宁夏回族自治区银川市六盘山高级中学2020届高三上学期第一次月考数学试题

宁夏回族自治区银川市六盘山高级中学2020届高三上学期第一次月考数学试题

宁夏六盘山高级中学2019- 2020学年第一学期高三(文)第一次月考测试卷 一、选择题（每小题5分，共60分，每小题四个选项中，只有一项符合要求）‎ ‎1.设全集U＝Z，集合A＝{x∈Z|x2﹣x﹣2≥0}，则∁UA＝（ ）‎ A. {0} B. {1} C. {0，1} D. {﹣1，0，1，2}‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合，求出集合的补集即可.‎ ‎【详解】集合或，则.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的化简与补集运算问题，属于基础题.‎ ‎2.复数，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）‎ A. B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数共轭的概念得到，再由复数的除法运算得到结果即可.‎ ‎【详解】‎ 虚部-1，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.‎ ‎3. 下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次判断每个选项得到答案.‎ ‎【详解】A. 是非奇非偶函数 B. 是周期函数不是递增 C. 满足条件 D. 是非奇非偶函数 故答案选C ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于简单题.‎ ‎4.设a＝30.5，b＝log32，c＝cos，则a，b，c的大小关系是（ ）‎ A. b＞a＞c B. a＞c＞b C. b＞c＞a D. a＞b＞c ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 容易得出，，，从而可得出的大小关系.‎ ‎【详解】，，，‎ ‎.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性，余弦值在各象限的符号，以及增函数的定义，属于基础题．‎ ‎5.已知函数，若，则实数（ ）‎ A. -1 B. ‎27 ‎C. 或1 D. -1或27‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别讨论和两种情况，结合函数解析式，即可求出结果.‎ ‎【详解】当时，，得，解得，符合题意；‎ 当时，由，得，解得，符合题意.‎ 综上可得或.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数，由函数值求参数的问题，灵活运用分类讨论的思想即可，属于基础题型.‎ ‎6.在等差数列{}中，若a3，a7是函数f(x)=的两个零点，则{}的前9项和等于（ ）‎ A. -18 B. ‎9 ‎C. 18 D. 36‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵等差数列{an}中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，‎ ‎∴a3+a7=4，‎ ‎∴{an}的前9项和S9=．‎ 故选C．‎ ‎7.已知向量,,则向量在向量方向上的投影为（ ）‎ A. B. C. －1 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可根据投影的向量定义式和两个向量的数量积公式来计算．‎ ‎【详解】由投影的定义可知：‎ 向量在向量方向上的投影为：，‎ 又∵，‎ ‎∴．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查投影的向量定义以及根据两个向量的数量积公式来计算一个向量在另一个向量上的投影，本题属基础题．‎ ‎8.下列说法正确是（ ）‎ A. 设m为实数，若方程表示双曲线，则m＞2．‎ B. “p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件 C. 命题“∃x∈R，使得x2+2x+3＜‎0”‎的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞‎‎0”‎ D. 命题“若x0为y＝f（x）的极值点，则f’（x）＝‎0”‎的逆命题是真命题 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的定义和方程判断A，复合命题真假关系以及充分条件和必要条件的定义判断B，特称命题的否定是全称命题判断C，逆命题的定义以及函数极值的性质和定义判断D.‎ ‎【详解】对于A：若方程表示双曲线，则，解得或，故A错误；‎ 对于B：若为真命题，则，同时为真命题，则为真命题，当真假时，满足为真命题，但为假命题，即必要性不成立，则“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件，故B正确；‎ 对于C：命题“，使得”的否定是：“，”，故C错误；‎ 对于D：命题“若为的极值点，则”的逆命题是：“若，则为的极值点”，此逆命题为假命题，比如：在中，，其中，但不是极值点，故D错误.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，难度不大，属于基础题．‎ ‎9.已知，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意可得：‎ 本题选择A选项.‎ ‎10.已知函数，则y＝f（x）的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用特殊值判断函数的图象即可．‎ ‎【详解】令，则，再取，则，显然，故排除选项B、C；‎ 再取时，，又当时，，故排除选项D.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查函数的图象的判断，特殊值法比利用函数的导函数判断单调性与极值方法简洁，属于基础题.‎ ‎11.已知函数的一条对称轴为，，且函数在上具有单调性，则的最小值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题，将函数化简，根据对称轴求得a的值，再根据已知条件求得两点必须关于对称中心对称，求得的值，可得结果.