2020-2021学年人教A版数学选修2-1课时作业：第二章 圆锥曲线与方程 单元质量评估（二）
第二章单元质量评估(二)
时限：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小
题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．抛物线 y＝ax2的准线方程是 y＝1，则 a的值为( C )
A．4 B．－4
C．－
1
4
D.1
4
2．若椭圆
x2
3m
＋
y2
2m＋1
＝1的焦点在 y轴上，则实数 m的取值范
围是( B )
A.
－
1
2
，1
B．(0,1) C.
0，1
2 D.
－
1
2
，
1
2
解析：本题主要考查椭圆的基本概念．由题意得 3m>0,2m＋1>0
且 2m＋1>3m，得 0
0，b>0)的离心率为
5
2
，则 C的
渐近线方程为( C )
A．y＝±1
4
x B．y＝±1
3
x C．y＝±1
2
x D．y＝±x
解析：本题主要考查有关双曲线基本概念的运算．∵e2＝c2
a2
＝
a2＋b2
a2
＝1＋b2
a2
＝
5
4
，∴
b2
a2
＝
1
4
.又 a>0，b>0，
∴
b
a
＝
1
2
，∴C的渐近线方程为 y＝±1
2
x，故选 C.
4．已知 F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆 C的两个焦点，过 F2且垂直于
x 轴的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，且 |AB|＝3，则 C 的方程为
( C )
A.x
2
2
＋y2＝1 B.x
2
3
＋
y2
2
＝1 C.x
2
4
＋
y2
3
＝1 D.x
2
5
＋
y2
4
＝1
解析：
如图，|AF2|＝1
2
|AB|＝3
2
，|F1F2|＝2，由椭圆定义得|AF1|＝2a－3
2
①.
在 Rt△AF1F2中，|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2＝
3
2 2＋22 ②.
由①②得 a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.
∴椭圆 C的方程为
x2
4
＋
y2
3
＝1，应选 C.
5．已知双曲线 y2－x2＝1的离心率为 e，且抛物线 y2＝2px的焦
点坐标为(e2,0)，则 p的值为( D )
A．－2 B．－4 C．2 D．4
解析：由条件知，双曲线的离心率为 e＝ 2，所以抛物线焦点坐
标为(2,0)，所以
p
2
＝2，所以 p＝4.故选 D.
6．如图，过抛物线 y2＝3x的焦点 F的直线交抛物线于点 A，B，
交其准线 l于点 C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则|AB|＝( A )
A．4 B．6 C．8 D．10
解析：本题主要考查抛物线的定义．如图，分别过点 A，B作 AA1，
BB1垂直于准线 l，垂足分别为 A1，B1，
由抛物线的定义得|BF|＝|BB1|.∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴
∠BCB1＝30°.
又|AA1|＝|AF|＝3，∴|AC|＝2|AA1|＝6，∴|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3
＝3，
∴|BF|＝1，|AB|＝4，故选 A.
7．过椭圆 C：x
2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的左顶点 A的斜率为 k的直线交
椭圆 C于另一点 B，且点 B在 x轴上的射影恰好为右焦点 F，若椭圆
的离心率为
2
3
，则 k的值为( C )
A．－
1
3
B.1
3
C．±1
3
D．±1
2
解析：本题主要考查椭圆的焦点、离心率等概念及斜率公式的应
用．由题意知点 B的横坐标是 c，故点 B的坐标为
c，±b
2
a ，则斜率 k
＝
±b
2
a
c＋a
＝± b2
ac＋a2
＝±a
2－c2
ac＋a2
＝±1－e2
e＋1
＝±(1－e)＝±1
3
，故选 C.
