高中数学黄金100题系列第73题椭圆中的基本问题文

高中数学黄金100题系列第73题椭圆中的基本问题文

第 73 题 椭圆中的基本问题 I．题源探究·黄金母题 【例 1】如图，圆O 的半径为 r ，A 是圆O 内的一个定点，P 是圆上任意一点．线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 OP 相交于 点Q ，当点 P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么？为什么？ 【解析】连接QA ，由于线段 AP 的垂直平分线l 和半径 OP 相 交于点Q ，则 QAQP  ，则 rQOQPQOQA  ， 由于 A 为圆内一点，则 rOA  ，根据椭圆定义，点 Q 的轨 迹是以 A、O 为焦点的椭圆． 精彩解读 【试题来源】人教版 A 版选修 1-1P42 习题 2．1A 组 T7． 【母题评析】定义法是求轨迹的一种方法， 本题动点 Q 满足到两个定点距离之和是一 个常数（大于两定点距离），符合椭圆定义， 可以利用定义法求出动点Q 的轨迹．同理， 符合圆、双曲线、抛物线的定义也是如此．利 用定义不仅可以求轨迹，也可以解决很多相 关问题，如求曲线方程、求离心率等，因此 在解决圆锥曲线问题时要时刻牢记“勿忘定 义” 【思路方法】根据题意找出动点是否符合圆 锥曲线的定义，如圆的定义，椭圆、双曲线、 抛物线的定义，考虑问题注意运用线段的垂 直平分线性质，两圆内切、外切的条件等． II．考场精彩·真题回放 【例 1】【2017 高考浙江卷】椭圆 2 2 19 4 x y  的离心率是（ ） A． 13 3 B． 5 3 C． 2 3 D． 5 9 【答案】B 【解析】 9 4 5 3 3e   ，故选 B． 【 例 2 】 【 2017 新 课 标 III 】 已 知 椭 圆 C ：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线 【命题意图】这类题主要考查椭圆的定义、 标准方程及其简单几何性质等． 【考试方向】高考对这部分的考查主要集中 在以下几个方面：（1）根据椭圆的定义求 椭圆的标准方程（选择、填空，解答题第一 问，常与椭圆性质、其它圆锥曲线和直线等 综合考察）；（2）椭圆性质的初步运用（选 择、填空、解答题第一问）；（3）求椭圆 中距离、周长或者面积等；（4）求直线与 椭圆相交时弦长、中点轨迹（解答题第二 问）；（5）确定椭圆中的弦长、式子的定 值问题，确定与椭圆有关的曲线经过的定点 段 A1A2 为直径的圆与直线 2 0bx ay ab   相切，则 C 的离心 率为 （ ） A． 6 3 B． 3 3 C． 2 3 D． 1 3 【答案】A 【解析】以线段 1 2A A 为直径的圆的圆心为坐标原点 0,0 ， 半 径 为 r a ， 圆 的 方 程 为 2 2 2x y a  ， 直 线 2 0bx ay ab   与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半 径 ， 即 ： 2 2 2abd a a b    ， 整 理 可 得 2 23a b ， 即  2 2 2 2 23 ,2 3a a c a c   ，从而 2 2 2 2 3 ce a   ，椭圆的离 心率 2 6 3 3 ce a    ，故选 A． 问题（解答题第二问）；（6）求椭圆中的 弦长（或其它量）的最 值或者范围（解答题 第二问）． 【难点中心】 1．利用定义解题，是数学常见题，灵活应 用定义，一方面考查对定义的理解，另一方 面体现在灵活应用的“活”字上，利用定义 解题的题型很多，涉及求离心率，求轨迹， 求焦三角形的周长、面积等． 2．解决椭圆的离心率的求值及范围问题， 其关键就是确立一个关于 cba ,, 的方程或不 等式，再根据 cba ,, 的关系消掉 b 得到 ca, 的关系式，建立关于 cba ,, 的方程或不等式， 要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的 坐标的范围等． 【例 3】【2016 高考新课标 II】已知 1F ， 2F 是双曲线 E： 2 2 2 2 1x y a b   的左，右焦点，点 M 在 E 上， 1MF 与 x 轴垂直， 2 1 1sin 3MF F  ，则 E 的离心率为 （ ） A. 2 B． 2 3 C． 3 D．2 【解析】离心率 1 2 2 1 2 2 F Fc ce a a MF MF     ， 1 2 2 1 1 2 190 sin 33MF F MF F MF x MF x      , , ,Q ， 1 2 2 22 2 , 3 xF F x e x x     ，故选 A． 【例 4】【2017 高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系 xOy 中， 椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yE a b a b     的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，离 心率为 1 2 ，两准线之间的距离为 8．点 P 在椭圆 E 上，且位 3．涉及直线与椭圆的位置关系的问题，只 要联立直线与椭圆的方程，借助根与系数关 系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关 系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定 要把结果及时求出来，可能需要整体代换到 后面的计算中去，从而减少计算量．等于“中 点弦问题”，可以利用“点差法”处理． 于第一象限，过点 1F 作直线 1PF 的垂线 1l ，过点 2F 作直线 2PF 的垂线 2l ． （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）若直线 1 2,l l 的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标． F1 O F2 x y (第 17 题) 【答案】（1） 2 2 14 3 x y  ；（2） 4 7 3 7( , )7 7 ． 【解析】（1）设椭圆的半焦距为 c ．∵椭圆 E 的离心率为 1 2 ， ∴ 1 2 c a  ①．