2012年江西省高考数学试卷（理科）

2012年江西省高考数学试卷（理科）

‎2012年江西省高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）若集合A={﹣1，1}，B={0，2}，则集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎2．（5分）下列函数中，与函数y=定义域相同的函数为（　　）‎ A．y= B．y= C．y=xex D．y=‎ ‎3．（5分）若函数f（x）=，则f（f（10））=（　　）‎ A．lg101 B．2 C．1 D．0‎ ‎4．（5分）若tanθ+=4，则sin2θ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）下列命题中，假命题为（　　）‎ A．存在四边相等的四边形不是正方形 B．z1，z2∈C，z1+z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数 C．若x，y∈R，且x+y＞2，则x，y至少有一个大于1‎ D．对于任意n∈N*，++…+都是偶数 ‎6．（5分）观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（　　）‎ A．28 B．76 C．123 D．199‎ ‎7．（5分）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=（　　）‎ A．2 B．4 C．5 D．10‎ ‎8．（5分）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 ‎4吨 ‎1.2万元 ‎0.55万元 韭菜 ‎6吨 ‎0.9万元 ‎0.3万元 为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（　　）‎ A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50‎ ‎9．（5分）样本（x1，x2…，xn）的平均数为x，样本（y1，y2，…，ym）的平均数为（≠）．若样本（x1，x2…，xn，y1，y2，…，ym）的平均数=α+（1﹣α），其中0＜α＜，则n，m的大小关系为（　　）‎ A．n＜m B．n＞m C．n=m D．不能确定 ‎10．（5分）如图，已知正四棱锥S﹣ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE=x（0＜x＜1），截面下面部分的体积为V（x），则函数y=V（x）的图象大致为（　　）‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎11．（5分）计算定积分（x2+sinx）dx=　　．‎ ‎12．（5分）设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5=　　．‎ ‎13．（5分）椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为　　．‎ ‎14．（5分）下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是　　．‎ ‎　‎ 三、选做题：请在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按第一题评阅计分．本题共5分．‎ ‎15．（5分）（1）（坐标系与参数方程选做题）曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x=0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线C的极坐标方程为　　．‎ ‎（2）（不等式选做题）在实数范围内，不等式|2x﹣1|+|2x+1|≤6的解集为　　．‎ ‎　‎ 四．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=﹣n2+kn（其中k∈N+），且Sn的最大值为8．‎ ‎（1）确定常数k，求an；‎ ‎（2）求数列的前n项和Tn．‎ ‎17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A=，bsin（+C）﹣csin（+B）=a，‎ ‎（1）求证：B﹣C=‎ ‎（2）若a=，求△ABC的面积．‎ ‎18．（12分）如图，从A1（1，0，0），A2（2，0，0），B1（0，1，0），B2（0，2，0），C1（0，0，1），C2（0，0，2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）．‎ ‎（1）求V=0的概率；‎ ‎（2）求V的分布列及数学期望EV．‎ ‎19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O．‎ ‎（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；‎ ‎（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值．‎ ‎20．（13分）已知三点O（0，0），A（﹣2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足|+|=•（+）+2．‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）动点Q（x0，y0）（﹣2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为直线l：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值．若不存在，说明理由．‎ ‎21．（14分）若函数h（x）满足 ‎①h（0）=1，h（1）=0；‎ ‎②对任意a∈[0，1]，有h（h（a））=a；‎ ‎③在（0，1）上单调递减．