【数学】2019届高考一轮复习北师大版理7-4基本不等式学案

【数学】2019届高考一轮复习北师大版理7-4基本不等式学案

第4讲　基本不等式 ‎1．基本不等式：≤ ‎(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.‎ ‎(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．‎ ‎(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．‎ ‎2．几个重要的不等式 ‎(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．‎ ‎(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．‎ ‎(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．‎ ‎(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．‎ ‎3．利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 ‎(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小)‎ ‎(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)‎ ‎(2)ab≤成立的条件是ab>0.(　　)‎ ‎(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　　)‎ ‎(4)若a>0，则a3＋的最小值是2.(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎ (教材习题改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)‎ A．80　　　 B．77‎ C．81 D．82‎ 解析：选C.xy≤＝＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故选C.‎ ‎ 若x<0，则x＋(　　)‎ A．有最小值，且最小值为2‎ B．有最大值，且最大值为2‎ C．有最小值，且最小值为－2‎ D．有最大值，且最大值为－2‎ 解析：选D.因为x<0，所以－x>0，－x＋≥2＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2.‎ ‎ 若x>1，则x＋的最小值为________．‎ 解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.‎ 当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．‎ 答案：5‎ ‎ (教材习题改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．‎ 解析：设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋y＝10，‎ 所以S＝xy≤＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号．‎ 答案：25 m2‎ ‎　　　　　　利用基本不等式求最值(高频考点) ‎ 利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度：‎ ‎(1)求不含等式条件的函数最值；‎ ‎(2)求含有等式条件的函数最值；‎ ‎(3)已知不等式恒成立求参数范围．‎ ‎ [典例引领]‎ 角度一　求不含等式条件的函数最值 ‎ (1)函数f(x)＝(x>0)的最大值为________．‎ ‎(2)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．‎ ‎【解析】　(1)因为x>0，则f(x)＝＝≤＝，当且仅当x＝时等号成立．‎ ‎(2)因为x<，所以5－4x>0，‎ 则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.‎ 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．‎ 故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.‎ ‎【答案】　(1)　(2)1‎ 角度二　求含有等式条件的函数最值 ‎ (1)(2017·高考山东卷)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为________．‎ ‎(2)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值为________．‎ ‎【解析】　(1)由题设可得＋＝1，因为a>0，b>0，‎ 所以2a＋b＝(2a＋b)＝2＋＋＋2≥4＋2＝8.‎ 故2a＋b的最小值为8.‎ ‎(2)因为x>0，y>0，‎ 所以8＝x＋2y＋x·2y≤(x＋2y)＋，‎ 令x＋2y＝t，则 ‎8≤t＋，即t2＋4t－32≥0，‎ 解得t≥4或t≤－8，‎ 即x＋2y≥4或x＋2y≤－8(舍去)，‎ 当且仅当x＝2y，即x＝2，y＝1时等号成立．‎ ‎【答案】　(1)8　(2)4‎ 角度三　已知不等式恒成立求参数范围 ‎ 已知不等式(x＋y)≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a 的最小值为________．‎ ‎【解析】　(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2(x，y，a>0)，‎ 当且仅当y＝x时取等号，‎ 所以(x＋y)·的最小值为(＋1)2，‎ 于是(＋1)2≥9恒成立．‎ 所以a≥4.‎ ‎【答案】　4‎ 利用基本不等式求最值的方法 ‎(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．‎ ‎(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．