【数学】2020届一轮复习人教A版第26课三角函数的恒等变形与求值(2)作业（江苏专用）(1)

【数学】2020届一轮复习人教A版第26课三角函数的恒等变形与求值(2)作业（江苏专用）(1)

随堂巩固训练(26)‎ ‎ 1. 计算：sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝__1__．‎ 解析：原式＝sin15°cos(90°－15°)＋cos15°sin(90°＋15°)＝sin215°＋cos215°＝1.‎ ‎ 2. 已知cos＝，则cos2θ＝__－__．‎ 解析：因为cos＝－sinθ＝，所以sinθ＝－，所以cos2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝－.‎ ‎ 3. 已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanαtanβ＝____．‎ 解析：因为cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝，所以cosαcosβ＝，sinαsinβ＝，所以tanαtanβ＝＝.‎ ‎ 4. 计算：sin40°(tan10°－)＝__－1__．‎ 解析：原式＝sin40°＝sin40°·＝＝－＝－1.‎ ‎ 5. 函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx的最大值为__1__．‎ 解析：f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx＝sinxcosφ＋cosxsinφ－2sinφcosx＝sinxcosφ－sinφcosx＝sin(x－φ)≤1，所以函数f(x)的最大值为1.‎ ‎ 6. 已知<α<π，sinα＝，tanβ＝，则tan(α－β)＝__－2__．‎ 解析：因为<α<π，sinα＝，所以cosα＝－，所以tanα＝－，所以tan(α－β)＝＝＝－2.‎ ‎ 7. 已知tanα，tanβ是方程3x2－7x＋2＝0的两根，则的值为____．‎ 解析：由已知得tanα＋tanβ＝，tanαtanβ＝，所以＝＝＝.‎ ‎ 8. 已知sinα＋2cosα＝，则tan2α＝__－__．‎ 解析：由题意得(sinα＋2cosα)2＝，即＋2sin2α＋2＋2cos2α＝，所以sin2α＝－cos2α，所以tan2α＝－.‎ ‎ 9. 已知sin＝，则sin＝____，sin＝__±__．‎ 解析：sin＝cos[－(－2α)]＝cos＝1－2sin2＝1－2×＝；sin＝cos＝cos＝1－2sin2＝，所以sin＝±.‎ ‎10. 已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，则2α－β＝__－__．‎ 解析：因为tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝，所以tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝＝1.因为tanα＝<，tanβ＝－>－，α，β∈(0，π)，所以0<α<，<β<π，所以－π<2α－β<－，所以2α－β＝－.‎ ‎11. 已知α∈，sinα＝.‎ ‎(1) 求sin的值；‎ ‎(2) 求cos的值．‎ 解析：(1) 因为α∈，sinα＝，‎ 所以cosα＝－＝－，‎ 所以sin＝×＋×＝－.‎ ‎(2) 由(1)得sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，‎ cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，‎ 所以cos＝coscos2α＋sinsin2α＝×＋×＝－.‎ ‎12. 已知α，β∈(0，π)，且tanα＝2，cosβ＝－.‎ ‎(1) 求cos2α的值；‎ ‎(2) 求2α－β的值．‎ 解析：(1) 方法一：因为tanα＝2，‎ 所以＝2，即sinα＝2cosα.‎ 又sin2α＋cos2α＝1，解得sin2α＝，cos2α＝，‎ 所以cos2α＝cos2α－sin2α＝－.‎ 方法二：cos2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－.‎ ‎(2) 因为α∈(0，π)，且tanα＝2，‎ 所以α∈，tan2α＝＝－，‎ 所以2α∈.‎ 因为cosβ＝－，β∈(0，π)，所以sinβ＝，‎ 所以β∈，所以tanβ＝－，‎ 所以tan(2α－β)＝＝＝－1.‎ 又2α－β∈，所以2α－β＝－.‎ ‎13. 已知函数f(x)＝sin＋cosx.‎ ‎(1) 求函数f(x)的最大值，并写出当函数f(x)取得最大值时x的取值集合；‎ ‎(2) 若α∈，f＝，求f(2α)的值．‎ 解析：(1) f(x)＝sin＋cosx＝sinx＋cosx＋cosx＝sin，　‎ 所以当x＋＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，‎ 此时x的取值集合为{x|x＝2kπ＋，k∈Z}．‎ ‎(2) 由(1)知f(x)＝sin，‎ 所以f＝sin＝cosα＝，　‎ 所以cosα＝.‎ 又因为α∈，所以sinα＝，‎ 所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝，‎ 所以cos2α＝2cos2α－1＝－，‎ 所以f(2α)＝sin＝sin2α＋cos2α＝×－×＝.‎