则称h（x）为补函数．已知函数h（x）=（λ＞﹣1，p＞0）‎ ‎（1）判函数h（x）是否为补函数，并证明你的结论；‎ ‎（2）若存在m∈[0，1]，使得h（m）=m，若m是函数h（x）的中介元，记p=（n∈N+）时h（x）的中介元为xn，且Sn=，若对任意的n∈N+，都有Sn＜，求λ的取值范围；‎ ‎（3）当λ=0，x∈（0，1）时，函数y=h（x）的图象总在直线y=1﹣x的上方，求P的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2012年江西省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）（2012•江西）若集合A={﹣1，1}，B={0，2}，则集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎【分析】根据题意，计算元素的和，根据集合中元素的互异性，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由题意，∵集合A={﹣1，1}，B={0，2}，﹣1+0=﹣1，1+0=1，﹣1+2=1，1+2=3‎ ‎∴{z|z=x+y，x∈A，y∈B}={﹣1，1，3}‎ ‎∴集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为3‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2012•江西）下列函数中，与函数y=定义域相同的函数为（　　）‎ A．y= B．y= C．y=xex D．y=‎ ‎【分析】由函数y=的意义可求得其定义域为{x∈R|x≠0}，于是对A，B，C，D逐一判断即可得答案．‎ ‎【解答】解：∵函数y=的定义域为{x∈R|x≠0}，‎ ‎∴对于A，其定义域为{x|x≠kπ}（k∈Z），故A不满足；‎ 对于B，其定义域为{x|x＞0}，故B不满足；‎ 对于C，其定义域为{x|x∈R}，故C不满足；‎ 对于D，其定义域为{x|x≠0}，故D满足；‎ 综上所述，与函数y=定义域相同的函数为：y=．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2012•江西）若函数f（x）=，则f（f（10））=（　　）‎ A．lg101 B．2 C．1 D．0‎ ‎【分析】通过分段函数，直接求出f（10），然后求出f（f（10）的值．‎ ‎【解答】解：因为函数f（x）=，‎ 所以f（10）=lg10=1；‎ f（f（10）=f（1）=2．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2012•江西）若tanθ+=4，则sin2θ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求．‎ ‎【解答】解：sin2θ=2sinθcosθ=====‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2012•江西）下列命题中，假命题为（　　）‎ A．存在四边相等的四边形不是正方形 B．z1，z2∈C，z1+z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数 C．若x，y∈R，且x+y＞2，则x，y至少有一个大于1‎ D．对于任意n∈N*，++…+都是偶数 ‎【分析】通过特例判断A的正误；‎ 通过复数的共轭复数判断B的正误；‎ 通过不等式的基本性质判断C 的正误；‎ 通过二项式定理系数的形状判断D 的正误．‎ ‎【解答】解：例如菱形，满足四边相等的四边形不是正方形，所以A正确；‎ z1，z2∈C，z1+z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数，不正确；‎ 例如z1=2+i，z2=6﹣i，z1+z2为实数，但是z1，z2不是共轭复数，所以B不正确．‎ 若x，y∈R，且x+y＞2，则x，y至少有一个大于1，显然正确；‎ 对于任意n∈N*，++…+=2n≥2，都是偶数正确；‎ 不正确是命题是B．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2012•江西）观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（　　）‎ A．28 B．76 C．123 D．199‎ ‎【分析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．‎ ‎【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．‎ 继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10=123，．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2012•江西）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=（　　）‎ A．2 B．4 C．5 D．10‎ ‎【分析】以D为原点，AB所在直线为x轴，建立坐标系，由题意得以AB为直径的圆必定经过C点，因此设AB=2r，∠CDB=α，得到A、B、C和P各点的坐标，运用两点的距离公式求出|PA|2+|PB|2和|PC|2的值，即可求出的值．‎ ‎【解答】解：以D为原点，AB所在直线为x轴，建立如图坐标系，‎ ‎∵AB是Rt△ABC的斜边，‎ ‎∴以AB为直径的圆必定经过C点 设AB=2r，∠CDB=α，则 A（﹣r，0），B（r，0），C（rcosα，rsinα）‎ ‎∵点P为线段CD的中点，‎ ‎∴P（rcosα，rsinα）‎ ‎∴|PA|2=+=+r2cosα，‎ ‎|PB|2=+=﹣r2cosα，‎ 可得|PA|2+|PB|2=r2‎ 又∵点P为线段CD的中点，CD=r ‎∴|PC|2==r2‎ 所以：==10‎ 故选D ‎　‎ ‎8．