高中数学选修2-2课时练习第四章 章末检测

高中数学选修2-2课时练习第四章 章末检测

章末检测 一、选择题 ‎1.2dx＝________.‎ A. B. ‎ C．0 D．1‎ 答案　A 解析　2dx＝dx ‎＝ ‎＝－ ‎＝－＝.‎ ‎2．求由曲线y＝ex与直线x＝2，y＝1围成的图形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为(　　)‎ A．[0，e2] B．[0,2] ‎ C．[1,2] D．[0,1]‎ 答案　B 解析　分别解方程组 可得所以积分区间为[0,2]．‎ ‎3．若(2x－3x2)dx＝0(k＞0)，则k等于(　　)‎ A．2 B．1‎ C. D．以上都不对 答案　B 解析　由题意可得k2－k3＝0，所以k＝1或k＝0(舍去)．‎ ‎4．由直线x＝0，x＝2，曲线y＝ex及x轴所围成图形的面积是(　　)‎ A．e－ B．e－1‎ C．e2－1 D.－e 答案　C 解析　exdx＝ex＝e2－e0＝e2－1.‎ ‎5．由直线y＝x，y＝－x＋1及x轴围成的平面图形的面积为(　　)‎ A.[(1－y)－y]dy B． [(－x＋1)－x]dx C． [(1－y)－y]dy D.[x－(－x＋1)]dx 答案　C 解析　如图所示，若以y为积分变量可知积分区间为，S阴影＝ (1－y)dy－ydy＝ [(1－y)－y]dy.‎ ‎6．作变速直线运动的物体的速度为v(t)，当t＝t1秒时物体的位移为s0，则当t2秒末它的位移为(　　)‎ A.v(t)dt B．s0＋v(t)dt C.v(t)dt－s0 D．s0－v(t)dt 答案　B 解析　物体在t1～t2秒间的位移为定积分v(t)dt，在t2秒末它的位移为s0＋v(t)dt.‎ ‎7．(2014·江西)若f(x)＝x2＋‎2‎f(x)dx，则f(x)dx＝(　　)‎ A．－1 B．－ ‎ C． D．1‎ 答案　B 解析　直接求解定积分，再利用方程思想求解．‎ ‎∵f(x)＝x2＋‎2f(x)dx，∴f(x)dx＝＝＋‎2f(x)dx，‎ ‎∴f(x)dx＝－.‎ ‎8．下列式子中错误的是(　　)‎ A.xdx＜x2dx B．∫0sin xdx＝∫0cos xdx C. exdx＜exdx D.dx＞2xdx 答案　D 解析　＝ln 2，‎ ＝.‎ 因为ln 2＜，‎ 所以dx＜2xdx.‎ ‎9．曲线y＝x2＋2x与直线x＝－1，x＝1及x轴所围成的图形的面积为(　　)‎ A．2 B. ‎ C. D. 答案　A 解析　曲线y＝x2＋2x与直线x＝－1，x＝1及x轴所围成的图形如图所示，‎ S＝(x2＋2x)dx－ (x2＋2x)dx＝－＝＋1－＋1＝2.‎ ‎10.dθ等于(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C. D．4‎ 答案　B 解析　dθ＝dθ＝cos θdθ＋＝(1－0)－(0－1)＝2，故选B.‎ 二、填空题 ‎11．汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是________．‎ 答案　 m 解析　s＝(3t＋2)dt＝＝×4＋4－＝10－＝(m)．‎ ‎12．如图中阴影部分的面积用定积分表示为________．‎ 答案　x2dx ‎13．函数y＝sin x在[0,2π]内的图像与x轴所围成的平面图形的面积是________．‎ 答案　4‎ ‎14．已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若f(x)dx＝‎2f(a)成立，则a＝________.‎ 答案　－1或 解析　f(x)dx＝ (3x2＋2x＋1)dx ‎＝＝4，‎ 所以f(a)＝‎3a2＋‎2a＋1＝2，‎ 解得a＝－1或a＝.‎ 三、解答题 ‎15．利用定积分的几何意义说明下面等式成立．‎ ‎(－x2＋1)dx＝2(－x2＋1)dx.‎ 解　函数y＝－x2＋1，x∈[－1,1]是偶函数，故曲线y＝－x2＋1，x∈[－1,0]与直线x＝－1，x＝0，y＝0围成图形的面积S1等于曲线y＝－x2＋1，x∈[0,1]与直线x＝0，x＝1，y＝0围成图形的面积S2，于是由定积分的几何意义，有 (－x2＋1)dx＝S1＋S2＝2S2＝‎ ‎2(－x2＋1)dx.‎ ‎16．若f(x)＝ax＋b(a≠0)且f(x)dx＝1，求证：‎ [f(x)]2dx＞1.‎ 证明　因为f(x)dx＝(ax＋b)dx ‎＝＝a＋b，‎ 所以a＋b＝1.‎ 所以[f(x)]2dx＝(ax＋b)2dx ‎＝(a2x2＋2abx＋b2)dx ‎＝ ‎＝a2＋ab＋b2＝2＋a2‎ ‎＝1＋a2＞1.‎ ‎17．利用定积分的几何意义说明下面等式成立．‎ dx＝(b＞a)．‎ 解　dx表示由曲线y＝和直线x＝a，x＝b(b＞a)及x轴围成图形的面积．由y＝得y2＋2＝2(y≥0)，所以曲线y＝表示以为圆心，以为半径的圆在x轴上及x轴上方的部分．‎ 故dx表示如图所示阴影部分的面积为：‎ π2×＝，所以 dx＝(b＞a)．‎ ‎18．用定积分的几何意义求f(x)dx＋sin xcos xdx，其中f(x)＝ 解　如图(1) f(x)dx＝－S1－S2＋S3＝－×2－××1＋×3＝－8－＋＝－6.‎ 图(1)‎ ‎∵sin xcos xdx＝sin 2xdx.‎ 如图(2)，sin 2xdx＝0.‎ 图(2)‎ ‎∴f(x)dx＋∫－sin xcos xdx＝－6＋0＝－6.‎