【数学】2020届一轮复习人教B版（文）8-6双曲线作业

【数学】2020届一轮复习人教B版（文）8-6双曲线作业

课时作业48　双曲线 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1．[2019·山西联考]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，渐近线方程为2x±y＝0，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析：解法一　易知双曲线－(a>0，b>0)的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y＝0，得＝2，因为双曲线的焦距为4，所以c＝2，结合c2＝a2＋b2，可得a＝2，b＝4，所以双曲线的方程为－＝1，故选A.‎ 解法二　易知双曲线的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y＝0，可设双曲线的方程为x2－＝λ(λ>0)，即－＝1，因为双曲线的焦距为4，所以c＝2，所以λ＋4λ＝20，λ＝4，所以双曲线的方程为－＝1，故选A.‎ 答案：A ‎2．[2019·山东潍坊模拟]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到渐近线的距离为，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为(　　)‎ A．1 B. C．2 D．2 解析：由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b＝，即c2－a2＝3，又e＝＝2，所以a＝1，该双曲线的实轴的长为2a＝2.‎ 答案：C ‎3．[2018·全国卷Ⅲ]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　　)‎ A. B．2‎ C. D．2 解析：由题意，得e＝＝，c2＝a2＋b2，得a2＝b2.又因为a>0，b>0，所以a＝b，渐近线方程为x±y＝0，点(4,0)到渐近线的距离为＝2.故选D.‎ 答案：D ‎4．[2019·江西联考]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左，右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上，若△AF‎1F2的周长为‎10a，则△AF‎1F2的面积为(　　)‎ A．‎2‎a2 B.a2‎ C．‎30a2 D．‎15a2‎ 解析：由双曲线的对称性不妨设A在双曲线的右支上，由e＝＝2，得c＝2a，∴△AF1F2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|F1F2|＝|AF1|＋|AF2|＋4a，又△AF1F2的周长为10a，∴|AF1|＋|AF2|＝6a，又∵|AF1|－|AF2|＝2a，∴|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，在△AF1F2中，|F1F2|＝4a，‎ ‎∴cos∠F1AF2＝＝＝.‎ ‎∴sin∠F1AF2＝，∴S△AF‎1F2＝|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2＝×‎4a×‎2a×＝a2.故选B.‎ 答案：B ‎5．[2019·南昌调研]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上第二象限内一点，若直线y＝x恰为线段PF2的垂直平分线，则双曲线C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由题，结合图知，直线PF2的方程为y＝－(x－c)，设直线PF2与直线y＝x的交点为N，易知N，又线段PF2的中点为N，故P，因为点P在双曲线C上，所以－＝1，即5a2＝c2，所以e＝＝.‎ 答案：C 二、填空题 ‎6．已知双曲线－＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆－＝1的焦距等于4，则n＝________.‎ 解析：因为双曲线的焦点是(0,2)，所以焦点在y轴上，所以双曲线的方程为－＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1.所以椭圆方程为＋x2＝1，且n>0，椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)．‎ 答案：5‎ ‎7．[2019·太原高三模拟]设P为双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝2|PF2|，则cos∠PF‎2F1＝________.‎ 解析：∵|PF1|＝2|PF2|，∴点P在双曲线的右支上，‎ ‎∴|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，又|F‎1F2|＝4，∴由余弦定理得，cos∠PF‎2F1＝＝－.‎ 答案：－ ‎8．[2019·益阳市，湘潭市高三调研]已知F为双曲线－＝1(a>0，b ‎>0)的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端点，过F，A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若＝3，则此双曲线的离心率为________．‎ 解析：F(－c,0)，A(0，b)，得直线AF：y＝x＋b.根据题意知，直线AF与渐近线y＝x相交，联立得消去x得，yB＝.由＝3，得yB＝4b，所以＝4b，化简得3c＝4a，离心率e＝.‎ 答案： 三、解答题 ‎9．若双曲线E：－y2＝1(a＞0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．‎ ‎(1)求k的取值范围；‎ ‎(2)若|AB|＝6，求k的值．‎ 解析：(1)由得 故双曲线E的方程为x2－y2＝1.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由 得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①‎ ‎∵直线与双曲线右支交于A，B两点，‎ 故 即所以1＜k＜.‎ 故k的取值范围为(1，)．‎ ‎(2)由①得x1＋x2＝，x1x2＝，‎ ‎∴|AB|＝· ‎＝2＝6，‎ 整理得28k4－55k2＋25＝0，‎ ‎∴k2＝或k2＝.又1＜k＜，∴k＝.‎ ‎10．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O 为坐标原点．‎ ‎(1)求双曲线C2的方程；‎ ‎(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2，求k的取值范围．‎ 解析：(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a>0，b>0)，‎ 则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，‎ 故双曲线C2的方程为－y2＝1.‎ ‎(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，‎ 得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.‎ 由直线l与双曲线C2交于不同的两点，‎ 得 ‎∴k2<1且k2≠.①‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ ‎∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)‎ ‎＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2‎ ‎＝.‎ 又∵·>2，即x1x2＋y1y2>2，‎ ‎∴>2，即>0，‎ 解得0，b ‎>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析：本题主要考查双曲线的方程、几何性质以及点到直线的距离公式的应用．‎ ‎∵双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，∴e2＝1＋＝4，∴＝3，即b2＝‎3a2，∴c2＝a2＋b2＝‎4a2，‎ 由题意可设A(2a,3a)，B(2a，－3a)，‎ ‎∵＝3，∴渐近线方程为y＝±x，‎ 则点A与点B到直线x－y＝0的距离分别为d1＝＝a，d2＝＝a，又∵d1＋d2＝6，‎ ‎∴a＋a＝6，解得a＝，∴b2＝9.∴双曲线的方程为－＝1，故选C.‎ 答案：C ‎12．[2018·全国卷Ⅰ]已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　)‎ A. B．3‎ C．2 D．4‎ 解析：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.‎ 设两渐近线夹角为2α，则有tanα＝＝，所以α＝30°.‎ 所以∠MON＝2α＝60°.‎ 又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．‎ 在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝.‎ 则在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan2α＝·tan60°＝3.‎ 故选B.‎ 答案：B ‎13．[2018·北京卷]已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．‎ 解析：解法一　如图是一个正六边形，A，B，C，D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点，F1，F2为椭圆M的两个焦点．‎ ‎∵直线AC是双曲线N的一条渐近线，且其方程为y＝x，‎ ‎∴＝.设m＝k，则n＝k，则双曲线N的离心率e2＝＝2.‎ 连接F1C，在正六边形ABF2CDF1中，可得∠F1CF2＝90°，∠CF1F2＝30°.‎ 设椭圆的焦距为2c，则|CF2|＝c，|CF1|＝c，再由椭圆的定义得|CF1|＋|CF2|＝2a，即(＋1)c＝2a，∴椭圆M的离心率e1＝＝＝＝－1.‎ 解法二　双曲线N的离心率同解法一．由题意可得C点坐标为 ，代入椭圆M的方程，并结合a，b，c的关系，‎ 联立得方程组 解得＝－1.‎ 答案：－1,2‎