高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4-5函数y=Asin（ωxφ）的图像及三角函数模型的简单练习理北师大版

高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4-5函数y=Asin（ωxφ）的图像及三角函数模型的简单练习理北师大版

‎4.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像及三角函数模型的简单 核心考点·精准研析 考点一　函数y=Asin(ωx+φ)的图像及图像变换 ‎1.若函数f(x)=cos,为了得到函数g(x)=sin2x的图像,则只需将f(x)的图像 (　　)‎ A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 ‎2.若将函数y=2cosx(sinx+cosx)-1的图像向左平移φ个单位,得到的函数是偶函数,则φ的最小正值是 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),若f(x)的图像向左平移个单位所得的图像与f(x)的图像向右平移个单位所得的图像重合,则ω的最小值为　　　　.‎ ‎4.已知函数f(x)=4cosx·sin+a的最大值为2. ‎ ‎(1)求a的值及f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)画出f(x)在[0,π]上的图像.‎ - 15 -‎ ‎【解析】1.选A.f(x)=cos=sin=sin=sin2,为了得到g(x)=sin2x的图像,则只需将f(x)的图像向右平移个单位长度即可.‎ ‎2.选A.化简函数:y=2cosx(sinx+cosx)-1=2sinxcosx+2cos2x-1‎ ‎=sin2x+cos2x=sin,‎ 向左平移φ个单位可得y=sin,‎ 因为y=sin是偶函数,‎ 所以2φ+=+kπ,k∈Z,φ=+,k∈Z,‎ 由k=0可得φ的最小正值是.‎ ‎3.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),把f(x)的图像向左平移个单位所得的图像为y=sin ‎=sin,把f(x)的图像向右平移个单位所得的图像为y=sin - 15 -‎ ‎=sin,‎ 根据题意可得y=sin和y=sin的图像重合,故 ‎+φ=2kπ-+φ,k∈Z,求得ω=4k,k∈Z,故ω的最小值为4.‎ 答案:4‎ ‎4.(1)f(x)=4cosxsin+a ‎=4cosx·+a=sin2x+2cos2x+a ‎=sin2x+cos2x+1+a=2sin+1+a的最大值为2,‎ 所以a=-1,最小正周期T==π.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=2sin,列表:‎ x ‎0‎ π ‎2x+‎ π ‎2π f(x)=2sin ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎-2‎ ‎0‎ ‎1‎ 画图如图所示:‎ - 15 -‎ ‎1.由函数y=sinx的图像通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.‎ ‎2.y=Asin(ωx+φ)的图像可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z=ωx+φ计算五点坐标.‎ ‎【秒杀绝招】‎ 排除法解T1,变形f(x)=sin,观察发现ω=2,所以不能平移,排除B,D;代入A,C检验,可知选A.‎ T4,可用伸缩法画f(x)的图像.‎ 考点二　由图像求解析式 ‎【典例】1.已知函数y=f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则ω,φ的值分别是 (　　)‎ A.2,- B.2,-‎ C.4,- D.4,‎ ‎2.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图像如图所示,则函数f(x)的解析式为　　　. ‎ - 15 -‎ ‎【解题导思】‎ 序号 联想解题 ‎1‎ 看到A,B两点的横坐标,想到了求周期,从而求ω.由A,B两点的位置想到了特殊点,从而求φ.‎ ‎2‎ 由图像的最高点及最低点,想到了求A以及周期,从而确定ω,由特殊点的坐标想到了求φ.‎ ‎【解析】1.选A.由题图可知,T=+,即T=π,‎ 所以=π,即ω=2,‎ 由2×+φ=+2kπ(k∈Z)得 φ=-+2kπ,k∈Z,又-<φ<,‎ 故φ=-.‎ ‎2.由题图知A=,=-=,‎ 所以T=π,ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),‎ 又对应五点法作图中的第三个点,‎ 所以2×+φ=π+2kπ(k∈Z),φ=+2kπ(k∈Z),‎ 又|φ|<π,所以φ=,所以f(x)=sin.‎ - 15 -‎ 答案:f(x)=sin ‎【一题多解】由题图知A=,=-=,以为第二个零点,为最小值点,列方程组 解得 所以f(x)=sin.‎ 答案:f(x)=sin 确定y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式的步骤 ‎(1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则A=,B=.‎ ‎(2)求ω,确定函数的周期T,则ω=.‎ ‎(3)求φ,常用方法有:‎ ‎①代入法:把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入.‎ ‎②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下:“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0;“第二点”(即图像的“峰点”)为ωx+φ=;“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π;“第四点”(即图像的“谷点”)为ωx+φ=;“第五点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx+φ=2π.‎ - 15 -‎ ‎1.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f(x)的解析式是 (　　)‎ A.f(x)=sin B.f(x)=sin C.f(x)=sin D.f(x)=sin ‎【解析】选D.由图像可知=-=,所以T=π,所以ω==2,所以排除A、C;把x=代入检验知,选项D符合题意.‎ ‎2.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像的一部分如图所示,则f(x)图像的对称轴方程是　　　　.‎ ‎【解析】由图像知A=2,又1=2sin(ω×0+φ),即sinφ=,又|φ|<,所以φ=.又×ω+=2π,所以ω=2,所以f(x)=2sin,‎ - 15 -‎ 令2x+=+kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z).‎ 所以f(x)=2sin的对称轴方程为x=+(k∈Z).‎ 答案:x=+(k∈Z)‎ 考点三　函数y=Asin(ωx+φ)图像与性质的综合应用 命 题 精 解 读 ‎1.考什么:(1)三角函数模型的应用,方程根(函数零点)问题,图像与性质的综合应用等;(2)考查直观想象、数学运算等核心素养,以及数形结合的思想.‎ ‎2.