∵两准线之间的距离为 8，∴ 22 8a c  ②．联立 ①②得 2, 1a c  ，∴ 3b  ，故椭圆 E 的标准方程为 2 2 14 3 x y  ． （2）解法一：由（1）知    1 21, 0 , 1, 0F F ． 从而直线 1l 的方程： 0 0 1( 1)xy xy    ① 直线 2l 的方程： 0 0 1( 1)xy xy    ② 由①②，解得 2 0 0 0 1, xx x y y    ，∴ 2 0 0 0 1( , )xQ x y  ． ∵点 Q 在椭圆上，由对称性，得 2 0 0 0 1 x yy    ，即 2 2 0 0 1x y  或 2 2 0 0 1x y  ． 因此点 P 的坐标为 4 7 3 7( , )7 7 ． 解 法 二 ： 设 0 0( , )P x y ， 则 0 00, 0x y  ， 由 题 意 得 0 0 0 0 1( 1) 1( 1) xy xy xy xy         ，整理得 0 2 0 0 1 x x xy y      ，∵点 0 0( , )P x y 在 椭 圆 E 上 ， ∴ 2 2 0 0 14 3 x y  ， ∴ 2 2 2 0 0 2 0 (1 ) 3 3 y x y  ， ∴ 2 2 0 0 16 9,7 7x y  ，故点 P 的坐标是 4 7 3 7,7 7       ． 解法三（参数方程）：设  2cos , 3sin 0 , 2P           ， 则 1 2 3sin 3sin, ,2cos 1 2cos 1PF PFk k       直线 1 2,l l 方程分别 为    2cos 1 2cos 11 , 1 3sin 3sin y x y x           ．联立解 得 21 4cos2cos , , 3sin Q        又 Q 在 椭 圆 上 ，   22 22cos 1 4cos 1 14 3 3sin           ， 整 理 得 4 27cos 10cos 8 0 ,      2 2 2 47cos 4 cos 2 0 , cos 7         ． 又 2 2 210 , , cos , sin ,2 7 7           点 P 的坐标是 4 7 3 7,7 7       ． 解法四（秒杀技）：由已知得 1 2 90QF P QF P     ，故 这四个点共圆．若 1 2, , ,P F Q F 四点共圆，则圆以 1 2F F 为直 径，方程为 2 2 1x y  ，但它与椭圆 2 2 14 3 x y  无交点，故 应该是 1 2, , ,P Q F F 四点共圆（即在以 PQ 为直径的圆上）， 从而 ,P Q 关于 y 轴对称．设   0 0 0 0, 0 , 0P x y x y  ， 则  0 0,Q x y ，且 ,P Q 是圆  22 2 0 0x y y x   与椭圆 2 2 14 3 x y  的 交 点 ， 又 1 2,F F 在 此 圆 上 ，  2 2 0 0 2 2 0 0 1 0 , 1,4 3 y x x y       解得 0 0 4 7 ,7 3 7 .7 x y     （注意 0 00 , 0x y  ）． III．理论基础·解题原理 考点 1 椭圆的定义 椭圆的概念 （1）文字形式：在平面内到两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这 两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距． （2）代数式形式：集合 1 2 1 2P={M||MF|+|MF |=2a |FF |=2c. ①若 a c ，则集合 P 为椭圆； ②若 a c ，则集合 P 为线段； ③若 a c ，则集合 P 为空集． 考点 2 椭圆的标准方程 1．椭圆的标准方程： （1）焦点在 x 轴，   2 2 2 2 1 0x y a ba b     ； （2）焦点在 y 轴，   2 2 2 2 1 0y x a ba b     ． 2．满足条件： 2 2 22 2 , , 0 , 0 , 0a c a b c a b c      考点 3 椭圆的几何性质 椭圆的标准方程及其几何性质 条件 2 2 22 2 , , 0 , 0 , 0a c a b c a b c      图形 标准方程   2 2 2 2 1 0x y a ba b       2 2 2 2 1 0y x a ba b     范围 x a y b , x b y a , 对称性 曲线关于 ,x y 轴及原点对称 顶点 长轴顶点 0a , ，短轴顶点 0 b, 长轴顶点  0 a, ，轴顶点 0b , 焦点  0c ,  0 c, 焦距 2 2 2 1 2 2 ( )F F c c a b＝ ＝ 离心率    0,1ce a ＝ ，其中 c＝ 2 2a b 通径 过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为 22b a IV．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】 这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度较小，往往以椭圆、抛物线、双曲线为载体， 考查圆锥曲线的定义、性质等基本知识． 椭圆问题借助定义 aPFPF 221  ，结合试题所给其它条件解题，特别是在焦三角形中，经常利用三 角形的边角关系（正弦定理、余弦定理、有时利用勾股定理、面积公式）解题，注意 1 2 1 2,PF PF PF PF  之间的联系，灵活应用定义解题． 椭圆是圆锥曲线中最重要的一类曲线，在高考中出现的次数也最多，主要考查椭圆的定义、性质、方 程，在解答题中多与直线、向量、轨迹等综合出题． 【易错指导】 1．判断两种标准方程的方法为比较标准形式中 x2 与 y2 的分母大小． 2．注意椭圆的范围，在设椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     上点的坐标为 P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在 求与点 P 有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因． 3．