（5分）（2012•江西）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 ‎4吨 ‎1.2万元 ‎0.55万元 韭菜 ‎6吨 ‎0.9万元 ‎0.3万元 为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（　　）‎ A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50‎ ‎【分析】设种植黄瓜和韭菜的种植面积分别为x，y亩，种植总利润为z万元，然后根据题意建立关于x与y的约束条件，得到目标函数，利用线性规划的知识求出最值时的x和y的值即可．‎ ‎【解答】解：设种植黄瓜和韭菜的种植面积分别为x，y亩，种植总利润为z万元．‎ 由题意可知 一年的种植总利润为z=0.55×4x+0.3×6y﹣1.2x﹣0.9y=x+0.9y 作出约束条件如下图阴影部分，‎ 平移直线x+0.9y=0，当过点A（30，20）时，一年的种植总利润为z取最大值．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2012•江西）样本（x1，x2…，xn）的平均数为x，样本（y1，y2，…，ym）的平均数为（≠）．若样本（x1，x2…，xn，y1，y2，…，ym）的平均数=α+（1﹣α），其中0＜α＜，则n，m的大小关系为（　　）‎ A．n＜m B．n＞m C．n=m D．不能确定 ‎【分析】通过特殊值判断α的范围，是否满足题意即可得到选项．‎ ‎【解答】解：法一：不妨令n=4，m=6，设样本（x1，x2…，xn）的平均数为=6，‎ 样本（y1，y2，…，ym）的平均数为=4，‎ 所以样本（x1，x2…，xn，y1，y2，…，ym）的平均数=α+（1﹣α）=6α+（1﹣α）4=，‎ 解得α=0.4，满足题意．‎ 解法二：依题意nx+my=（m+n）[ax+（1﹣a）y]，‎ ‎∴n（x﹣y）=a（m+n）（x﹣y），x≠y，‎ ‎∴a=∈（0，），m，n∈N+，‎ ‎∴2n＜m+n，‎ ‎∴n＜m．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2012•江西）如图，已知正四棱锥S﹣ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE=x（0＜x＜1），截面下面部分的体积为V（x），则函数y=V（x）的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由题意可知截面下面部分的体积为V（x），不是SE的线性函数，可采用排除法，排除C，D，进一步可排除B，于是得答案．‎ ‎【解答】解：由题意可知截面下面部分的体积为V（x），不是SE=x的线性函数，可采用排除法，排除C，D；‎ 又当截面为BDE，即x=时，V（x）=，当侧棱SC上的点E从SC的中点向点C移动时，V（x）越来越小，故排除B；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎11．（5分）（2012•江西）计算定积分（x2+sinx）dx=　　．‎ ‎【分析】求出被积函数的原函数，再计算定积分的值．‎ ‎【解答】解：由题意，定积分==‎ ‎=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2012•江西）设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5=　35　．‎ ‎【分析】根据等差数列的通项公式，可设数列{an}的公差为d1，数列{bn}的公差为d2，根据a1+b1=7，a3+b3=21，可得2（d1+d2）=21﹣7=14．最后可得a5+b5=a3+b3+2（d1+d2）=2+14=35．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}，{bn}都是等差数列，‎ ‎∴设数列{an}的公差为d1，设数列{bn}的公差为d2，‎ ‎∴a3+b3=a1+b1+2（d1+d2）=21，‎ 而a1+b1=7，可得2（d1+d2）=21﹣7=14．‎ ‎∴a5+b5=a3+b3+2（d1+d2）=21+14=35‎ 故答案为：35‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2012•江西）椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为　　．‎ ‎【分析】直接利用椭圆的定义，结合|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，即可求出椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：因为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．‎ 若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，‎ 所以（a﹣c）（a+c）=4c2，即a2=5c2，‎ 所以e=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2012•江西）下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是　3　．‎ ‎【分析】直接计算循环后的结果，当k=6时不满足判断框的条件，推出循环输出结果即可．‎ ‎【解答】解：第1次，满足循环，a=1，T=1，K=2，第2次满足2＜6；sin，不成立，‎ 执行a=0，T=1，k=3，第3次有，不满足条件循环，‎ a=0，T=1，k=4，满足，a=1，T=2，k=5，满足k＜6，‎ 此时成立，a=1，T=3，k=6，不满足6＜6，退出循环，输出结果T=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ 三、选做题：请在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按第一题评阅计分．