‎ ‎(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．(2018·石家庄市教学质量检测(一))已知直线l：ax＋by－ab＝0(a>0，b>0)经过点(2，3)，则a＋b的最小值为________．‎ 解析：因为直线l经过点(2，3)，所以2a＋3b－ab＝0，‎ 则＋＝1，‎ 所以a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2.‎ 当且仅当＝，‎ 即a＝3＋，b＝2＋时等号成立．‎ 答案：5＋2 ‎2．(2017·高考天津卷)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．‎ 解析：因为ab＞0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当时取等号，故的最小值是4.‎ 答案：4‎ ‎3．当x∈R时，32x－(k＋1)3x＋2>0恒成立，则k的取值范围是________．‎ 解析：由32x－(k＋1)·3x＋2>0，解得k＋1<3x＋.‎ 因为3x＋≥2 )，‎ 所以3x＋的最小值为2.‎ 又当x∈R时，32x－(k＋1)3x＋2>0恒成立，‎ 所以当x∈R时，k＋1<，‎ 即k＋1<2，即k<2－1.‎ 答案：(－∞，2－1)‎ ‎　　　　　　利用基本不等式解决实际问题 ‎ [典例引领]‎ ‎ 某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．‎ ‎(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？‎ ‎(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？‎ ‎【解】　(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－200≥2－200＝200，‎ 当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．‎ ‎(2)不获利．设该单位每月获利为S元，则S＝100x－y＝100x－＝－x2＋300x－80 000＝－(x－300)2－35 000，因为x∈[400，600]，所以S∈[－80 000，－40 000]．‎ 故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．‎ ‎(1)利用基本不等式求解实际问题的注意事项 ‎①根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值．‎ ‎②设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．‎ ‎③解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．‎ ‎④在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．‎ ‎(2)此类问题还常与一元二次函数(如本例(2))、一元二次不等式结合命题，求解关键是构建函数与不等关系，在实际条件下解决．　 ‎ ‎ 某公司生产的商品A，当每件售价为5元时，年销售10万件．‎ ‎(1)据市场调查，若价格每提高1元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多可提高多少元？‎ ‎(2)为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x元，公司拟投入(x2＋x)万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时，才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？‎ 解：(1)设商品的销售价格提高a元，‎ 则(10－a)(5＋a)≥50，解得0≤a≤5.‎ 所以商品的价格最多可以提高5元．‎ ‎(2)由题意知，技术革新后的销售收入为mx万元，‎ 若技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和，只需满足mx＝(x2＋x)＋＋50(x>5)即可，‎ 此时m＝x＋＋≥2＋＝，‎ 当且仅当x＝，即x＝10时，取“＝”．‎ 故销售量至少应达到万件，才能使技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和．‎ ‎ 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．‎ ‎ 对于基本不等式，不仅要记住原始形式，‎ 而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤≤，≤≤ (a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．‎ ‎ 对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋(m>0)的单调性．‎ ‎ 易错防范 ‎(1)使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．‎ ‎(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)‎ A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 C.＋> D.＋≥2‎ 解析：选D.因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以A错误．对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．‎ 对于D，因为ab>0，‎ 所以＋≥2 ＝2.‎ ‎2．(2018·安徽省六校联考)若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为(　　)‎ A．1　 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选A.因为正实数x，y满足x＋y＝2，‎ 所以xy≤＝＝1，‎ 所以≥1；‎ 又≥M恒成立，‎ 所以M≤1，即M的最大值为1.