学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘： （1）椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在 长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为 a－c)，过焦点垂直于长轴的通径长为 2 222 b be c a   等． （2）设椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     上任意一点 P(x，y)，则当 x＝0 时，|OP|有最小值 b，这时，P 在 短轴端点处；当 x＝a 时，|OP|有最大值 a，这时 P 在长轴端点处． （3）椭圆上任意一点 P(x，y)(y≠0)与两焦点 F1(－c，0)，F2(c，0)构成的△PF1F2 称为焦点三角形， 其周长为 2(a＋c)． （4）椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中 a 是斜边，a2＝b2＋c2． 4．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征． V．举一反三·触类旁通 考向一 椭圆的定义与焦点三角形 【例 1】设 P 是椭圆 2 2 125 5 x y  上一点， 1 2,F F 是椭圆的两个焦点， 1 2 0,PF PF   1 2F PF则 面积是 ________． 【答案】 5 【解析】由椭圆方程可知 5, 25 5 2 5a c    ，即 1 2 2 10PF PF a   ， 1 2 2 4 5F F c  ．因为 1 2 0,PF PF   ，所以 1 2PF PF  ，所以 2 2 2 1 2 1 2 80PF PF F F   ，因为 2 22 1 2 1 2 1 2( ) 2PF PF PF PF PF PF    ，解得 1 2 10PF PF  ．因为 1 2PF PF  ，所以 1 2 1 2 1 52F PFS PF PF   ． 【例 2】(2018 浙江省名校联考)已知 F1，F2 是椭圆x2 4 ＋y2 3 ＝1 的两个焦点，过点 F2 作 x 轴的垂线交椭圆于 A， B 两点，则△F1AB 的周长为________． 【名师点睛】 1．涉及到动点到两定点距离之和为常数的问题，可直接用椭圆定义求解． 2．涉及椭圆上点、焦点构成的三角形问题，往往利用椭圆定义、勾股定理或余弦定理求解． 3．应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点 P(x，y)(y≠0)与两焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) 构成的△PF1F2 称为焦点三角形，其周长为 2(a＋c)． （2）椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中 a 是斜边，a2＝b2＋c2． 【例 3】【2018 江苏扬州模拟】已知椭圆的焦点是 F1、F2，P 是椭圆的一个动点，如果 M 是线段 F1P 的中点， 那么动点 M 的轨迹是________． 【答案】椭圆 【跟踪练习】 1．已知椭圆 C： 2 2 2 2 1x y a b   ( 0)a b  的左、右焦点为 1F 、 2F ，离心率为 3 3 ，过 2F 的直线l 交 C 于 A、 B 两点，若 1AF B 的周长为 4 3 ，则 C 的方程为________． 【答案】 2 2 13 2 x y  2．已知 F1、F2 是椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且PF1 → ⊥PF2 → ．若△PF1F2 的面 积为 9，则 b＝________． 【答案】3 考向二 椭圆的标准方程 【例 4】已知椭圆 C： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左右焦点为 F1，F2 离心率为 3 3 ，过 F2 的直线 l 交C 与 A，B 两点，若△AF1B 的周长为 4 3 ，则 C 的方程为________． 【答案】 2 2 13 2 x y  【解析】由椭圆的定义可得， 1 2 1 22 2 ,AF AF a BF BF a   ， 又因为 1 2 1 2 AF AF BF BF    4 3 ， 所以 4a  4 3 ，解得 a  3 ，又因为 3 3 ce a   ，所以 1c  ， 2 2 2 2b a c   ，所以椭圆方程为 2 2 13 2 x y  ． 【例 5】求满足下列各条件的椭圆的标准方程： （1）长轴是短轴的 3 倍且经过点  3,0A ； （2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3； （3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴 ，且经过两点 P1( 6，1)，P2(－ 3，－ 2)． 【答案】（1） 2 2+y =19 x 或 2 2y + =181 9 x ；（2） 2 2y+ =112 9 x 或 2 2y+ =19 12 x ；(3)x2 9 ＋y2 3 ＝1． （3）设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0 且 m≠n)．∵椭圆经过点 P1，P2，∴点 P1，P2 的坐标适合椭圆方程．则 6m＋n＝1， ① 3m＋2n＝1， ② ①②两式联立，解得 m＝1 9 ， n＝1 3 . ∴所求椭圆方程为x2 9 ＋y2 3 ＝1． 【名师点睛】 1．求椭圆标准方程的方法 求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型， 再定参)． 当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为 2 2 =1x y m n  ( 0 )0m n m n＞ ， ＞ 且 ，可 以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为 2 2 1Ax By＋ ＝ (A＞0，B＞0 且 A≠B)，这种形式在解题中更简便． 2．椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏，要 深刻理解椭圆中的几何量 2 , , , , aa b c e c 等之间的关系，并能熟练地应用． 【温馨提醒】1．用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： （1）作判断：根据条件判断焦点的位置． （2）设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 2 2 1mx ny＋ ＝ ( 0 )0m n m n＞ ， ＞ 且 ． （3）找关系：根据已知条件，建立关于 a b c m n、 、 或 、 的方程组． （4）求解，得方程． 2．（1）方程 2 2 2 2 y+ =1x a b 与 2 2 2 2 y+ = ( >0)x a b   有相同的离心率． （2）与椭圆 2 2 2 2+ =1(a>b>0)x y a b 共焦点的椭圆系方程为 2 2 2 2 2+ =1(a>b>0, 0)x y b ka k b k    ，恰当运用 椭圆系方程，可使运算简便． 【跟踪练习】 1．【湖北省八校 2018 届第一次联考】如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，  5,0F  为C 的左焦点， P 为 C 上一点，满足 OP OF 且 6PF  ，则椭圆C 的方程为（ ） A． 2 2 136 16 x y  B． 2 2 140 15 x y  C． 2 2 149 24 x y  D． 2 2 145 20 x y  【答案】C 考向三 椭圆的几何性质（离心率、通径等） 【例 6】椭圆 )0(12 2 2 2  ba b y a x 上一点 A关于原点的对称点为 B ， F 为其左焦点，若 AF  BF ，设 6 ABF ，则该椭圆的离心率为（ ） A． 2 2 B． 13  C． 3 3 D． 2 31 【解析】取椭圆右焦点 M ，连接 BMAM, ，由椭圆对称性以及 AF  BF 知四边形 AFBM 为矩形， ,2cFMAB  ，则由 6 ABF 得 cAF  ， cAM 3 ，由椭圆定义知 aAMAF 2 ， 3 2c c a  ， 13 e ． 【例 7】【2018 福建厦门模拟】设 1F ， 2F 分别是椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的左、右焦点，过 2F 的直线交 椭圆于 P ， Q 两点，若 1 60F PQ   ， 1PF PQ ，则椭圆的离心率为（ ） A． 1 3 B． 2 3 C． 2 3 3 D． 3 3 【解析】由条件 1PF PQ ，而 0 1 60F PQ  ，∴ 1F PQ 为等边三角形，而周长为 4a，∴等边三角形 的边长为 4 3 a ， 在焦点三角形 1 2PF F 中， 1 4| | 3 aPF  ， 2 2| | 3 aPF  ， 1 2| | 2F F c ， ∴ 2 2 24 2( ) ( ) (2 )3 3 a a c  ，即 2 23a c ，∴ 2 2 2 1 3 ce a   ，∴ 3 3e  ． 【例 8】设 1 2,F F 是双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的两个焦点，P 是 C 上一 点，若 21 6 ,PF PF a  且 1 2PF F 的最小内角为 30 ，则 C 的离心率为___． 【解析】不妨设 1 2PF PF ，则 1 2 1 2 2 6 PF PF a PF PF a      ，所以 1 24 , 2PF a PF a  ，因为 0 1 2 30PF F  ， 所以 1 2 2 3F F a ，所以 2 32 ce a   ． 【跟踪练习】 1．【2018 贵州贵阳高中高三 8 月摸底考试】椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的左顶点为 A ，右焦点为 F ， 过点 F 且垂直于 x 轴的直线交 C 于两点 ,P Q ，若 3cos 5PAQ  ，则椭圆 C 的离心率 e 为( ) A． 1 2 B． 2 2 C． 3 3 D． 2 3 【答案】A 4 2 2 3 44 9 2 3 0c a c a c a    ，据此得到关于离心率的方程： 4 24 9 2 3 0e e e    ，分解因式有：  2 1 31 02 2e e e          ，结合椭圆离心率的取值范围可得椭圆的离心率 1 2e  ，故选 A． 2．【2018 重庆一中 11 月月考】已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左、右焦点分别为 1F ， 2F ， P 是椭 圆上一点， 1 2PF F 是以 1PF 为底边的等腰三角形，若 1 2 0, 3PF F      ，则该椭圆的离心率的取值范围 是（ ） A． 10, 2      B． 10, 3      C． 1 ,12      D． 1 1,3 2      【答案】D 【解析】由题意可得 PF2=F1F2=2c，再由椭圆的定义可得 PF1 =2a-PF2=2a-2c．设∠PF2F1 =  ，则 1, 1 cos3 2         ，△PF1F2 中，由余弦定理可得 cos = 2 2 2 2 2 ac c a c   由-1＜cosθ 可得 3e2+2e-1＞0，e＞ 1 3 ，由 cosθ＜ 1 2 ，可得 2ac＜a2，e= 1 2 c a  ，综上 1 1 3 2e  ，故选 D 3．已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     短轴的端点  0,P b 、  0,Q b ，长轴的一个端点为 M ， AB 为经过 椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若 ,PA PB 的斜率之积等于 1 4  ，则 P 到直线 QM 的距离为 __________． 【答案】 2 5 5 4．【2018 河南师大附中高三 8 月开学考试】椭圆C ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左焦点为 F ，若 F 关于直 线 3 0x y  的对称点 A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为__________． 