.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)‎ C.平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)‎ D.平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)‎ AC [∵=(0,1,0),AB⊥AD,AA1⊥AD,又AB∩AA1=A,∴AD⊥平面ABB1A1,∴A正确;∵=(-1,0,0),而(1,1,1)·=-1≠0,∴(1,1,1)不是平面B1CD的法向量,∴B不正确;C中易证AC1⊥面B1CD1且=(1,1,1),∴C正确,D中,因=(1,0,0),∴·(0,1,1)=0,又=(0,1,1),且(0,1,1)·(0,1,1)≠0,∴D不正确.]‎ ‎13.(一题两空)已知空间三点A(-1,1,1),B(0,0,1),C(1,2,-3),若直线AB上存在一点M,满足CM⊥AB,则点M的坐标为________,若n=(x,y,z)为平面ABC的法向量,则x∶y∶z=________.‎  4∶4∶3 [设M(x,y,z),∵=(1,-1,0),=(x,y,z-1),=(x-1,y-2,z+3),由题意,得,∴x=-,y=,z=1,∴点M的坐标为,又=(2,1,-4).‎ n·=x-y=0且n·=2x+y-4z=0,‎ 令x=1,则y=1,z=,∴x∶y∶z=1∶1∶=4∶4∶3.]‎ ‎14.如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE⊥面B1DE,则AE=________.‎ a或2a [建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则B1(0,0,3a),C(0,a,0),‎ D.‎ 设E(a,0,z)(0≤z≤3a),‎ 则=(a,-a,z),‎ =(a,0,z-3a),‎ =.‎ 又·=a2-a2+0=0,‎ ·=2a2+z2-3az=0,‎ 解得z=a或2a.故AE=a或2a.]‎ ‎15.如图,在三棱锥PABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.‎ ‎(1)证明:AP⊥BC;‎ ‎(2)在线段AP上是否存在点M,使得二面角AMCB为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在.请说明理由.‎ ‎[解] (1)证明:如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).‎ ‎∵=(0,3,4),=(-8,0,0),由此可得·=0,所以⊥,所以AP⊥BC.‎ ‎(2)假设存在满足题意的点M,设=γ,0≤γ<1,则=γ(0,-3,-4).‎ =+=+γ=(-4,-2,4)+γ(0,-3,-4)=(-4,-2-3r,4-4γ),‎ =(-4,5,0),=(-8,0,0).‎ 设平面BMC的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面APC的法向量为n2=(x2,y2,z2).‎ 由得 令y1=1可得n1=.‎ 由可得令y2=4可得n2=(5,4,-3).‎ 由n1·n2=0,得4-3·=0,解得γ=,故AM=3.‎ 故存在点M符合题意,且AM=3.‎
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