【数学】2020一轮复习北师大版（理）22　三角恒等变换作业

【数学】2020一轮复习北师大版（理）22　三角恒等变换作业

课时规范练22　三角恒等变换 ‎　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ 基础巩固组 ‎1.函数f(x)=(‎3‎sin x+cos x)(‎3‎cos x-sin x)的最小正周期是(　　)‎ A.π‎2‎ B.π C.‎3π‎2‎ D.2π ‎2.已知sinα+‎π‎5‎‎=‎‎3‎‎3‎,则cos‎2α+‎‎2π‎5‎=(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎3‎‎3‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎3‎‎2‎ ‎3.(2018云南民族中学一模)已知tan α=2,则‎2sin‎2‎α+1‎cos2‎α-‎π‎4‎的值是(　　)‎ A.‎5‎‎3‎ B.-‎13‎‎4‎ C.‎13‎‎5‎ D.‎‎13‎‎4‎ ‎4.(2018四川成都七中模拟)已知sin‎7π‎6‎‎+α‎=‎‎3‎‎3‎,则cos‎2π‎3‎‎-2α=(　　)‎ A.-‎2‎‎3‎ B.-‎1‎‎3‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎1‎‎3‎ ‎5.已知f(x)=sin2x+sin xcos x,则f(x)的最小正周期和一个递增区间分别为(　　)‎ A.π,[0,π] B.2π,‎‎-π‎4‎,‎‎3π‎4‎ C.π,‎-π‎8‎,‎‎3π‎8‎ D.2π,‎‎-π‎4‎,‎π‎4‎ ‎6.(2018黑龙江高考仿真(三))已知sinα+‎π‎3‎+sin α=-‎4‎‎3‎‎5‎,则cosα+‎‎2π‎3‎=(　　)‎ A.-‎4‎‎5‎ B.-‎3‎‎5‎ C.‎3‎‎5‎ D.‎‎4‎‎5‎ ‎7.(2018全国第一次大联考)已知sinx+‎π‎3‎‎=‎‎1‎‎3‎,则sin‎5π‎3‎‎-x-cos‎2x-‎π‎3‎的值为　　　　　. ‎ ‎8.设f(x)=‎1+cos2x‎2sinπ‎2‎‎-x+sin x+a2sinx+‎π‎4‎的最大值为‎2‎+3,则实数a=　　　　　. ‎ ‎9.设α为锐角,若cosα+‎π‎6‎‎=‎‎4‎‎5‎,则sin‎2α+‎π‎12‎的值为　　　　　. ‎ ‎10.(2018湖北百所重点校联考)设α∈‎0,‎π‎3‎,满足‎6‎sin α+‎2‎cos α=‎3‎.‎ ‎(1)求cosα+‎π‎6‎的值;‎ ‎(2)求cos‎2α+‎π‎12‎的值.‎ 综合提升组 ‎11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+1ω>0,0<φ≤‎π‎2‎的图像的相邻两对称轴之间的距离为π,且在x=π‎6‎时取得最大值2,若f(α)=‎9‎‎5‎,且π‎6‎<α<‎2π‎3‎,则sin‎2α+‎‎2π‎3‎的值为(　　)‎ A.‎12‎‎25‎ B.-‎12‎‎25‎ C.‎24‎‎25‎ D.-‎‎24‎‎25‎ ‎12.已知α∈‎-π‎3‎,0‎,cosα+‎π‎6‎-sin α=‎4‎‎3‎‎5‎,则sinα+‎π‎12‎的值是(　　)‎ A.-‎2‎‎3‎‎5‎ B.-‎2‎‎10‎ C.‎2‎‎3‎‎5‎ D.-‎‎4‎‎5‎ ‎13.(2018湖南长郡中学一模,17改编)已知函数f(x)=2sin xcos2φ‎2‎+cos xsin φ-sin x(0<φ<π)在x=π处取最小值.则φ的值为　　　　　. ‎ ‎14.(2018安徽合肥二模)已知a=(sin x,‎3‎cos x),b=(cos x,-cos x),函数f(x)=a·b+‎3‎‎2‎.