【答案】 3 1 【解析】设 F为右焦点，则 π, , 3 , 23AF AF AF F AF AF FF AF         ，因此椭圆C 的离心 率为 2c 2 3 12 3 1 FF a AF AF       ． 【方法点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两 种方法： ①求出 a，c，代入公式 ce a  ； ②只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2＝a2－c2 转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不 等式)两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围)． 5．【2018 河南八市重点高中高三第一次测评】已知圆  2 2: 1 8C x y   ，定点  1,0 ,A M 为圆上一动点， 线段 MA 的垂直平分线交线段 MC 于点 N ，设点 N 的轨迹为曲线 E ； （Ⅰ）求曲线 E 的方程； （Ⅱ）若经过  0,2F 的直线 L 交曲线于不同的两点 ,G H ，（点G 在点 F ，H 之间），且满足 3 5FG FH  ， 求直线 L 的方程． 【答案】（Ⅰ） 2 2 1.2 x y  （Ⅱ） 2 2.y x   （Ⅱ）设    1 1 2 2, , , ,G x y H x y 当直线GH 斜率存在时，设直线GH 的斜率为 k 则直线GH 的方程为： 2y kx  ， 2 2 2 {   12 y kx x y      ，整理得： 2 21 4 3 02 k x kx       ， 由 0  ，解得： 2 1 2 1 2 2 2 3 4 3, , .1 12 2 2 kk x x x x k k         ------① 又    1 1 2 2, , 2 , , , 2FG x y FH x y      ， 由 3 5FG FH  ，得 1 2 3 5x x ，结合①得 2 2 2 3 5 6 5 1 2 1 2 k k k       ，即 2 32 2k   ， 解得 2.k   直线 l 的方程为： 2 2y x   ， 当直线GH 斜率不存在时，直线l 的方程为 10, 3x FG FH   与 3 5FG FH  矛盾． 直线 l 的方程为： 2 2.y x   6．【2018 湖南岳阳一中高三上学期第一次月考】已知点 P 是直线 : 2l y x  与椭圆   2 2 2 1 1x y aa    的 一个公共点， 1 2,F F 分别为该椭圆的左右焦点，设 1 2PF PF 取得最小值时椭圆为C ． （1）求椭圆C 的标准方程及离心率； （2）已知 ,A B 为椭圆C 上关于 y 轴对称的两点， Q 是椭圆C 上异于 ,A B 的任意一点，直线 ,QA QB 分别 与 y 轴交于点    0, , 0,M m N n ，试判断 mn 是否为定值；如果为定值，求出该定值；如果不是，请说明 理由． 【答案】(1) 2 2 13 x y  ；（2）1 ． （2）设      1 1 2 1 0 0, , , , ,A x y B x y Q x y ，且    0, , 0,M m N n ， 【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程方程、圆锥曲线的定值问题，属于难题．探索圆 锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变 量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 7．【2018 黑龙江大庆实验中学高三上学期期初考试】已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的右焦点 3,0 ， 且经过点 31, 2      ，点 M 是 x 轴上的一点，过点 M 的直线l 与椭圆C 交于 ,A B 两点（点 A 在 x 轴的上方） （1）求椭圆C 的方程； （2）若 2AM MB ，且直线l 与圆 2 2 4: 7O x y  相切于点 N ，求 MN 的长． 【答案】（1） 2 2 14 x y  （2） 4 21 21 2AM MB ， 有 1 22y y  ， 联 立 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程 ， 利 用 韦 达 定 理 得 2 1 2 1 22 2 2 4,4 4 tm my y y yt t      ，，三者消 1 2y y， 得 22 2 2 4 2, 24 4 m tm t t         ，最后关于 ,m t 的解方程组 得 2 4 3m  ， 2 4 3t  ，根据切线长公式可得 MN 的长． 试题解析：（1）由题意知   2 2 2 2 2 2 3 3{ 21 14 a b c b          ，即  24 4 3 0a a   ， 又 2 23 3a b   ，故 2 24, 1a b  ， 椭圆 C 的方程为 2 2 14 x y  ． （2）设  ,0M m ，直线    1 1 2 2: , , , ,l x ty m A x y B x y  ， 由 2AM MB ，有 1 22y y  ， 由   2 2 2 2 21{ 4 2 4 04 x y t y my m x yy m           ， 由韦达定理得 2 1 2 1 22 2 2 4,4 4 tm my y y yt t      ， 由 2 1 2 2 1 2 2 2 22 , 2y y y y y y y y        ，则    2 2 1 2 1 2 1 22y y y y y y         ， 22 2 2 4 2, 24 4 m tm t t         ，化简得   2 2 2 24 4 8m t t m    ，原点O 到直线的距离 21 md t   ， 考向四 直线与椭圆位置关系 【例 9】【2018 黑龙江省齐齐哈尔模拟】已知椭圆 2 2: 12 xC y  ，过椭圆C 的左焦点 F 的直线l 交椭圆C 于 A B、 两点，其中点 B 是椭圆的上顶点，椭圆C 的左顶点为 D ，直线 AD BD、 分别与直线 : 2 2m x    相交于 M N、 两点．