2017-2018学年山东省济南市高一（下）期末数学试卷

2017-2018学年山东省济南市高一（下）期末数学试卷

第 1 页 共 12 页 ◎ 第 2 页 共 12 页 2017-2018 学年山东省济南市高一（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1. 在平行四边形ABCD中，对角线的交点为O，则（ ） A. → AO = 1 2( → AB− → AD) B. → AO = 1 2( → AB + → AD) C. → AO = 1 3( → AB + → AD) D. → AO = 1 3( → AB− → AD) 2. 函数f(x)＝sin(4x + π 3)的最小正周期为（ ） A.2π B.4π C.π D.π 2 3. 已知sinα = 2 3,cos2α的值是（ ） A.1 9 B.2 5 3 −1 C.5 9 D.1− 5 3 4. 已知向量 → a = (1, 1)， → b = (−1, 1)， → c = (−2, 4)，则 → c等于（ ） A.3 → a− → b B.3 → a + → b C. → a + 3 → b D. → a−3 → b 5. △ ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a = 2 3 3 ，b = 2，B = π 3，则角A的大小为（ ） A.π 4或3π 4 B.π 4 C.π 3 D.3π 4 6. 若cos(α−π 3) = 3 2 ，则sin(α + π 6)的值为（ ） A.−1 2 B.− 3 2 C.1 2 D. 3 2 7. 角B为 △ ABC的内角，向量 → m = (sinB,  3)， → n = (cosB, 3)．若 → m //  → n，则角B的大小为（ ） A.2π 3 B.π 3 C.π 6 D.5π 6 8. 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的“弦图”为基础设计的．如图所示， “弦图”是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果一个直角三角形的面积为4．小正 方形的周长为8，直角三角形中较小的锐角为θ，则tan2θ的值等于（ ） A.24 7 B. 7 24 C.3 4 D.4 3 9. △ ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C．设向量 → m = (a + c, a−b)， → n = (c−a, b)，若 → m ⊥ → n，则角C的大 小为（ ） A.2π 3 B.π 3 C.π 6 D.5π 6 10. 已知锐角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边与圆心在原点的单位圆交点的纵坐 标分别为 10 10 ， 5 5 ，则α + β的大小为（ ） A.π 4 B.π 6 C.π 3 D.3π 4 11. 如果 △ A1B1C1和 △ A2B2C2满足cosA1 sinA2 = cosB1 sinB2 = cosC1 sinC2 = 1，则称 △ A1B1C1和 △ A2B2C2是一对“友好三角形”则下列 结论正确的是（ ） A. △ A1B1C1和 △ A2B2C2都是钝角三角形 B. △ A1B1C1和 △ A2B2C2都是锐角三角形 C. △ A1B1C1是钝角三角形， △ A2B2C2是锐角三角形 D. △ A1B1C1是锐角三角形， △ A2B2C2是钝角三角形 12. 已知函数f(x)＝2sin(ωx + φ)(ω > 0, |φ| < π 2)的图象过点B(0, −1)，且在( π 18, π 3)上单调，同时f(x)的图象向左平移 π个单位之后与原来的图象重合，当x1，x2 ∈ (−17π 12 , −2π 3 )，且x1 ≠ x2时，f(x1)＝f(x2)，则f(x1 + x2)＝（ ） A.− 2 B. 3 C.−1 D.1 第 3 页 共 12 页 ◎ 第 4 页 共 12 页 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 已知| → a|＝7，| → b|＝5， → a与 → b的夹角为60∘，则(2 → a + 4 → b) ⋅ ( → a− → b)的值为________． 正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 → AE ⋅ → AB的值为________． 某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45∘距离为10海里的C处，该渔船正在沿南偏东75∘方向，以每小时9海里 的速度向距离较远的某小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇追上渔船的最短时间是________小时．（结果用 分数表示） 已知 △ ABC的三个内角A，B，C满足sin2A + sin2C＝2018sin2B，则(tanA + tanC)tan2B tanA + tanB + tanC的值为________． 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 在平面直角坐标系xOy中，已知A(2, 0)，B(1, 8)，C(7, 5)，点E满足 → BE = 2 → EC． （1）求向量2 → AC + → AB的模； （2）求向量 → BC与向量 → AE的夹角的大小． 已知向量 → a = (sinx, 3cosx)， → b = (3cosx, −cosx)，函数f(x) = → a ⋅ → b + 3 2 ． （1）求函数y＝f(x)图象的对称轴方程； （2）若x ∈ [0, 3π 4 ]，求函数y＝f(x)的值域． 阅读下面的两个材料 材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积菜当术”：若把三角形的三条边分别称 为小斜、中斜和大斜，记小斜为a，中匡斜为b，大斜为c，则三角形的面积为S = 1 4[a2c2−(c2 + a2−b2 2 )2]，这个公式 称之为秦九韶公式. 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》或称《测地术》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的 面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则它的面积为S = p(p−a)(p−b)(p−c)，其中p = 1 2(a + b + c)，这个公式称之为海伦公式. 