【数学】2019届一轮复习北师大版推理与证明学案

【数学】2019届一轮复习北师大版推理与证明学案

副题7 推理与证明 ‎【副题考法】本副题考题类型为选择填空题，并与平面几何、立体几何、解析几何、三角函数、数列等相结合考查归纳推理、类比推理合情推理思想与演绎推理思想，考查分析法、综合法、反证法等分析问题解决问题的思想方法的，考查对新概念的理解和新概念的应用，考查推理论证能力、运算求解能力、阅读理解新概念及应用新概念解决问题能力、转化与化归思想，其难度较多是中等题，分值为5分.‎ ‎【主题考前回扣】‎ ‎1.推理 推理分为合情推理与演绎推理，合情推理包括归纳推理和类比推理；演绎推理的一般模式是三段论．‎ 合情推理的思维过程 ‎(1)归纳推理的思维过程 ―→→ ‎(2)类比推理的思维过程 ―→→ ‎2．证明方法 ‎(1)分析法的特点 从未知看需知，逐步靠拢已知．‎ 推理模式 ‎ 框图表示 →→→…→ ‎(2)综合法的特点 从已知看可知，逐步推出未知．‎ 推理模式 框图表示 →→→…→(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)． - ‎ ‎(3)反证法 一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．‎ ‎【易错点提醒】‎ ‎1.应用合情推理应注意的问题 ‎ ‎(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．‎ ‎(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质．‎ 注意 归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．‎ 2. 应用分析法时，忽视①每一步要找的是上一步成立的充分条件，②要注意书写格式这两点致错.‎ 3. 应用反证法是要假设结论的反面成立，将结论的反面作为条件进行推理导出矛盾，因结论反面考虑不全致错.‎ ‎【副题考向】 ]‎ 考向一 归纳推理 ‎【解决法宝】 归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．在进行归纳时，要先把已知的部分个体适当变形，再通过对这些个体的观察、分析、比较，发现它们的相同性质或变化规律，找出它们之间的联系，从这些相同性质或变化规律推出一个明确表述的一般命题，从而归纳出一般结论，对所得的一般性命题进行检验，归纳推理关键是找规律． = ‎ 例1【河南省濮阳市2018届二模】几位大 生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家 习数 的兴趣，他们推出了“解数 题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数 问题的答案.如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，求满足如下条件的最小四位整数 第2017行的第项为2的正整数幂.已知，那么该款软件的激活码是（ ）‎ A. 1040 B. 1045 C. 1060 D. 1065‎ ‎【分析】观察数表发现，每一行都是等差数列，第行的公差为， 记第行的第个数为，根据题意即可写出f(n,1)的递推关系，从而求出通项公式，由题意即可得出第2017行第N个数满足的条件，即可求出N。‎ ‎【解析】 由数表推得，每一行都是等差数列，第行的公差为， 记第行的第个数为，则==，即，算得，则，又已知第 行的第项为的正整数幂，且，可推得，即该款软件的激活码是，故选A．‎ 考向二 类比推理 ‎【解题法宝】类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的结论，在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质，类比推理关键是看共性．‎ 例2 【2017届河北定州中 高三月考1】已知三角形的三边分别为，内切圆的半径为，则三角形的面积为；四面体的四个面的面积分别为，内切球的半径为．类比三角形的面积可得四面体的体积为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【分析】将边与面类比、内切圆的半径与内切球的半径类比、面积与体积类比即可求出结论.‎ 考向三 演绎推理 ‎【解题法宝】演绎推理是由一般到特殊的推理．数 的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确的，一定要注意推理过程的正确性与完备性．‎ 例3【安徽省黄山市2018届一模】《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺 .问积几何？答曰 二千一百一十二尺.术曰 周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”. ‎ 就是说 圆堡瑽（圆柱体）的体积为 (底面圆的周长的平方高)，则由此可推得圆周率的取值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【分析】由圆柱体积的两种算法即可得出关系式，即可求出圆周率的取值.‎ ‎【解析】设圆柱体的底面半径为，高为，由圆柱的体积公式得体积为 .‎ 由题意知，所以，解得，故选A.‎ 考向四 间接证明 ‎【解决法宝】用反证法证明数 命题步骤如下 ‎ 第一步，分清命题“”的条件和结论；‎ 第二步，作出与结论相反的假设； - ‎ 第三步，由和出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；‎ 第四步，断定矛盾结果的原因在于开始所作的假设不真，于是结论成立，从而证明了命题为真.