【数学】2020届一轮复习人教A版第37课基本不等式及其简单应用(1)作业（江苏专用）

【数学】2020届一轮复习人教A版第37课基本不等式及其简单应用(1)作业（江苏专用）

随堂巩固训练(37)‎ ‎ 1. 若x，y均为正实数，且x＋4y＝1，则xy的最大值是____．‎ 解析：xy＝×x×4y≤×＝，当且仅当x＝4y＝时取等号，所以xy的最大值为.‎ ‎ 2. 如果log3m＋log3n＝4，那么m＋n的最小值是__18__．‎ 解析：因为log3m＋log3n＝4，所以log3(mn)＝4，即mn＝34.因为m>0，n>0，所以m＋n≥2＝2＝18，当且仅当m＝n＝9时取等号，所以m＋n的最小值为18.‎ ‎ 3. 下列各式：①a2＋1>2a；②|x＋|≥2；③≤2；④x2＋≥1.其中正确的个数是__2__．‎ 解析：因为a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，所以a2＋1≥2a，①错误；当x>0时，＝x＋≥2(当且仅当x＝1时取“＝”)；当x<0时，≥2(当且仅当x＝－1时取“＝”)，②正确；当a>0，b>0时，≥2，③错误；x2＋＝x2＋1＋－1≥1，当且仅当x＝0时取“＝”，④正确．‎ ‎ 4. 在括号里填上和为1的两个正数，使得＋的值最小，则这两个正数的积等于____．‎ 解析：设所填的两个数分别为x，y，则x>0，y>0，x＋y＝1，则＋＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即x＝，y＝时取“＝”，所以xy＝×＝.‎ ‎ 5. 设x>－1，则函数y＝的最小值为__9__．‎ 解析：y＝＝x＋1＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＋1＝，即x＝1时取“＝”，所以ymin＝9.‎ ‎ 6. 已知正数x，y满足x＋2y＝2，则的最小值为__9__．‎ 解析：＝(x＋2y)＝≥＝9，当且仅当x＝4y＝时取等号，所以的最小值为9.‎ ‎ 7. 若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值是__4__．‎ 解析：圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，即(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心(－1，2)，半径为2.设 圆心到直线2ax－by＋2＝0的距离为d，则2＝4，解得d＝0，即直线经过圆心，所以－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时等号成立，所以＋的最小值为4.‎ ‎ 8. 已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，若对任意x∈R，f(x)的值恒为正数，则实数k的取值范围是__(－∞，－1＋2)__．‎ 解析：设3x＝t，则t2－(k＋1)t＋2>0在t>0时恒成立．①当Δ<0时，(k＋1)2－8<0，解得－2－10，所以t2≠0，即t1≤t2<0，所以t1＋t2＝k＋1<0，即k≤－2－1.由①②可知k的取值范围是(－∞，2－1)．‎ ‎ 9. 若不等式4x2＋9y2≥2kxy对一切正数x，y恒成立，则整数k的最大值为__3__．‎ 解析：由4x2＋9y2≥2kxy，且x，y>0，得2k≤.因为4x2＋9y2≥2kxy对一切正数x，y恒成立，所以2k≤.因为≥＝12，当且仅当2x＝3y时等号成立，所以2k≤12，所以k≤log212＝2＋log23.因为k为整数，所以整数k的最大值为3.‎ ‎10. 已知正数x，y满足2x＋y＝1，且＋的最小值是9，则正数a的值为__2__．‎ 解析：＋＝(2x＋y)＝2a＋1＋＋≥2a＋1＋2＝(＋1)2，当且仅当＝时取等号，所以(＋1)2＝9，解得a＝2.‎ ‎11. 若a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则＋≥，当且仅当＝时取等号．利用以上结论，求函数f(x)＝＋取得最小值时x的值．‎ 解析：因为x∈，所以1－2x∈(0，1)．‎ 因为＋≥，‎ 所以f(x)＝＋≥＝25，当且仅当＝时取等号，‎ 即当x＝时，f(x)取得最小值25.‎ ‎12. (1) 已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，求正实数a的最小值；‎ ‎(2) 已知x>0，y>0，且x＋2y＋xy＝30，求xy的最大值．‎ 解析：(1) (x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝1＋a＋2.‎ 因为不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，‎ 所以1＋a＋2≥9，即(＋1)2≥9，解得a≥4，所以正实数a的最小值为4.‎ ‎(2) 方法一：由x＋2y＋xy＝30，可得y＝(00，y>0，‎ 所以x＋2y≥2＝2·.‎ 代入x＋2y＋xy＝30，得2·＋xy≤30，解得00，则x>2或x<－2；‎ 若g′(x)<0，则－2g(3)，　‎ 所以g(x)min＝，‎ 所以－－x＋3≤－，所以a≥－，‎ 即实数a的取值范围是[－，＋∞)．‎