请你解答下面的两个问题： (1)已知 △ ABC的三条边为a = 17，b = 18，c = 19，求这个三角形的面积S； (2)请从秦九韶公式和海伦公式中任选一个公式进行证明．如果多做，则按所做的第一个证明记分． 一个同学用五点法画函数f(x)＝Asin(ωx + φ) + B(A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)的图象时，列出下列表格： x π 12 7π 12 ωx + φ 0 π 2 π 3π 2 2π sin(ωx + φ) 0 1 0 −1 0 f(x) 3 −1 （1）根据表格中的部分数据求出f(x)的解析式，并在下面给出的坐标纸中作出f(x)在闭区间[−π 6, 5π 6 ]上的图象； （2）先将函数f(x)的图象向右平移π 6个单位长度，再把图象上所有点的横坐标缩短为原来的1 2（纵坐标不变）， 得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间． 第 5 页 共 12 页 ◎ 第 6 页 共 12 页 （1）在《九章算术•方田》中，“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？译成现代汉语为：“现有 扇形田地，弧长30步，其所在圆的直径为16步，问这块田地面积是多少平方步？”请根据上述材料计算这块 田地的面积． （2）在圆心角为60∘、半径为R的扇形中，作顶点都在扇形的边界上的内接矩形．为了使得内接矩形的面积 最大，甲、乙两个同学各自给出了一种设计方案，如图所示．请你判定哪个同学的方案可以得到面积更大的 内接矩形，并说明你的理由． 如图，边长为1的正三角形ABC的中心为O，过点O的直线与边AB，AC分别交于点M，N． （1）求证： 1 |AM| + 1 |AN|的值为常数； （2）求 1 |OM|2 + 1 |ON|2的取值范围． 第 7 页 共 12 页 ◎ 第 8 页 共 12 页 参考答案与试题解析 2017-2018 学年山东省济南市高一（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1. 【答案】 此题暂无答案 【考点】 平面向水明基本定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 2. 【答案】 此题暂无答案 【考点】 三角于数的深期两及其牛法 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 3. 【答案】 此题暂无答案 【考点】 二倍角于三角术数 三角都数升恒害涉换及化简求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 4. 【答案】 此题暂无答案 【考点】 平面向水明基本定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 5. 【答案】 此题暂无答案 【考点】 正因归理 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 6. 【答案】 此题暂无答案 【考点】 运用诱导于式化虫求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 7. 【答案】 此题暂无答案 【考点】 平行向根（共线） 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 8. 【答案】 此题暂无答案 【考点】 解都还形 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 9. 【答案】 此题暂无答案 【考点】 余于视理 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 10. 第 9 页 共 12 页 ◎ 第 10 页 共 12 页 【答案】 此题暂无答案 【考点】 两角和与射的三题函数 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 11. 【答案】 此题暂无答案 【考点】 三角形水来状判断 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 12. 【答案】 此题暂无答案 【考点】 函数 y 射 Asi 过（ω 复非 φ）的图象变换 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 【答案】 此题暂无答案 【考点】 数量来表示冷个向让又夹角 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】 此题暂无答案 【考点】 平面射量长量化的性置及其运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】 此题暂无答案 【考点】 解都还形 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】 此题暂无答案 【考点】 正因归理 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 【答案】 此题暂无答案 【考点】 数量来表示冷个向让又夹角 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】 此题暂无答案 【考点】 平面射量长量化的性置及其运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】 此题暂无答案 【考点】 秦因剩算法 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】 此题暂无答案 【考点】 由 y=于 si 械（ωx+美）的部分角象六定其解断式 【解析】 第 11 页 共 12 页 ◎ 第 12 页 共 12 页 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】 此题暂无答案 【考点】 根据体际省题完择函离类型 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】 此题暂无答案 【考点】 解都还形 三角形射面积公放 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答