怎么考:与三角函数图像与性质,方程根,零点问题,实际问题结合考查求解析式,性质,参数等.‎ ‎3.新趋势:以考查三角函数模型的应用为主.‎ 学 霸 好 方 法 三角函数模型的应用策略 ‎(1)三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题.‎ ‎(2)研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.‎ 三角函数模型的应用 ‎【典例】(2020·滁州模拟)某地农业监测部门统计发现:该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况:‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 收购价格y(元/斤)‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ 选用一个三角函数模型来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为　　　　. 【解析】设y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0),‎ 由题意得A=1,B=6,T=4,因为T=,所以ω=,所以y=sin+6.‎ - 15 -‎ 因为当x=1时,y=6,所以sin=0,‎ 故+φ=2kπ,k∈Z,可取φ=-,‎ 所以y=sin+6=-cosx+6.‎ 答案:y=-cosx+6(答案不唯一)‎ 方程根(函数零点)问题 ‎【典例】已知函数f(x)=2sinωxcosωx+2sin2ωx-(ω>0)的最小正周期为π. ‎ ‎ (1)求函数f(x)的单调递增区间.‎ ‎(2)将函数f(x)的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图像,若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10个零点,求b的最小值.‎ ‎【解析】(1)f(x)=2sinωxcosωx+(2sin2ωx-1)‎ ‎=sin2ωx-cos2ωx=2sin.‎ 由最小正周期为π,得ω=1,所以f(x)=2sin,由2kπ-≤2x-‎ ‎≤2kπ+(k∈Z),‎ 整理得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),‎ 所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).‎ - 15 -‎ ‎(2)将函数f(x)的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到y=2sin2x+1的图像;‎ 所以g(x)=2sin2x+1.‎ 令g(x)=0,得x=kπ+或x=kπ+(k∈Z),‎ 所以在[0,π]上恰好有两个零点,若y=g(x)在[0,b]上有10个零点,则b不小于第10个零点的横坐标即可.所以b的最小值为4π+=.‎ 方程的根与函数图像的交点有何关系?‎ 提示:方程根的个数可转化为两个函数图像的交点个数.‎ 综合应用问题 ‎【典例】(2019·全国卷Ⅲ)设函数f(x)=sin(ω>0),已知f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点,下述四个结论: ‎ ‎①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点 ‎②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点 ‎③f(x)在上单调递增 ‎④ω的取值范围是.‎ 其中所有正确结论的编号是 (　　)‎ A.①④　　 B.②③　 C.①②③ 　　 D.①③④‎ ‎【解析】选D.‎ ‎①若f(x)在[0,2π]上有5个零点,可画出大致图像,‎ - 15 -‎ 由图1可知,f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点,所以①正确.‎ ‎②由图1、图2可知,f(x)在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点,故②错误.‎ ‎③函数f(x)=sin的增区间为 ‎-+2kπ<ωx+<+2kπ(k∈Z),‎ ‎2π,‎ 解得≤ω<,故④正确.‎ 所以结论正确的编号有①③④.‎ 本题考查哪些知识?‎ 提示:三角函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质,制图用图能力,数形结合思想,数学运算的核心素养.‎ ‎1.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acos(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28℃,12月份的月平均气温最低为18℃,则10月份的平均气温为　　　　℃.‎ ‎【解析】因为当x=6时,y=a+A=28;‎ 当x=12时,y=a-A=18,所以a=23,A=5,‎ 所以y=f(x)=23+5cos,‎ 所以当x=10时,f(10)=23+5cos ‎=23-5×=20.5(℃).‎ 答案:20.5‎ - 15 -‎ ‎2.(2020·临沂模拟)函数f(x)=sin的图像上相邻的两个最高点之间的距离为　　　　.‎ ‎【解析】由题意知,函数f(x)的图像上相邻的两个最高点之间的距离为函数f(x)的一个最小正周期,函数f(x)的最小正周期为=π.‎ 答案:π ‎3.已知关于x的方程2sin2x-sin2x+m-1=0在上有两个不同的实数根,则m的取值范围是　　　　.‎ ‎【解析】方程2sin2x-sin2x+m-1=0可转化为m=1-2sin2x+sin2x =cos2x+sin2x=2sin,x∈.设2x+=t,则t∈,所以题目条件可转化为=sint,t∈有两个不同的实数根.所以y1=和y2=sint,t∈的图像有两个不同交点,如图:‎ 由图像知,的取值范围是,所以m的取值范围是(-2,-1).‎ 答案:(-2,-1)‎ ‎1.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图像如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2022)的值等于(　　)‎ - 15 -‎ A. B.2+2‎ C.+2　 D.-2‎ ‎【解析】选A.由图像知A=2,φ=0,T=8,‎ 所以=8,即ω=,所以f(x)=2sinx.‎ 因为周期为8,且f(1)+f(2)+…+f(8)=0,‎ 所以f(1)+f(2)+…+f(2022)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6) =2sin+2sin+2sin+2sinπ+2sin+2sin=.‎ ‎2.(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论:‎ ‎①f(x)是偶函数 ‎②f(x)在区间单调递增 ‎③f(x)在[-π,π]有4个零点 ‎④f(x)的最大值为2‎ 其中所有正确结论的编号是 (　　)‎ A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③‎ ‎【解析】选C.因为f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx|=f(x),所以f(x)为偶函数,故①正确.当

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