则 ABD MND S S    （ ） A． 1 2 B． 1 1 22 3  C． 2 2 D． 1 3 【答案】B 【跟踪练习】 1．【2018 南京市联考】已知椭圆： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的右焦点为 F ，过 F 作直线l （不过原点O ） 交椭圆于 ,A B 两点，若 ,A B 的中点为 M ，直线 OM 交椭圆的右准线于 N （1）若直线l 垂直 X 轴时， AB MN ，求椭圆的离心率 e ； （2）若椭圆的离心率 1 2e  ，当直线l 斜率存在时设为 1k ，直线 NF 的斜率设为 2k ，试求 1 2k k 的值． 2．【2018 四川成都一诊】已知    0 0,0 , 0,A x B y 两点分别在 x 轴和 y 轴上运动，且 1AB  ，若动点  ,P x y 满足 2 3 .OP OA OB    （1）求出动点 P 的轨迹对应曲线C 的标准方程； （2）直线 : 1l x ty  与曲线C 交于 A B、 两点，  1,0E  ，试问：当t 变化时，是否存在一直线l ，使 ABE 得面积为 2 3 ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． （2）由方程组 2 2 1 {   14 3 x ty x y     得  2 23 4 6 9 0 *t y ty   （ ） 设    1 1 2 2, , , ,A x y B x y 则 1 2 1 22 2 6 9, 03 4 3 4 ty y y yt t        所以 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 6 9 12 1| | ( ) 4 43 4 3 4 3 4 t ty y y y y y t t t                     因为直线 1x ty  过点  1,0F ，所以 ABE 的面积 2 2 1 2 2 2 1 1 12 1 12 1| | 22 2 3 4 3 4ABE t tS EF y y t t         ，令 2 2 12 1 2 33 4 t t   则 2 2 3t   不成立，不存在直 线l 满足题意． 考向五 与椭圆有关的最值、取值范围问题 【例 10】设 F1，F2 分别是椭圆x2 25 ＋y2 16 ＝1 的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点 M 的坐标为(6，4)，则 |PM|＋|PF1|的最大值为________． 【跟踪练习】 1．【2018 浙江名校协作体模拟】设 ,A B 是椭圆 2 2 : 14 x yC k   长轴的两个端点，若 C 上存在点 P 满足 120APB   ，则 k 的取值范围是（ ） A．  , ,40 12 +3       B．  ,20, 6 +3       C．  , ,20 12 +3       D．  ,40, 6 +3       【答案】A 2．已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左，右焦点为 1 2,F F ，离心率为 e ．P 是椭圆上一点，满足 2 1 2PF F F ， 点 Q 在线段 1PF 上，且 1 2FQ QP  ．若 1 2 0F P F Q   ，则 2e  （ ） A． 2 1 B． 2- 2 C． 2- 3 D． 5 2 【答案】C 3．已知   ,0 0A a a  ，M(x0 ，y0)是椭圆 C：x2 2 +y2＝1 上的一点，则 AM 的最小值  g a = ． 【答案】 2 21 ,0 2 22 , 2 a a a a        【注意问题】因为 0 2x  ，所以当 20 2a  时，   21g a a  ，当 2 2a  时，    2 21 2 2 1 22g a a a a      ． 4．【2018 安徽合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会高三上学期第一次联考】已知点 M 是圆心为 E 的 圆 2 23 16x y   上的动点，点  3,0F ，线段 MF 的垂直平分线交 EM 于点 P ． （1）求动点 P 的轨迹C 的方程； （2）矩形 ABCD 的边所在直线与曲线C 均相切，设矩形 ABCD 的面积为 S ，求 S 的取值范围． 【答案】(1) 2 2 14 x y  ；(2) 8 10S  ． 试题解析： （1)依题 PM PF ， 所以 4PE PF PE PM ME     (为定值)， 2 3,4 2 3EF   所以点 P 的轨迹是以 ,E F 为焦点的椭圆，其中 2 4,2 2 3a c  ， 所以 P 点轨迹C 的方程是 2 2 14 x y  2 2 2 2 2 1 1 1 1 1{   2 1 04 4 x y k x k mx m y k x m             ， 因为直线 AB 与椭圆相切，所以 2 2 14 1 0k m     ，所以 2 14 1m k  ，同理 2 24 1n k  ， 所以     2 2 2 22 2 1 2 1 21 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 4 16 4 14 4 1 4 1 1 1 1 k k k kk kS k k k k k k               2 2 1 2 2 2 1 2 4 17 4 2 k k k k       2 2 21 2 1 2 2 9 94 4 4 4 2 12k k k k               ， 2 1 2 1 1 2k k   (当且仅当 1 1k   时，不等式取等号）， 所以 94 4 4 42 2S    ，即8 10S  ， 由①②可知， 8 10S  ． 5．