‎ ‎3．一段长为L的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积为(　　)‎ A. B. C. D．L2‎ 解析：选A.设菜园的长为x，宽为y，则x＋2y＝L，面积S＝xy，‎ 因为x＋2y≥2.‎ 所以xy≤＝.‎ 当且仅当x＝2y＝，‎ 即x＝，y＝时，‎ Smax＝，故选A.‎ ‎4．(2018·广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．2 解析：选C.因为lg 2x＋lg 8y＝lg 2，所以lg(2x·8y)＝lg 2，‎ 所以2x＋3y＝2，所以x＋3y＝1.‎ 因为x>0，y>0，所以＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝3y＝时取等号．所以＋的最小值为4.故选C.‎ ‎5．不等式x2＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是(　　)‎ A．(－2，0) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)‎ C．(－2，1) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)‎ 解析：选C.根据题意，由于不等式x2＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则x2＋x<‎ ，因为＋≥2 ＝2，当且仅当a＝b时等号成立，所以x2＋x<2，求解此一元二次不等式可知－2－1)的最小值为________．‎ 解析：因为y＝＝x－1＋＝x＋1＋－2，x>－1，‎ 所以y≥2－2＝0，‎ 当且仅当x＝0时，等号成立．‎ 答案：0‎ ‎7．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．‎ 解析：一年购买次，则总运费与总存储费用之和为×6＋4x＝4≥8＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.‎ 答案：30‎ ‎8．已知不等式2x＋m＋>0对一切x∈(1，＋∞)恒成立，则实数m的取值范围是________．‎ 解析：不等式2x＋m＋>0可化为2(x－1)＋>－m－2，‎ 因为x>1，所以2(x－1)＋≥2＝8，‎ 当且仅当x＝3时取等号．‎ 因为不等式2x＋m＋>0对一切x∈(1，＋∞)恒成立，‎ 所以－m－2<8.‎ 解得m>－10.‎ 答案：(－10，＋∞)‎ ‎9．(1)已知00，所以a－1>0，所以＋＝＋＝＋≥2＝2，当且仅当＝和＋＝1同时成立，即a＝b＝3时等号成立，所以＋的最小值为2，故选A.‎ ‎2．已知x>0，y>0，2x＋y＝1，若4x2＋y2＋－m<0恒成立，则m的取值范围是(　　)‎ A．(－1，0)∪ B. C. D. 解析：选B.4x2＋y2＋－m<0恒成立，即m>4x2＋y2＋恒成立．因为x>0，y>0，2x＋y＝1，所以1＝2x＋y≥2，所以0<≤(当且仅当2x＝y＝时，等号成立)．因为4x2＋y2＋＝(2x＋y)2－4xy＋＝1－4xy＋＝－4＋，所以4x2＋y2＋的最大值为，故m>，选B.‎ ‎3．若a2－ab＋b2＝1，a，b是实数，则a＋b的最大值是________．‎ 解析：由a2－ab＋b2＝1，‎ 可得(a＋b)2＝1＋3ab≤1＋3×，‎ 则(a＋b)2≤1，－2≤a＋b≤2，所以a＋b的最大值是2.‎ 答案：2‎ ‎4．若对x，y∈[1，2]，xy＝2，总有不等式2－x≥成立，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：由题意知a≤(2－x)(4－y)恒成立，则只需a≤[(2－x)(4－y)]min，‎ ‎(2－x)(4－y)＝8－4x－2y＋xy ‎＝8－(4x＋2y)＋2＝10－(4x＋2y)‎ ‎＝10－.‎ 令f(x)＝10－，x∈[1，2]，‎ 则f′(x)＝－＝，f′(x)≤0，‎ 故f(x)在x∈[1，2]是减函数，‎ 所以当x＝2时f(x)取最小值0，‎ 即(2－x)(4－y)的最小值为0，所以a≤0.‎ 答案：a≤0‎ ‎5．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求 ‎(1)xy的最小值；‎ ‎(2)x＋y的最小值．‎ 解：(1)由2x＋8y－xy＝0，‎ 得＋＝1，‎ 又x>0，y>0，则1＝＋≥2 ＝.‎ 得xy≥64，‎ 当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．‎ 所以xy的最小值为64.‎ ‎(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，‎ 则x＋y＝·(x＋y)‎ ‎＝10＋＋≥10＋2 ＝18.‎ 当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，‎ 所以x＋y的最小值为18.‎ ‎6.如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．‎ ‎(1)若围墙AP，AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？‎ ‎(2)已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？‎ 解：设AP＝x米，AQ＝y米．‎ ‎(1)则x＋y＝200，△APQ的面积S＝xy·sin 120°＝xy.所以S≤＝2 500.‎ 当且仅当即x＝y＝100时取“＝”．‎ 即AP与AQ的长度都为100米时，可使得三角形地块APQ的面积最大．‎ ‎(2)由题意得100×(x＋1.5y)＝20 000，即x＋1.5y＝200.要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ最短，所以PQ2＝x2＋y2－2xycos 120°＝x2＋y2＋xy＝(200－1.5y)2＋y2＋(200－1.5y)y＝1.75y2－400y＋40 000＝1.75＋，当y＝时，PQ有最小值，此时x＝.‎ 即AP长为米，AQ长为米时，可使竹篱笆用料最省．‎