‎ 所说的矛盾结果，通常是指推出的结果和已知公理、已知定义、已知定理、已知条件矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果.‎ 例4 【吉林省梅河口市五 2018届第三次月考】① 已知，求证，用反证法证明时，可假设；② 设为实数， ，求证与中至少有一个不小于，有反证法证明时可假设，且，以下说法正确的是（ ）‎ A. ①与②的假设都错误 B. ①与②的假设都正确 C. ①的假设正确，②的假设错误 D. ①的假设错误，②的假设正确 ‎【答案】考虑两个问题的反面即可作出判断.‎ ‎【解析】①用反证法证明时，假设命题为假，应为全面否定，所以的假命题应为，故①的假设正确；②与中至少有一个不小于的否定为与中都小于，故②的假设错误；故选C.‎ 例5 【内蒙古赤峰市2018届上 期期末】在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时,甲说 “主要责任在乙”；乙说 “丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说 “反正我没有责任”,四人中只有一个人说的是真话,则该事故中需要负主要责任的人是（ ）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【分析】分别假定甲、乙、丙、丁各自的说法正确，进行推理，得出矛盾，即可排除错误，得出正确结论.‎ 考向五 新定义 ‎【解决法宝】一般是以新课标教材内容为背景，给出某种新概念、新运算（符号）、新法则（公式）等， 生在理解相关新概念、新运算（符号）、新法则（公式）之后，运用新课标 过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等寻求问题解决．‎ ‎ 结合高等数 的题目通常是以高等数 符号、概念直接出现或以高等数 概念、定理作为依托融于初等数 知识中．此类问题的设计虽 于高等数 ，但一般是起点高，落点低，它的解决的方法还是运用中 数 的基本知识和基本技能．这要求 生认真阅读相关定义或方法，在充分理解题意的基础上，结合已有的知识进行解题． * ‎ ‎ 结合其他 的题目，主要是介绍数 知识在其他 或领域的运用，一般都会介绍运用时的知识背景、数 模型，因而题中文字、信息较多． 生必须准确地把握题意、理顺线索、分析相应数 模型与数 知识的内在联系，结合 生已有的知识和能力进行推理、运算．[ ]‎ ‎ “新定义”型的问题，通常是选取合适的数 背景，把新定义、新运算、新符号等巧妙的融入高考试题中 ，虽然它的构思巧妙、题意新颖、隐蔽性强，到处都体现出新意，但是，它考查的还是基本知识和基本技能，解题的关键在于全面准确理解题意， 合理的推理运算．因此，“新题”不一定是“难题”，只有夯实基础，掌握好双基，以不变应万变才是我们取胜的法宝．‎ 例6 【湖北荆州一中2018届高三一模】函数的定义域为，若存在闭区间 ‎，使得函数满足 （1）在上是单调函数；（2）在上的值域为，则称区间为函数的“完美区间”.‎ 下列函数中存在“完美区间”的是________（只需填符合题意的函数序号）.‎ ‎①； ②； ③； ④. ‎ ‎【分析】首先需对给定的新定义进行读取与理解，从题给定义寻找问题的突破口 ①函数在区间单调；②函数满足，且方程的根必须有两根，其中小根为，大根为.由此，可得可对各函数解析式进行一一的验证，并假设存在“完美区间”，通过方程根的情况进行判断，最后检验函数的单调性. ‎ ‎【主题集训】‎ ‎1【山西省2018年高考考前适应性测】完成下列表格，据此可猜想多面体各面内角和的总和的表达式是（ ）‎ 多面体 顶点数 面数 棱数 各面内角和的总和 三棱锥 四棱锥 五棱锥 ‎（说明 上述表格内，顶点数指多面体的顶点数）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】填表如下 ‎ 多面体 顶点数 面数 棱数 各面内角和的总和 三棱锥 ‎ ‎ ‎4‎ ‎4‎ 四棱锥 ‎8‎ ‎6‎ 五棱锥 ‎6‎ ‎10‎ ‎8‎ 不难发现各面内角和的总和的表达式是，故选 ‎2.【北京市西城区156中 2018届上 期期中】如图，，，三个开关控制着，，，号四盏灯．若开关控制着，，号灯（即按一下开关，，，号灯亮，再按一下开关，，，号灯熄灭），同样，开关控制着，，号灯，开关控制着，，号灯．开始时，四盏灯都亮着，那么下列说法正确的是（ ）．‎ A. 只需要按开关，可以将四盏灯全部熄灭[ ]‎ B. 只需要按开关，可以将四盏灯全部熄灭 C. 按开关，，可以将四盏灯全部熄灭 D. 按开关，，无法将四盏灯全部熄灭 ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，按开关，，，号灯熄灭，号灯亮；按开关，，号灯熄灭，，号灯亮；按开关，则，，号灯熄灭，号灯亮．选． ‎ ‎3.【2017届湖南师大附中高三文上 期月考四】已知（‎ ‎），观察下列算式 ；；若（），则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为 ‎ ‎,所以有,,选C.‎ ‎4.【广西桂林、贺州、崇左三市2018届二联考】某单位对一岗位面向社会公开招聘，若甲笔试成绩与面试成绩至少有一项比乙高，则称甲不亚于乙.在18位应聘者中，如果某应聘者不亚于其他17人，则称其为“优秀人才”.那么这18人中“优秀人才”数最多为（ ） - ‎ A. 1 B. 2 C. 9 D. 18‎ ‎【答案】D ‎5.