【2018 安徽合肥高三调研性检测】已知 M 为椭圆 2 2 : 125 9 x yC   上的动点，过点 M 作 x 轴的垂线段 MD ， D 为垂足，点 P 满足 5 3PD MD  ． （Ⅰ）求动点 P 的轨迹 E 的方程； （Ⅱ）若 ,A B 两点分别为椭圆C 的左右顶点， F 为椭圆C 的左焦点，直线 PB 与椭圆C 交于点 Q ，直线 ,QF PA 的斜率分别为 ,QF PAk k ，求 QF PA k k 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）动点 P 的轨迹 E 的方程为  2 2 25 0x y y   （Ⅱ） QF PA k k    2,0 ,5       求出 0 9 1125 4 QF PA k k x      ，进而借助 05 5x   且 0 4x   ，及 0 1 4x  在 5, 4  和 4,5 都是单调减 函数，求出 0 9 1125 4x     的范围为  2,0 ,5       ： 解：（Ⅰ）设    , , ,P x y M m n 依题意  ,0D m ，且 0y  ， ∵ 5 3PD MD  ，即   5, 0,3m x y n   ， 则有 0 {   {  5 3 3 5 m x m x y n n y         ． 又∵  ,M m n 为椭圆 2 2 : 125 9 x yC   上的点， 可得 2 2 3 5 125 9 yx       ，即 2 2 25x y  ， 即动点 P 的轨迹 E 的方程为  2 2 25 0x y y   ． 6．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率为 2 2 ，直线 l：y＝2 上 的点和椭圆 上的点的距离的最小值为1． (Ⅰ) 求椭圆 的方程； (Ⅱ) 已知椭圆 的上顶点为 A，点 B，C 是 上的不同于 A 的两点，且点 B，C 关于原点对称，直线 AB，AC 分别交直线 l 于点 E，F．记直线 AC 与 AB 的斜率 分别为 1k ， 2k ． ① 求证： 1 2k k 为定值； ② 求△CEF 的面积的最小值． 证法二：直线 AC 的方程为 1 1y k x  ， 由 2 2 1 1{ 2 1 x y y k x     ， ， 得 2 2 1 11 2 4 0k x k x   ， 解得 1 2 1 4 2 1C kx k    ，同理 2 2 2 4 2 1B kx k    ，因为 B，O，C 三点共线，则由 1 2 2 2 1 2 4 4 02 1 2 1C B k kx x k k       ， 整理得  1 2 1 22 1 0k k k k   ，所以 1 2 1 2k k   ． ②直线 AC 的方程为 1 1y k x  ，直线 AB 的方程为 2 1y k x  ，不妨设 1 0k  ，则 2 0k  ， 令 y＝2，得 2 1 1 1,2 ,2E Fk k             ， ，而 2 2 1 1 1 2 2 1 1 4 2 11 12 1 2 1C C k ky k x k k         ， 所以，△CEF 的面积  1 22CEF CS EF y     2 1 2 1 2 1 2 11 1 1 22 2 1 k k k k          2 2 1 1 2 1 2 1 6 11 2 2 1 k k k k k k      ． 由 1 2 1 2k k   得 2 1 1 2k k   ，则 CEFS 2 2 1 1 12 1 1 1 2 1 6 1 13 62 2 1 2 k k kk k k       ，当且仅当 1 6 6k  取得等 号，所以△CEF 的面积的最小值为 6 ． 7．如图，过椭圆C ： 2 2 14 x y  的左右焦点 1 2,F F 分别作直线 1l ， 2l 交椭圆于 ,A B 与 ,C D ，且 1 2/ /l l ． （1）求证：当直线 1l 的斜率 1k 与直线 BC 的斜率 2k 都存在时， 1 2k k 为定值； （2）求四边形 ABCD 面积的最大值． （2）当 1l 的倾斜角为 0 时， 1l 与 2l 重合，舍去．当 1l 的倾斜角不为 0 时，由对称性得四边形 ABCD 为平 行四边形，  1 3,0F  ，设直线 1l 的方程为 3x my  ，代入 2 2 14 x y  ，得  2 24 2 3 1 0m y y    ．显然 0  ， 1 2 2 2 3 4y y m    ， 1 2 2 1 4y y m    ．所以   2 2 1 2 22 2 2 1 3 2 3 1 13 4 2 32 2 4 4 4 OAB m mS y y m m m                    ，设 2 1m t  ，所以 2 1m t  ，  1,t   ．所以   2 2 22 1 1 1 96 9 124 6 m t t tm t t        ．当且仅当 9t t  即 2m   时等 号成立，所以  max 12 3 112OABS    ．所以平行四边形面积的最大值为   max 4 4ABCD OABS S   ． 8．已知点 P 是长轴长为 2 2 的椭圆Q ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     上异于顶点的一个动点， O 为坐标原点， A 为椭圆的右顶点，点 M 为线段 PA 的中点，且直线 PA 与OM 的斜率之积恒为 1 2  ． （1）求椭圆Q 的方程； （2）设过左焦点 1F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于 ,C D 两点，线段 CD 的垂直平分线与 x 轴交于点G ， 点G 横坐标的取值范围是 1 ,04     ，求 CD 的最小值． 设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ， AB 中点  0 0,N x y ，∴  2 2 1 2 1 22 2 4 2 2,1 2 1 2 k kx x x xk k       ． ∴     2 0 1 2 0 02 2 1 2 , 12 1 2 1 2 k kx x x y k xk k         ∴CD 的垂直平分线方程为  0 0 1y y x xk     ，令 0y  ，得 0 0 2 1 1 2 4 2Gx x ky k       ∵ 1 ,04Gx      ，∴ 2 1 1 1 4 2 4 2k      ，∴ 2 10 2k  ．   4 2 2 2 2 2 1 2 16 4 2 1 2 2 1 1 2 1 k k k CD k x x k k            2 1 1 3 22 2 +2 22 2 1k         ， min 3 2| | 2CD  ． 