2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（新课标Ⅱ卷）

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（新课标Ⅱ卷）

‎ 2013年普通高等学校招生全国统一考试( 新课标Ⅱ)‎ 数学(理科)‎ 第Ⅰ卷 一、 选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，则 ‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎2．设复数满足，则 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎3．等比数列的前项和为，已知，，则 ‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎4．已知为异面直线，平面，平面。直线满足，则 ‎（A），且 （B），且 ‎（C）与相交，且交线垂直于 （D）与相交，且交线平行于 ‎5．已知的展开式中的系数为，则 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎6．执行右面的程序框图，如果输入的，那么输出的 ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为 ‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎8．设，则 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎9．已知，满足约束条件，若的最小值为，则 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎10．已知函数，下列结论中错误的是 ‎ （A）R， （B）函数的图像是中心对称图形 ‎ （C）若是的极小值点，则在区间上单调递减 ‎ （D）若是的极值点，则 ‎11．设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为 ‎ （A）或 （B）或 ‎ ‎（C）或 （D）或 ‎ ‎12．已知点，直线将△分割为面积相等的两部分，则的取值范围是 ‎ （A） (B) ( C) (D) ‎ ‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎13．已知正方形的边长为，为的中点，则_______．‎ ‎14．从个正整数中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于的概率为，则________．‎ ‎15．设为第二象限角，若，则________．‎ ‎16．等差数列的前项和为，已知，则的最小值为________．‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎ △在内角的对边分别为，已知．‎ ‎ （Ⅰ）求；‎ ‎ （Ⅱ）若，求△面积的最大值．‎ ‎18．（本小题满分12分）如图，直棱柱中，分别是的中点，．‎ ‎ （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求二面角的正弦值．‎ ‎19．（本小题满分12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出t该产品获利润元，未售出的产品，每t亏损元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了t该农产品，以（单位：t，）表示下一个销售季度内的市场需求量，(单位：元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润．‎ ‎ （Ⅰ）将表示为的函数；‎ ‎ （Ⅱ）根据直方图估计利润不少于57000元的概率；‎ ‎ （Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若，则取，且的概率等于需求量落入的概率）,求利润的数学期望．‎ ‎20． (本小题满分12分)平面直角坐标系中，过椭圆的右焦点作直交于两点，为的中点，且的斜率为．‎ ‎ （Ⅰ）求的方程；‎ ‎ （Ⅱ）为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数．‎ ‎ （Ⅰ）设是的极值点，求，并讨论的单调性；‎ ‎ （Ⅱ）当时，证明．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4—1几何证明选讲：如图，为△外接圆的切线，的延长线交直线于点，分别为弦与弦上的点，且，四点共圆．‎ ‎ （Ⅰ）证明：是△外接圆的直径；‎ ‎（Ⅱ）若，求过四点的圆的面积与△外接圆面积的比值．‎ ‎ ‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程 已知动点都在曲线为参数上，对应参数分别为与，为的中点．‎ ‎ （Ⅰ）求的轨迹的参数方程；‎ ‎ （Ⅱ）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点．‎ ‎24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲 ‎ 设均为正数，且，证明：‎ ‎ （Ⅰ）； （Ⅱ）．‎ 参考答案 一、选择题 ‎1．A ‎ ‎2．A ‎ ‎3．C ‎4．D ‎ ‎5．D ‎ ‎6．B ‎ ‎7．A ‎ ‎8．‎ ‎9．B ‎ ‎10．C ‎ ‎11．C ‎ ‎12．B ‎ ‎13．2 ‎ ‎14．8 ‎ ‎15． ‎ ‎16． ‎ ‎17．‎ ‎18．‎ ‎19．‎ ‎20．‎ ‎21．‎ ‎22．‎ ‎ ‎ ‎23．‎ ‎24．‎ ‎ ‎