【2017届安徽皖南八校高三理联考二】中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”愿意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹 进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是，则9117用算筹可表示为（ ） ‎ ‎ ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由定义知 千位9为横式；百位1为纵式；十位1为横式；个位7为纵式，选A ‎6.【江西省南昌市2018届一模】平面内直角三角形两直角边长分别为，则斜边长为，直角顶点到斜边的距离为，空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为，类比推理可得底面积为，则三棱锥顶点到底面的距离为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设三棱锥两两垂直的三条侧棱长度为，三棱锥顶点到底面的距离为，由题意可得 ，据此可得 ，且，故 ，则.，故选C.‎ ‎7.【衡水金卷2018年模拟（三）】已知， ， ， ，若，则的值为（ ）‎ A. 8 B. 9 C. 10 D. 11‎ ‎【解析】通过归纳得，故解得.‎ ‎8.【山东省寿光市2018届上 期期末】“干支纪年法”是中国历法上自古以 使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为 甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸末，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到个组成，周而复始，循环记录。2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的（）‎ A. 己亥年 B. 戊戌年 C. 辛丑年 D. 庚子年 ‎【答案】D ‎【解析】天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从2014年到2020年，经过了6年，所以天干中的甲变为庚，地支中的午变为子，即2020年是庚子年，选D.‎ ‎9.【湖北黄石2017届高三9月调研，12】定义 如果函数在上存在满足，，则称函数是上的“双中值函数”，已知函数是上“双中值函数”，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎10.【辽宁省大连育明高中、本溪市高中2018届10月联考】若等差数列的公差为，前 项和为，则数列为等差数列，公差为，类似地，若各项均为正数的等比数列的公比为，前项积为，则等比数列的公比为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵在等差数列中前n项的和为的通项,且写成了 =a1+(n−1)×，所以在等比数列{}中应研究前n项的积为的开n方的形式，类比可得=b1()n−1.其公比为，故选 C.‎ ‎11.【广西南宁、梧州2017届高三毕业班摸底联考，11】给出定义 设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知函数的拐点是，则点（ ）‎ A．在直线上 B．在直线上 C.在直线上 D．在直线上 ‎【答案】B ‎【解析】，所以，‎ 故在直线上.故应选B.‎ ‎12.【黑龙江省大庆铁人中 2018届期中】下面四个推理中，属于演绎推理的是（　　）‎ A. 观察下列各式 72=49，73=343，74=2401，…，则72015的末两位数字为43‎ B. 观察，可得偶函数的导函数为奇函数 C. 在平面上，若两个正三角形的边长比为1 2，则它们的面积比为1 4，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1 2，则它们的体积之比为1 8‎ D. 已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应 ‎【答案】D ‎【解析】A 是由一般到特殊，故属于合情推理，B 同上选项，也是合情推理，C 是由特殊到特殊，是类比推理，D 有大前提 碱金属都能与水发生还原反应，小前提 ‎ 钠为碱金属，结论 钠能与水发生反应。故是演绎推理，故答案为 D。 - ‎ ‎13.【四川遂宁、广安、眉山、内江四市2017届高三上 期第一次联考，12】已知函数与的图象关于轴对称，当函数和在区间同时递增或同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”，若区间为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】易知与在上单调性相同，当两个函数单调递增时，与的图象如图1所示，易知，解得；当两个函数单调递减时，的图象如图2所示，此时关于轴对称的函数不可能在上为减函数．综上所述，，故选C．‎ ‎[ ]‎ ‎14.【宁夏银川一中2018届第五次月考】两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知图形中座位的排列顺序，可得 被5除余1的数，和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D符合条件，故选D ‎15.