‎ ‎【详解】由题，=，为辅助角， ‎ 因为对称轴为，所以 ‎ 即 解得 ‎ 所以 ‎ 又因为在上具有单调性，且，‎ 所以两点必须关于正弦函数的对称中心对称，‎ 即 ‎ 所以 ‎ 当时，取最小为 故选A ‎【点睛】本题考查了三角函数综合知识，包含图像与性质，辅助角公式化简等，熟悉性质图像是解题的关键，属于中等较难题.‎ ‎12.已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，可以把不等式变形为：构造函数，知道函数的单调性，进而利用导数，可以求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 设函数，于是有，而，说明函数当时，是单调递增函数，因为，所以，‎ ‎，因此当时，恒成立，即 ‎，当时恒成立，设，当时，‎ ‎，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故当 时，函数有最小值，即为，因此不等式，当时恒成立，只需，故本题选A.‎ ‎【点睛】本题考查了通过构造函数，得知函数的单调性，利用导数求参问题，合理的恒等变形是解题的关键.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.曲线在处的切线方程为_________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，，∴，而时，，‎ ‎∴切线方程为，即，故填：.‎ 考点：导数的运用.‎ ‎14.已知，，若，则与的夹角是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，，且，知，即3+2cos＜＞=0，由此能求出向量与的夹角．‎ ‎【详解】∵，，且，‎ ‎∴‎ 即3+2cos＜＞=0，‎ 解得cos＜＞=﹣，‎ ‎∴向量与的夹角是150°，‎ 故答案为150°．‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积判断两个向量垂直的条件的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底.‎ ‎15.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝__________.‎ ‎【答案】－.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以，所以，即，又，即，所以数列是首项和公差都为的等差数列，所以，所以．‎ 考点：数列的递推关系式及等差数列的通项公式．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了数列的通项公式、数列的递推关系式的应用、等差数列的通项公式及其性质定知识点的综合应用，解答中得到，，确定数列是首项和公差都为的等差数列是解答的关键，着重考查了学生灵活变形能力和推理与论证能力，平时应注意方法的积累与总结，属于中档试题．‎ ‎16.《数书九章》三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约一，为实，一为从隅，开平方得积”.秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法.以，，，分别表示三角形的面积，大斜，中斜，小斜；，，分别为对应的大斜，中斜，小斜上的高；则.若在中，，，根据上述公式，可以推出该三角形外接圆的半径为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据题意可知：，故设，由 代入可得，由余弦定理可得cosA=，所以由正弦定理得三角形外接圆半径为 三、解答题：（共计70分．解答应写出计算过程、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.‎ ‎(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；‎ ‎(2)若T3＝21，求S3.‎ ‎【答案】（1）；（2）当q=4时,S3=﹣6；当q=﹣5时， S3=21．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，运用等差数列和等比数列的通项公式，列方程解方程可得，即可得到所求通项公式；‎ 运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，再由等差数列的通项公式和求和，计算即可得答案．‎ 解析：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，‎ a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5，可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5，‎ 解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去），‎ 则{bn}的通项公式为bn=2n﹣1，n∈N*；‎ ‎（2）b1=1，T3=21，可得1+q+q2=21，解得q=4或﹣5，‎ 当q=4时，b2=4，a2=2﹣4=﹣2，‎ d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6；‎ 当q=﹣5时，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7，‎ d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21．‎ ‎18.已知向量， ，函数 ‎（1）求函数的单调增区间 ‎（2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的值域.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析： (1)由已知化简可得,可得最大值，利用周期公式可求的最小正周期; (2)由图象变换得到,从而求函数的值域.‎ 试题解析：‎ 试题解析：(1) ‎ ‎ . ‎ ‎(2)由(1)得.将函数的图象向左平移个单位后得到 的图象. 因此，又，‎ 所以，.故在上的值域为.