考向六 椭圆中的定点、定值、定直线及存在性问题 【例 11】【2018 辽宁沈阳联考】平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C ： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）的离心率 是 3 2 ，抛物线 E ： 2 2x y 的焦点 F 是 C 的一个顶点． （1）求椭圆C 的方程； （2）设 P 是 E 上动点，且位于第一象限， E 在点 P 处的切线l 与C 交于不同的两点 A ， B ，线段 AB 的 中点为 D ，直线OD 与过 P 且垂 直于 x 轴的直线交于点 M ． （i）求证：点 M 在定直线上； （ii）直线l 与 y 轴交于点G ，记 PFG 的面积为 1S ， PDM 的面积为 2S ，求 1 2 S S 的最大值及取得最大 值时点 P 的坐标．  2 2 3 44 1 4 1 0m x m x m     ，由 0  ，得 0 2 5m   且 3 1 2 2 4 4 1 mx x m    ，因此 3 1 2 0 2 2 2 4 1 x x mx m    ，将其代入 2 2 my mx  得   2 0 22 4 1 my m    ，因为 0 0 1 4 y x m   ，所以直线OD 方 程为 1 4y xm   ．联立方程 1 {  4y xm x m    ，得点 M 的纵坐标为 M 1 4y   ，即点 M 在定直线 1 4y   上 （Ⅱ）由（Ⅰ）知直线l 方程为 2 2 my mx  ，令 0x  得 2 2 my   ，所以 2 0, 2 mG     ， 又 2 1, , 0, ,2 2 mP m F D            3 2 2 2 2 ,4 1 2 4 1 m m m m        ，所以  2 1 1 1 12 4S GF m m m   ，     22 2 0 2 2 11 2 8 4 1 m m S PM m x m       ，所以      2 2 1 222 2 4 1 1 2 1 m mS S m     ， 令 22 1t m  ，则   1 2 2 2 2 1 1 1 1 2t tS S t t t       ，当 1 1 2t  ，即 2t  时， 1 2 S S 取得最大值 9 4 ，此时 2 2m  ，满足 0  ，所以点 P 的坐标为 2 1,2 4       ，因此 1 2 S S 的最大值为 9 4 ，此时点 P 的坐标为 2 1,2 4       【跟踪练习】 1．如图， 1 2,A A 为椭圆 2 2 19 5 x y  长轴的左、右端点， O为坐标原点， , ,S Q T 为椭圆上不同于 1 2,A A 的 三点，直线 1 2, , ,QA QA OS OT 围成一个平行四边形OPQR ，则 2 2OS OT  （ ） A．14 B．12 C．9 D．7 【答案】A 2．【2018 江苏如东期中】已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 2 2 ，其左、右焦点分别为 1 2F F、 ， 点  0 0,P x y 是坐标平面内一点，且 5OP  ， 1 2 16PF PF   （O 为坐标原点）． （1）求椭圆C 的方程； （2）过点  0, 1S  且斜率为 k 的动直线l 交椭圆于 ,A B 两点，在 y 轴上是否存在定点 M ，使以 AB 为直径 的圆恒过该点？若存在，求出点 M 的坐标，若不存在，说明理由． （2）设动直线l 的方程为： 1y kx  ，由 2 2 1 {   118 9 y kx x y     得 2 22 1 4 16 0k x kx    ． 设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，则 1 2 2 4 2 1 kx x k    ， 1 2 2 16 2 1x x k     ．假设在 y 轴上是否存在定点  0,M m ，满足题设，则  1 1,MA x y m  ，  2 2,MB x y m  ．   1 2 1 2MA MB x x y m y m         2 1 2 1 2 1 2x x y y m y y m         2 1 2 1 2 1 21 1 1 1x x kx kx m kx kx m             2 2 1 2 1 21 2 1k x x mk k x x m m           2 2 2 2 16 1 4 2 12 1 2 1 k k mk k m mk k          2 2 2 2 2 18 2 15 2 1 m k m m k       ，由假设得对于任意的 k R ， 0MA MB   恒成立，即 2 2 2 18 0{   2 15 0 m m m      解得 3m  ．因此，在 y 轴上存在定点 M ，使以 AB 为直径的圆恒过该点，点 M 的坐 标为 0,3 ． 3．已知椭圆C ： 2 2 2 2 1( 0)y x a ba b     的上下两个焦点分别为 1F ， 2F ，过点 1F 与 y 轴垂直的直线交椭 圆C 于 M 、 N 两点， 2MNF 的面积为 3 ，椭圆C 的离心力为 3 2 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）已知O 为坐标原点，直线l ： y kx m  与 y 轴交于点 P ，与椭圆 C 交于 A ， B 两个不同的点， 若存在实数  ，使得 4OA OB OP    ，求 m 的取值范围． 且 1 2 2 2 4 kmx x k    ， 2 1 2 2 4 4 mx x k   ，由 3AP PB  ，得 1 23x x  ，即 1 23x x  ，∴  2 1 2 1 23 4 0x x x x   ，∴    22 2 2 22 4 412 044 mk m kk    ，即 2 2 2 2 4 0m k m k    ． 当 2 1m  时， 2 2 2 2 4 0m k m k    不成立，∴ 2 2 2 4 1 mk m   ，∵ 2 2 4 0k m   ，∴ 2 2 2 4 4 01 m mm     ， 即  2 2 2 4 01 m m m   ，∴ 21 4m  ，解得 2 1m    或1 2m  ．综上所述， m 的取值范围为 { | 2 1 0 1 2}m m m m      或 或 ．