【河北省邯郸市2018届1月质检】现有六支足球队参加单循环比赛（即任意两支球队只踢一场比赛），第一周的比赛中，各踢了场， 各踢了场， 踢了场，且队与队未踢过， 队与队也未踢过，则在第一周的比赛中， 队踢的比赛的场数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】依据题意 踢了场， 队与队未踢过，则C队参加的比赛为 ；D踢了场， 队与队也未踢过，则D队参加的比赛为 ；以上八场比赛中， 包含了队参加的两场比赛，分析至此， 三队参加的比赛均已经确定，余下的比赛在中进行，已经得到的八场比赛中，A,B各包含一场，则在中进行的比赛中， ， 各踢了2场，即余下的比赛为 ，综上可得，第一周的比赛共11场 ， ， ，则队踢的比赛的场数是，故选D.‎ ‎16.【四川省成都市七中2018届一模】在直角坐标平面上的一列点简记为若由构成的数列满足其中为方向与轴正方向相同的单位向量，则称为点列.有下列说法 ‎①为点列；‎ ‎②若为点列，且点在点的右上方.任取其中连续三点则可以为锐角三角形；‎ ‎③若为点列，正整数若，满足则 ‎④若为点列，正整数若，满足则 ‎.‎ 其中，正确说法的个数为（）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】①由题意可知， ，显然有是点列，①正确；②在中， ， ， 点在点的右上方， 为点列， ， ，则， 为钝角， 为钝角三角形， 不可以为锐角三角形，②错；‎ ‎③， ， ，③正确；‎ ‎④同理②， 由于为点列，于是，可推导， ，即，④正确，正确说法的个数为，故选C.‎ ‎17.【河南省广东省佛山市2017届高三教 质量检测（一），15】所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数（也称为完备数、完美数）.如 ；；.此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和.如，，……，按此规律，可表示为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，又由，解得．所以＝．‎ ‎18.【江西省上饶市2018届二模】二维空间中，圆的一维测度（周长），二维测度（面积）；三维空间中，球的二维测度（表面积），三维测度（体积）.应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度，则其四维测度__________．‎ ‎【答案】‎ ‎19.【四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测,16】函数，的定义域都是，直线（），与，的图象分别交于，两点，若的值是不等于的常数，则称曲线，为“平行曲线”，设（，），且，为区间的“平行曲线”，，在区间上的零点唯一，则的取值范围是 ．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】在为，为区间的“平行曲线”，所以函数是由函数的图象经过上下平移得到的，即，又，所以，即， 得，则在区间上有唯一零点等价于函数与函数有唯一交点，，当时，，函数在区间上单调递增，所以函数与函数有唯一交点等价于，即，即的取值范围是.‎ ‎20.【东北三省哈师大附中等三校2018届一模】甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中 里教不同的 、、，已知 ‎ ‎①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教 ；‎ ‎③在长春工作的教师教 ；④乙不教 .‎ 可以判断乙教的 是______________.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由乙不在长春工作，而在长春工作的教师教A ，则乙不教A ；又乙不教B ，所以乙教C ，而在哈尔滨工作的教师不教C ，故乙在沈阳教C .故填C.‎ ‎21.【江西九江地区2017届高三七校联考，14】设，是非空集合，定义且，已知，，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，所以 ‎22.【福建省宁德市2018届上 期期末】今要在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周二等分，在这两个分点处分别标上，如图（1）所示；第二次把两段半圆弧二等分，在这两个分点处分别标上，如图（2）所示；第三次把段圆弧二等分，并在这个分点处分别标上，如图（3）所示.如此继续下去，当第次标完数以后，这圆周上所有已标出的数的总和是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎23.【湖北七市（州）教研协作体2018届3月联考】《数书九章》三斜求积术 “以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约一，为实，一为从隅，开平方得积”.秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法.以， ， ， 分别表示三角形的面积，大斜，中斜，小斜； ， ， 分别为对应的大斜，中斜，小斜上的高；则 .若在中， ， ，根据上述公式，可以推出该三角形外接圆的半径为__________． = ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意可知 ，故设，由 代入可得，由余弦定理可得cosA=，所以由正弦定理得三角形外接圆半径为