8．已知双曲线
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>b>0)的两焦点间的线段 F1F2正好被
椭圆
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的两焦点三等分，则该双曲线的渐近线方程为
( B )
A．y＝± 5
3
x B．y＝±2 5
5
x C．y＝±3 5
5
x D．y＝± 5x
解析：∵双曲线的焦距为 2 a2＋b2，椭圆的焦距为 2 a2－b2，
∴2 a2－b2＝1
3
·2 a2＋b2，整理得 4a2＝5b2，则 a＝ 5
2
b.代入双曲线的
渐近线方程 y＝±b
a
x，得 y＝±2 5
5
x.
9．已知椭圆 C1：
x2
m2＋y2＝1(m>1)与双曲线 C2：
x2
n2
－y2＝1(n>0)
的焦点重合，e1，e2分别为 C1，C2的离心率，则( A )
A．m>n，且 e1e2>1 B．m>n，且 e1e2<1
C．m1 D．mn.
∵e1＝ 1－ 1
m2，e2＝ 1＋ 1
n2
，∴e1e2＝
1－ 1
m2 1＋ 1
n2 ＝
1＋ 1
n2
－
1
m2－
1
m2n2
＝ 1＋m2－n2－1
m2n2
＝ 1＋ 1
m2n2
>1.
10．已知椭圆
x2
4
＋
y2
3
＝1的左、右顶点分别为 A，B，在椭圆上有
一个异于点 A，B的动点 P，若直线 PA的斜率为 k0，则直线 PB的斜
率为( B )
A. 3
4k0
B．－
3
4k0
C．－
3
4
k0 D．－
3
2
k0
解析：本题主要考查斜率公式及椭圆方程的综合运算．由题设知
A(－2,0)，B(2,0)．设 P(x0，y0)(x0≠±2)，∴kPA＝
y0
x0＋2
，kPB＝
y0
x0－2
.∵
点 P在椭圆上，∴
x20
4
＋
y20
3
＝1，∴y20＝3
1－x20
4 ，∴kPA·kPB＝
y0
x0＋2
· y0
x0－2
＝
y20
x20－4
＝
3
1－x20
4
x20－4
＝－
3
4
.
∵kPA＝k0，∴kPB＝－
3
4k0
，故选 B.
11．抛物线 x2＝－6by的准线与双曲线
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)的左、
右支分别交于 B，C两点，A为双曲线的右顶点，O为坐标原点，若
∠AOC＝∠BOC，则双曲线的离心率为( C )
A.2 3
3
B．3 C.4 3
3
D．2 3
解析：抛物线的准线为 y＝3
2
b，∴B
－
13
2
a，3
2
b
，C
13
2
a，3
2
b
.
易得∠AOC＝∠BOC＝60°，∴kOC＝3 13b
13a
＝tan60°＝ 3.
∴
b2
a2
＝
13
3
，∴e＝ 1＋b2
a2
＝ 1＋13
3
＝
4 3
3
，故选 C.
12．在焦点在 x 轴上的椭圆中截得的最大矩形的面积范围是
[3b2,4b2]，则椭圆离心率的范围是( A )
A.
5
3
，
3
2 B.
3
3
，
2
2 C.
1
2
，
3
2 D.
2
4
，
3
3
解析：设椭圆的标准方程为
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)．
不妨设矩形ABCD的对角线AC所在直线方程为y＝kx(假设k>0)．
联立
y＝kx，
x2
a2
＋
y2
b2
＝1， 解得 x2＝ a2b2
b2＋a2k2
，y2＝ a2b2k2
b2＋a2k2
.
所以矩形 ABCD的面积 S＝4|xy|＝ 4a2b2k
b2＋a2k2
＝
4a2b2
b2
k
＋a2k
≤
4a2b2
2 b2
k
·a2k
＝2ab，当且仅当 k＝b
a
时取等号．
所以 3b2≤2ab≤4b2，解得
1
2
≤
b
a
≤
2
3
.
所以 e＝c
a
＝ 1－b2
a2
∈
5
3
，
3
2 .故选 A.
二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，请把答案
填写在题中横线上)
13．若抛物线 y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线 x2－y2＝1 的一个
焦点，则 p＝2 2.