‎ ‎19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin‎2A+sin2B+sin‎2C＝‎ sinAsinB+sinBsinC+sinCsin A．‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：△ABC是正三角形；‎ ‎（2）如图，点D在边BC的延长线上，且BC＝2CD，AD，求sin∠BAD的值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知利用正弦定理可得，再配方得，则，因此是正三角形；‎ ‎（2）由已知条件可得，，再由余弦定理可得，又，利用正弦定理即可得到结论.‎ ‎【详解】（1）证明：∵sin‎2A+sin2B+sin‎2C＝sinAsinB+sinBsinC+sinCsin A ‎∴a2+b2+c2＝ab+ac+bc，∴‎2a2+2b2+‎2c2＝2ab+‎2ac+2bc，‎ ‎∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，∴a＝b＝c，‎ ‎∴△ABC为等边三角形；‎ ‎（2）∵△ABC是等边三角形，BC＝2CD，‎ ‎∴AC＝2CD，∠ACD＝120°，‎ ‎∴在△ACD中，由余弦定理，得AD2＝AC2+CD2﹣‎2AC•CDcos∠ACD，‎ ‎∴7＝4CD2+CD2﹣4CD•CDcos120°，∴CD＝1，‎ 在△ABC中，BD＝3CD＝3，‎ 由正弦定理，得sin∠BAD．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题.‎ ‎20.已知函数，其导函数的图象关于轴对称，．‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数的图象与轴有三个不同的交点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据导函数的图象关于轴对称求出m的值，再根据求出n的值；（Ⅱ）问题等价于方程有三个不相等的实根，再求出函数f(x)的单调性和极值，分析得解.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）.‎ 函数的图象关于轴对称，.‎ 又，解得.‎ ‎，.‎ ‎（Ⅱ）问题等价于方程有三个不相等实根时，求的取值范围.‎ 由（Ⅰ），得..‎ 令，解得.‎ 当或时，，‎ 在，上分别单调递增.‎ 又当时，，‎ 在上单调递减.‎ 的极大值为，极小值为.‎ 实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，数形结合思想是数学中的一种重要的思想，通过数形结合将本题转化为函数图象的交点，可以直观形象的解决问题．‎ ‎21.己知函数，它的导函数为.‎ ‎（1）当时，求的零点；‎ ‎（2）若函数存在极小值点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）是的零点；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得时的，由单调性及求得结果.‎ ‎（2）当时，，易得存在极小值点，再分当时和当时，令，通过研究的单调性及零点情况，得到的零点及分布的范围，进而得到的极值情况，综合可得结果.‎ ‎【详解】（1）的定义域为，‎ 当时，，.‎ 易知为上的增函数，‎ 又，所以是的零点.‎ ‎（2），‎ ‎① 当时，，令，得；令，得，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意.‎ 令，则.‎ ‎② 当时，，所以在上单调递增.‎ 又，，‎ 所以在上恰有一个零点，且当时，；当时，，所以是的极小值点，符合题意.‎ ‎③ 当时，令，得.‎ 当）时，；当时，，‎ 所以.‎ 若，即当时，恒成立，‎ 即在上单调递增，无极值点，不符合题意.‎ 若，即当时，，‎ 所以，即在上恰有一个零点，且当时，；当时，，‎ 所以是的极小值点，符合题意.‎ 综上，可知，即的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查了函数的极值，单调性和函数的导数之间的关系，构造函数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 ‎22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cosθ，．‎ ‎（1）求C1与C2交点的直角坐标；‎ ‎（2）若直线l与曲线C1，C2分别相交于异于原点的点M，N，求|MN|的最大值．‎ ‎【答案】（1)（0，0），；（2）2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由两曲线的极坐标方程结合极坐标与直角坐标的互化公式可得C1与C2的直角坐标方程，再联立求解即可；‎ ‎（2）不妨设，设点，，作差后取绝对值，再由三角函数求最值.‎ ‎【详解】（1）由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，‎ 则曲线C1的直角坐标方程为x2+y2＝2x，‎ 由，得，‎ 则曲线C2的直角坐标方程为．‎ 由，解得或，‎ 故C1与C2交点的直角坐标为（0，0），；‎ ‎（2）不妨设0≤α＜π，点M，N的极坐标分别为（ρ1，α），（ρ2，α）．‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎∴当时，|MN|取得最大值2．‎ ‎【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查计算能力，属于中档题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先将函数写成分段函数的形式，再由分类讨论的方法，即可得出结果；‎ ‎（Ⅱ）先由（Ⅰ）得到，再由柯西不等式得到，进而可得出结果.‎ 详解】（Ⅰ）由题意， ，‎ 所以等价于或或.‎ 解得：或，所以不等式解集为；‎ ‎（Ⅱ）由(1)可知,当时, 取得最小值, ‎ 所以，即，‎ 由柯西不等式得，‎ 整理得，‎ 当且仅当时, 即时等号成立.‎ 所以的最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及柯西不等式的应用，熟记不等式解法以及柯西不等式即可，属于常考题型.‎