‎ ‎(1)求函数y=f(x)图像的对称轴方程;‎ ‎(2)若方程f(x)=‎1‎‎3‎在(0,π)上的解为x1,x2,求cos(x1-x2)的值.‎ 创新应用组 ‎15.已知m=tan(α+β+γ)‎tan(α-β+γ)‎,若sin 2(α+γ)=3sin 2β,则m=(　　)‎ A.-1 B.‎3‎‎4‎ C.‎3‎‎2‎ D.2‎ ‎16.函数y=sin α+cos α-4sin αcos α+1,且‎2sin‎2‎α+sin2α‎1+tanα=k,π‎4‎<α≤π‎2‎,‎ ‎(1)把y表示成k的函数f(k);‎ ‎(2)求f(k)的最大值.‎ 参考答案 课时规范练22　三角恒等变换 ‎1.B　f(x)=2sinx+‎π‎6‎×2cosx+‎π‎6‎=2sin‎2x+‎π‎3‎,故最小正周期T=‎2π‎2‎=π,故选B.‎ ‎2.A　由题意sinα+‎π‎5‎=‎3‎‎3‎,‎ ‎∴cos‎2α+‎‎2π‎5‎=cos 2α+‎π‎5‎=1-2sin2α+‎π‎5‎=1-2×‎3‎‎3‎‎2‎=‎1‎‎3‎.故选A.‎ ‎3.D　∵tan α=2,‎ ‎∴‎2sin‎2‎α+1‎cos2‎α-‎π‎4‎=‎2sin‎2‎α+sin‎2‎α+cos‎2‎αcos‎2α-‎π‎2‎=‎3sin‎2‎α+cos‎2‎αsin2α=‎3sin‎2‎α+cos‎2‎α‎2sinαcosα=‎3tan‎2‎α+1‎‎2tanα=‎3×‎2‎‎2‎+1‎‎2×2‎=‎13‎‎4‎.‎ ‎4.B　由题意sin‎7π‎6‎‎+α=sinπ+π‎6‎+α=-sinπ‎6‎‎+α,‎ 所以sinπ‎6‎‎+α=-‎3‎‎3‎,‎ 由于cos‎2π‎3‎‎-2α=cosπ-‎π‎3‎‎+2α=-cosπ‎3‎‎+2α=-cos‎2‎π‎6‎‎+α=2sin2π‎6‎‎+α-1=2×‎-‎‎3‎‎3‎‎2‎-1=-‎1‎‎3‎,故选B.‎ ‎5.C　由f(x)=sin2x+sin xcos x=‎1-cos2x‎2‎+‎1‎‎2‎sin 2x ‎=‎1‎‎2‎+‎2‎‎2‎‎2‎‎2‎sin2x-‎2‎‎2‎cos2x=‎1‎‎2‎+‎2‎‎2‎sin‎2x-‎π‎4‎,‎ 则T=‎2π‎2‎=π.又2kπ-π‎2‎≤2x-π‎4‎≤2kπ+π‎2‎(k∈Z),‎ ‎∴kπ-π‎8‎≤x≤kπ+‎3π‎8‎(k∈Z)为函数的递增区间.故选C.‎ ‎6.D　∵sinπ‎3‎‎+α+sin α=sinπ‎3‎cos α+cosπ‎3‎sin α+sin α=-‎4‎‎3‎‎5‎,‎ ‎∴‎3‎‎2‎sin α+‎3‎‎2‎cos α=-‎4‎‎3‎‎5‎,‎ 即‎3‎‎2‎sin α+‎1‎‎2‎cos α=-‎4‎‎5‎.‎ ‎∴sinα+‎π‎6‎=-‎4‎‎5‎.‎ 故cosα+‎‎2π‎3‎=cosα+π‎2‎+‎π‎6‎=-sinα+‎π‎6‎=‎4‎‎5‎.‎ ‎7.‎4‎‎9‎　sin‎5π‎3‎‎-x-cos‎2x-‎π‎3‎=sin‎2π-‎x+‎π‎3‎-cos 2x+‎π‎3‎‎-‎π‎2‎=-sinx+‎π‎3‎+cos 2x+‎π‎3‎=-sinx+‎π‎3‎+1-2sin2x+‎π‎3‎=-‎1‎‎3‎+1-‎2‎‎9‎=‎4‎‎9‎.‎ ‎8.±‎3‎　f(x)=‎1+2cos‎2‎x-1‎‎2cosx+sin x+a2sinx+‎π‎4‎ ‎=cos x+sin x+a2sinx+‎π‎4‎ ‎=‎2‎sinx+‎π‎4‎+a2sinx+‎π‎4‎ ‎=(‎2‎+a2)sinx+‎π‎4‎.‎ 依题意有‎2‎+a2=‎2‎+3,‎ 则a=±‎3‎.‎ ‎9.‎17‎‎50‎‎2‎　∵α为锐角,cosα+‎π‎6‎=‎4‎‎5‎,‎ ‎∴sinα+‎π‎6‎=‎3‎‎5‎,‎ ‎∴sin‎2α+‎π‎3‎=2sinα+‎π‎6‎cosα+‎π‎6‎=‎24‎‎25‎,cos‎2α+‎π‎3‎=2cos2α+‎π‎6‎-1=‎7‎‎25‎,‎ ‎∴sin‎2α+‎π‎12‎=sin‎2α+π‎3‎-‎π‎4‎=‎2‎‎2‎sin‎2α+‎π‎3‎-cos‎2α+‎π‎3‎=‎17‎‎2‎‎50‎.