解析：双曲线 x2－y2＝1的左焦点为(－ 2，0)，故抛物线 y2＝2px
的准线为 x＝－ 2，所以
p
2
＝ 2，解得 p＝2 2.
14．已知双曲线
x2
4
－
y2
5
＝1上一点 P到 F(3,0)的距离为 6，O为坐
标原点，若OQ→＝
1
2
(OP→＋OF→ )，则|OQ→ |＝1或 5.
解析：本题主要考查双曲线的定义及向量的中点表示．由题意知
点 F(3,0)为双曲线的右焦点．设双曲线
x2
4
－
y2
5
＝1的左焦点为 F1，由OQ→
＝
1
2
(OP→＋OF→ )，知 Q为 PF的中点．连接 PF1，则|OQ→ |＝1
2
|PF1→ |.由||PF1→ |
－|PF→ ||＝4，|PF→ |＝6，得|PF1→ |＝2或 10，故|OQ→ |＝1或 5.
15．已知椭圆
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的左焦点为 F，A(－a,0)，B(0，b)
为椭圆的两个顶点，若 F到直线 AB的距离等于
b
7
，则椭圆的离心率
为
1
2
.
解析：直线 AB的方程为
y
b
＋
x
－a
＝1，即 bx－ay＋ab＝0.设 F(－
c,0)，则
|－bc＋ab|
a2＋b2
＝
b
7
，即
|a－c|
a2＋b2
＝
1
7
.因而 7|a－c|＝ a2＋b2.
又 b2＝a2－c2，代入上式，并整理得 8c2－14ac＋5a2＝0，于是
8e2－14e＋5＝0，解得 e＝1
2
或 e＝5
4
(舍去)．
16．设抛物线 M：y2＝2px(p>0)的焦点 F是双曲线 N：x2
a2
－
y2
b2
＝
1(a>0，b>0)的右焦点，若 M与 N的公共弦 AB恰好过点 F，则双曲
线 N的离心率 e＝ 2＋1.
解析：本题主要考查双曲线、抛物线的焦点．∵抛物线 M：y2
＝2px(p>0)的焦点为 F
p
2
，0
，双曲线 N：x
2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)的右焦
点为 F(c,0)，∴
p
2
＝c.又公共弦 AB恰好过点 F，得 AB为抛物线M的
通径，∴AB＝2p＝2b2
a
，∴b2＝2ac⇒c2－a2＝2ac，
∴e2－2e－1＝0，∴e＝ 2＋1或 e＝1－ 2(舍去)．
三、解答题(本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明，
证明过程或演算步骤)
17．(10分)椭圆的两个焦点 F1，F2在 x轴上，以|F1F2|为直径的
圆与椭圆的一个交点为 P(3,4)，求椭圆的标准方程．
解：设椭圆方程为
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)，焦点坐标为 F1(c,0)，F2(－
c,0)．
∵以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点为 P(3,4)，∴c＝|OP|＝
32＋42＝5.
∴
32
a2
＋
42
b2
＝1，
a2＝b2＋52，
∴
a2＝45，
b2＝20，
∴所求椭圆的方程为
x2
45
＋
y2
20
＝1.
18．(12分)如图，过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F作一条倾斜角
为
π
4
的直线与抛物线相交于 A，B两点．
(1)用 p表示|AB|；
(2)若OA→ ·OB→＝－3，求这个抛物线的方程．
解：(1)抛物线的焦点为 F
p
2
，0
，过点 F且倾斜角为
π
4
的直线方
程是 y＝x－p
2
.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
y2＝2px，
y＝x－p
2
， 得 x2－3px＋p2
4
＝0，
∴x1＋x2＝3p，x1x2＝p2
4
，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝4p.