本题共5分．‎ ‎15．（5分）（2012•江西）（1）（坐标系与参数方程选做题）曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x=0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线C的极坐标方程为　ρ=2cosθ　．‎ ‎（2）（不等式选做题）在实数范围内，不等式|2x﹣1|+|2x+1|≤6的解集为　{}　．‎ ‎【分析】（1）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2‎ ‎，进行代换即得 ‎（2）利用绝对值的几何意义求解．‎ ‎【解答】解：（1）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换，得出ρ2﹣2ρcosθ=0．即ρ=2cosθ 故答案为：ρ=2cosθ ‎（2）不等式|2x﹣1|+|2x+1|≤6化为不等式|x﹣|+|x+|≤3，如图所示 数轴上点，到点的距离之和为3，所以解集为{}‎ 故答案为：{}‎ ‎　‎ 四．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（12分）（2012•江西）已知数列{an}的前n项和Sn=﹣n2+kn（其中k∈N+），且Sn的最大值为8．‎ ‎（1）确定常数k，求an；‎ ‎（2）求数列的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（1）由二次函数的性质可知，当n=k时，取得最大值，代入可求k，然后利用an=sn﹣sn﹣1可求通项 ‎（2）由=，可利用错位相减求和即可 ‎【解答】解：（1）当n=k时，取得最大值 即=k2=8‎ ‎∴k=4，Sn=﹣n2+4n 从而an=sn﹣sn﹣1=﹣[﹣（n﹣1）2+4（n﹣1）]=‎ 又∵适合上式 ‎∴‎ ‎（2）∵=‎ ‎∴‎ ‎=‎ 两式相减可得，‎ ‎==‎ ‎∴‎ ‎　‎ ‎17．（12分）（2012•江西）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A=，bsin（+C）﹣csin（+B）=a，‎ ‎（1）求证：B﹣C=‎ ‎（2）若a=，求△ABC的面积．‎ ‎【分析】（1）通过正弦定理以及两角和与差的三角函数化简已知表达式，推出B﹣C的正弦函数值，然后说明B﹣C=．‎ ‎（2）利用a=，通过正弦定理求出b，c，然后利用三角形的面积公式求△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（1）证明：由bsin（+C）﹣csin（）=a，由正弦定理可得sinBsin（+C）﹣sinCsin（）=sinA．‎ sinB（）﹣sinC（）=．‎ 整理得sinBcosC﹣cosBsinC=1，‎ 即sin（B﹣C）=1，‎ 由于0＜B，C，从而B﹣C=．‎ ‎（2）解：B+C=π﹣A=，因此B=，C=，‎ 由a=，A=，得b==2sin，c==2sin，‎ 所以三角形的面积S==cossin=．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2012•江西）如图，从A1（1，0，0），A2（2，0，0），B1（0，1，0），B2（0，2，0），C1（0，0，1），C2（0，0，2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）．‎ ‎（1）求V=0的概率；‎ ‎（2）求V的分布列及数学期望EV．‎ ‎【分析】（1）基本事件空间即6个点中随机取3个点，共有20种取法，研究的事件即4点共面所占基本事件为先选一个面，再选3个点，共有12种选法，故由古典概型概率计算公式即可得所求；‎ ‎（2）先确定随机变量V的所有可能取值，再利用古典概型概率计算公式分别计算随机变量取值的概率，最后列出分布列，利用期望计算公式计算V的期望 ‎【解答】解：（1）从6个点中随机选取3个点共有=20种取法，选取的三个点与原点在一个平面内的取法有=12种，‎ ‎∴V=0的概率P（V=0）==‎ ‎（2）V的所有可能取值为0，，，，‎ P（V=0）=‎ P（V=）==‎ P（V=）==‎ P（V=）==‎ P（V=）==‎ ‎∴V的分布列为 ‎ V ‎ ‎ 0‎ ‎ P 由V的分布列可得 EV=0×++++=‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2012•江西）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O．‎ ‎（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；‎ ‎（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值．‎ ‎【分析】（1）连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，则E为所求．可以证出OE⊥BB1，BC⊥OE而得以证明．在RT△A1‎ OA中，利用直角三角形射影定理得出AE．‎ ‎（2）如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面A1B1C的法向量是=（x，y，z），利用，夹角求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值．