‎ ‎10.解 (1)∵‎6‎sin α+‎2‎cos α=‎3‎,‎ ‎∴sinα+‎π‎6‎=‎6‎‎4‎.‎ ‎∵α∈‎0,‎π‎3‎,∴α+π‎6‎∈π‎6‎‎,‎π‎2‎,‎ ‎∴cosα+‎π‎6‎=‎10‎‎4‎.‎ ‎(2)由(1)可得cos‎2α+‎π‎3‎=2cos2α+‎π‎6‎-1=2×‎10‎‎4‎‎2‎-1=‎1‎‎4‎.‎ ‎∵α∈‎0,‎π‎3‎,∴2α+π‎3‎∈π‎3‎‎,π,‎ ‎∴sin‎2α+‎π‎3‎=‎15‎‎4‎.‎ ‎∴cos‎2α+‎π‎12‎=cos‎2α+‎π‎3‎‎-‎π‎4‎ ‎=cos‎2α+‎π‎3‎cosπ‎4‎+sin‎2α+‎π‎3‎sinπ‎4‎=‎30‎‎+‎‎2‎‎8‎.‎ ‎11.D　由题意,T=2π,即T=‎2πω=2π,‎ 即ω=1.‎ 又当x=π‎6‎时,f(x)取得最大值,‎ 即π‎6‎+φ=π‎2‎+2kπ,k∈Z,‎ 即φ=π‎3‎+2kπ,k∈Z.‎ ‎∵0<φ≤π‎2‎,∴φ=π‎3‎,∴f(x)=sinx+‎π‎3‎+1.‎ ‎∵f(α)=sinα+‎π‎3‎+1=‎9‎‎5‎,‎ 可得sinα+‎π‎3‎=‎4‎‎5‎.‎ ‎∵π‎6‎<α<‎2π‎3‎,可得π‎2‎<α+π‎3‎<π,‎ ‎∴cosα+‎π‎3‎=-‎3‎‎5‎.‎ ‎∴sin‎2α+‎‎2π‎3‎=2sinα+‎π‎3‎·cosα+‎π‎3‎=2×‎4‎‎5‎×‎-‎‎3‎‎5‎=-‎24‎‎25‎.故选D.‎ ‎12.B　由cosα+‎π‎6‎-sin α=‎4‎‎3‎‎5‎,‎ 可得‎3‎‎2‎cos α-‎3‎‎2‎sin α=‎4‎‎3‎‎5‎,‎1‎‎2‎cos α-‎3‎‎2‎sin α=‎4‎‎5‎,cosα+‎π‎3‎=‎4‎‎5‎.‎ ‎∵α∈‎-π‎3‎,0‎,∴α+π‎3‎∈‎0,‎π‎3‎,sinα+‎π‎3‎=‎3‎‎5‎,‎ sinα+‎π‎12‎=sinα+‎π‎3‎‎-‎π‎4‎ ‎=‎2‎‎2‎sinα+‎π‎3‎-‎2‎‎2‎cosα+‎π‎3‎ ‎=‎2‎‎2‎‎3‎‎5‎‎-‎‎4‎‎5‎=-‎2‎‎10‎,故选B.‎ ‎13.π‎2‎　f(x)=2sin x·‎1+cosφ‎2‎+cos xsin φ-sin x=sin x+sin xcos φ+cos xsin φ-sin x=sin xcos φ+cos xsin φ=sin(x+φ).‎ 因为函数f(x)在x=π处取最小值,所以sin(π+φ)=-1,‎ 由诱导公式知sin φ=1,因为0<φ<π,所以φ=π‎2‎.‎ ‎14.解 (1)f(x)=a·b+‎3‎‎2‎=(sin x,‎3‎cos x)·(cos x,-cos x)+‎‎3‎‎2‎ ‎=sin x·cos x-‎3‎cos2x+‎3‎‎2‎=‎1‎‎2‎sin 2x-‎3‎‎2‎cos 2x=sin‎2x-‎π‎3‎.‎ 令2x-π‎3‎=kπ+π‎2‎,得x=‎5π‎12‎+k‎2‎π(k∈Z),‎ 即y=f(x)的对称轴方程为x=‎5π‎12‎+k‎2‎π(k∈Z).‎ ‎(2)由条件知sin‎2x‎1‎-‎π‎3‎=sin‎2x‎2‎-‎π‎3‎=‎1‎‎3‎>0,且00.‎ ‎∴sin α+cos α=‎1+k.‎ ‎∴y=‎1+k-2k+1.‎ 由于k=2sin αcos α=sin 2α,π‎4‎<α≤π‎2‎,∴0≤k<1.‎ ‎∴f(k)=‎1+k-2k+1(0≤k<1).‎ ‎(2)设‎1+k=t,则k=t2-1,1≤t<‎2‎.‎ ‎∴y=t-(2t2-2)+1,‎ 即y=-2t2+t+3(1≤t<‎2‎).‎ ‎∵关于t的二次函数在区间[1,‎2‎)内是减少的,‎ ‎∴t=1时,y取最大值2.‎