(2)由(1)知 x1x2＝p2
4
，x1＋x2＝3p，∴y1y2＝
x1－p
2
x2－p
2 ＝x1x2－
p
2
(x1＋x2)＋p2
4
＝
p2
4
－
3p2
2
＋
p2
4
＝－p2，
∴OA→ ·OB→＝x1x2＋y1y2＝p2
4
－p2＝－
3p2
4
＝－3，解得 p2＝4，∴p＝
2.
∴这个抛物线的方程为 y2＝4x.
19．(12分)设点 P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系 xOy中的一个动
点(其中 O为坐标原点)，点 P到定点M
0，1
2 的距离比点 P到 x轴的
距离大
1
2
.
(1)求点 P的轨迹方程；
(2)若直线 l：y＝kx＋1 与点 P的轨迹相交于 A，B两点，且|AB|
＝2 6，求 k的值．
解：(1)过 P作 x轴的垂线且垂足为 N，由题意可知|PM|－|PN|＝1
2
，
而 y≥0，
所以|PN|＝y，所以 x2＋y－1
2
2＝y＋1
2
，化简得 x2＝2y(y≥0)
为所求的方程．
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立
y＝kx＋1，
x2＝2y
得 x2－2kx－2＝0，
所以 x1＋x2＝2k，x1x2＝－2，
|AB|＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2＝ 1＋k2 4k2＋8＝2 6，所以 k4
＋3k2－4＝0，而 k2≥0，
所以 k2＝1，所以 k＝±1.
20．(12分)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在抛物线 y＝2x2上，l是
AB的垂直平分线．
(1)当且仅当 x1＋x2取何值时，直线 l经过抛物线的焦点 F？证明
你的结论．
(2)当直线 l的斜率为 2时，求 l在 y轴上的截距的取值范围．
解：(1)x1＋x2＝0，证明：点 F在直线 l上⇒|FA|＝|FB|⇒A，B两
点到抛物线的准线的距离相等，
∵抛物线的准线是 x轴的平行线，∴上述条件等价于 y1＝y2⇒x21＝
x22⇒(x1＋x2)(x1－x2)＝0，
∵x1≠x2，∴当且仅当 x1＋x2＝0 时，直线 l经过抛物线的焦点
F.
(2)设 l在 y轴上的截距为 b，依题意，得 l的方程为 y＝2x＋b.
则过点 A， B 的直线方程可写为 y＝－
1
2
x＋ m，联立
y＝2x2，
y＝－
1
2
x＋m， 化简得 2x2＋1
2
x－m＝0，∴x1＋x2＝－
1
4
.
∵A，B为抛物线上不同的两点，∴上述方程的判别式Δ＝1
4
＋
8m>0，即 m>－ 1
32
.
设 AB的中点 N的坐标为(x0，y0)，则 x0＝－
1
8
，y0＝－
1
2
x0＋m＝ 1
16
＋m.
又点 N在直线 l上，∴
1
16
＋m＝－
1
4
＋b，于是 b＝ 5
16
＋m> 5
16
－
1
32
＝
9
32
，
∴l在 y轴上的截距的取值范围为
9
32
，＋∞
.
21．(12分)设椭圆 C：x
2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，
F2，上顶点为 A，过点 A与 AF2垂直的直线交 x轴负半轴于点 Q，且
2F1F2→ ＋F2Q→ ＝0，过 A，Q，F2三点的圆的半径为 2.过定点 M(0,2)的
直线 l与椭圆 C交于 G，H两点(点 G在点M，H之间)．
(1)求椭圆 C的方程；
(2)设直线 l的斜率 k>0，在 x轴上是否存在点 P(m,0)，使得以 PG，
PH为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出 m的取值范围，如
果不存在，请说明理由．
解：(1)因为 2F1F2→ ＋F2Q→ ＝0，所以 F1为 F2Q中点．
设 Q的坐标为(－3c,0)，因为 AQ⊥AF2，所以 b2＝3c×c＝3c2，
a2＝4c×c＝4c2，
且过 A，Q，F2三点的圆的圆心为 F1(－c,0)，半径为 2c，所以 c
＝1.