‎ ‎【解答】（1）证明：连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，因为AA1∥BB1，所以OE⊥BB1，‎ 因为A1O⊥平面ABC，所以BC⊥平面AA1O，所以BC⊥OE，‎ 所以OE⊥平面BB1C1C，‎ 又AO==1，AA1=，‎ 得OE===，‎ 则AE==‎ ‎（2）解：如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，﹣2，0），A1（0，0，2）‎ 由，得点E得坐标是（），‎ 设平面A1B1C的法向量是=（x，y，z），由得 令y=1，得x=2，z=﹣1，所以=（2，1，﹣1），‎ 所以cos＜，＞==‎ 即平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）（2012•江西）已知三点O（0，0），A（﹣2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足|+|=•（+）+2．‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）动点Q（x0，y0）（﹣2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为直线l：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值．若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（1）用坐标表示 ，，从而可得 +，可求|+|，利用向量的数量积，结合M（x，y）满足|+|=•（+）+2，可得曲线C的方程；‎ ‎（2）假设存在点P（0，t）（t＜0），满足条件，则直线PA的方程是y=，直线PB的方程是y=‎ 分类讨论：①当﹣1＜t＜0时，l∥PA，不符合题意；②当t≤﹣1时，，，分别联立方程组，解得D，E的横坐标，进而可得△QAB与△PDE的面积之比，利用其为常数，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：（1）由 =（﹣2﹣x，1﹣y），=（2﹣x，1﹣y）可得 +=（﹣2x，2﹣2y），‎ ‎∴|+|=，•（+）+2=（x，y）•（0，2）+2=2y+2．‎ 由题意可得=2y+2，化简可得 x2=4y．‎ ‎（2）假设存在点P（0，t）（t＜0），满足条件，则直线PA的方程是y=，直线PB的方程是y=‎ ‎∵﹣2＜x0＜2，∴‎ ‎①当﹣1＜t＜0时，，存在x0∈（﹣2，2），使得 ‎∴l∥PA，∴当﹣1＜t＜0时，不符合题意；‎ ‎②当t≤﹣1时，，，‎ ‎∴l与直线PA，PB一定相交，分别联立方程组 ‎，，解得D，E的横坐标分别是，‎ ‎∴‎ ‎∵|FP|=﹣‎ ‎∴=‎ ‎∵‎ ‎∴=×‎ ‎∵x0∈（﹣2，2），△QAB与△PDE的面积之比是常数 ‎∴，解得t=﹣1，‎ ‎∴△QAB与△PDE的面积之比是2．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2012•江西）若函数h（x）满足 ‎①h（0）=1，h（1）=0；‎ ‎②对任意a∈[0，1]，有h（h（a））=a；‎ ‎③在（0，1）上单调递减．则称h（x）为补函数．已知函数h（x）=（λ＞﹣1，p＞0）‎ ‎（1）判函数h（x）是否为补函数，并证明你的结论；‎ ‎（2）若存在m∈[0，1]，使得h（m）=m，若m是函数h（x）的中介元，记p=（n∈N+）时h（x）的中介元为xn，且Sn=，若对任意的n∈N+，都有Sn＜，求λ的取值范围；‎ ‎（3）当λ=0，x∈（0，1）时，函数y=h（x）的图象总在直线y=1﹣x的上方，求P的取值范围．‎ ‎【分析】（1）可通过对函数h（x）=（λ＞﹣1，p＞0）进行研究，探究其是否满足补函数的三个条件来确定函数是否是补函数；‎ ‎（2）由题意，先根据中介元的定义得出中介元xn通式，代入Sn=，计算出和，然后结合极限的思想，利用Sn＜得到参数的不等式，解出它的取值范围；‎ ‎（3）λ=0，x∈（0，1）时，对参数p分类讨论由函数y=h（x）的图象总在直线y=1﹣x的上方这一位置关系进行转化，解出p的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）函数h（x）是补函数，证明如下：‎ ‎①h（0）==1，h（1）==0；‎ ‎②任意a∈[0，1]，有h（h（a））=h（）=‎ ‎=a ‎③令g（x）=（h（x））p，有g′（x）==，‎ 又因为λ＞﹣1，p＞0，‎ 所以当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）上是减函数，故h（x）在（0，1）上是减函数 由上证，函数h（x）是补函数 ‎（2）当p=（n∈N*），由h（x）=x得，‎ ‎（i）当λ=0时，中介元xn=，‎ ‎（ii）当λ＞﹣1且λ≠0时，由（*）得=∈（0，1）或=∉（0，1），得中介元xn=，‎ 综合（i）（ii）：对任意的λ＞﹣1，中介元为xn=，‎ 于是当λ＞﹣1时，有Sn===，‎ 当n无限增大时，无限接近于0，Sn无限接近于，‎ 故对任意的非零自然数n，Sn＜等价于，即λ∈[3，+∞）‎ ‎（3）当λ=0时，h（x）=，中介元为．‎ ‎（i）0＜p≤1时，，中介元为≤，所以点（xp，h（xp））不在直线y=1﹣x的上方，不符合条件；‎ ‎（ii）当p＞1时，依题意只需＞1﹣x在x∈（0，1）时恒成立，也即xp+（1﹣x）p＜1在x∈（0，1）时恒成立 设φ（x）=xp+（1﹣x）p，x∈（0，1），则φ′（x）=p（xp﹣1﹣（1﹣x）p﹣1）‎ 令φ′（x）=0，得x=，且当x∈（0，）时，φ′（x）＜0，当x∈（，1）时，φ′（x）＞0，又φ（0）=φ（1）=1，所以x∈（0，1）时，φ（x）＜1恒成立．‎ 综上，p的取值范围是（1，+∞）‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：刘长柏；wfy814；qiss；minqi5；zwx097；ywg2058；邢新丽；xize；xintrl（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日