所以 a＝2.b＝ 3.
故所求椭圆方程为
x2
4
＋
y2
3
＝1.
(2)存在．设直线 l的方程为 y＝kx＋2(k>0)，与椭圆方程联立，
消去 y可得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0.
设点 G(x1，y1)，H(x2，y2)，则 x1＋x2＝－
16k
3＋4k2
.
所以PG→＋PH→＝(x1－m，y1)＋(x2－m，y2)＝(x1＋x2－2m，y1＋y2)
＝(x1＋x2－2m，k(x1＋x2)＋4)．
又GH→＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1，k(x2－x1))，
由于菱形对角线互相垂直，则(PG→＋PH→ )·GH→＝0，所以(x2－x1)[(x1
＋x2)－2m]＋k(x2－x1)[k(x1＋x2)＋4]＝0.
故(x2－x1)[(x1＋x2)－2m＋k2(x1＋x2)＋4k]＝0.
因为 k>0，所以 x2－x1≠0.
所以(x1＋x2)－2m＋k2(x1＋x2)＋4k＝0，即(1＋k2)(x1＋x2)＋4k－2m
＝0，
所以(1＋k2)
－
16k
3＋4k2 ＋4k－2m＝0，解得 m＝－
2k
3＋4k2
，即 m＝
－
2
3
k
＋4k
.
由Δ>0，且 k>0，可得 k>1
2
.
因为 k>1
2
，可以使
3
k
＝4k，所以－
3
6
≤m<0.
故存在满足题意的点 P且 m的取值范围是
－
3
6
，0
.
22．(12分)已知两定点 E(－2,0)，F(2,0)，动点 P满足PE→ ·PF→＝0，
由点 P向 x轴作垂线段 PQ，垂足为 Q，点 M满足PM→＝MQ→ ，点 M
的轨迹为 C.
(1)求曲线 C的方程；
(2)过点 D(0，－2)作直线 l与 C交于 A，B两点，点 N满足ON→＝
OA→＋OB→ (O为原点)，求四边形 OANB面积的最大值，并求此时的直
线 l的方程．
解：(1)因为动点 P满足PE→ ·PF→＝0，所以点 P的轨迹是以 EF为
直径的圆，
所以动点 P的轨迹方程为 x2＋y2＝4.
设M(x，y)是曲线 C上任一点，
因为 PQ⊥x轴，PM→＝MQ→ ，所以点 P的坐标为(x,2y)，
因为点 P在圆 x2＋y2＝4上，所以 x2＋(2y)2＝4，
所以曲线 C的方程是
x2
4
＋y2＝1.
(2)因为ON→＝OA→＋OB→，所以四边形 OANB为平行四边形，
当直线 l的斜率不存在时显然不符合题意；
当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 y＝kx－2，l与椭圆交
于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由
y＝kx－2，
x2
4
＋y2＝1 得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，
由Δ＝162k2－48(1＋4k2)>0，得 k2>3
4
，所以 x1＋x2＝
16k
1＋4k2
，x1x2
＝
12
1＋4k2
，
因为 S△OAB＝
1
2
|OD||x1－x2|＝|x1－x2|，
所 以 S ▱ OANB ＝ 2S △ OAB ＝ 2|x1 － x2| ＝ 2 x1＋x22－4x1x2 ＝
2
16k
1＋4k2 2－
4×12
1＋4k2
＝2 162k2－481＋4k2
1＋4k22
＝8 4k2－3
1＋4k22
，
令 4k2－3＝t，则 4k2＝t＋3(由上可知 t>0)，
S▱OANB＝8 t
t＋42
＝8
1
8＋t＋16
t
≤8 1
16
＝2，
当且仅当 t＝4，即 k2＝7
4
时取等号；所以当 k＝± 7
2
，平行四边形
OANB面积的最大值为 2，
此时直线 l的方程为 y＝± 7
2
x－2.
