2020年高中数学第三章数系的扩充和复数的概念

2020年高中数学第三章数系的扩充和复数的概念

‎3.1.1‎‎ 数系的扩充和复数的概念 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为(　　)‎ A．－2　　　　　　　　　 B. C．－ D．2‎ 解析：2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，∴b＝2.‎ 答案：D ‎2．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝‎0”‎是“复数a＋为纯虚数”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：直接法．‎ ‎∵a＋＝a－bi为纯虚数，∴必有a＝0，b≠0，‎ 而ab＝0时有a＝0或b＝0，‎ ‎∴由a＝0， b≠0⇒ab＝0，反之不成立．‎ ‎∴“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．‎ 答案：B ‎3．已知复数z＝＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为(　　)‎ A．1或－1 B．1‎ C．－1 D．0或－1‎ 解析：因为复数z＝＋(a2－1)i是实数，且a为实数，则解得a＝－1.‎ 答案：C ‎4．设a，b为实数，若复数1＋2i＝(a－b)＋(a＋b)i，则(　　)‎ A．a＝，b＝ B．a＝3，b＝1‎ C．a＝，b＝ D．a＝1，b＝3‎ 解析：由1＋2i＝(a－b)＋(a＋b)i可得解得a＝，b＝.‎ 4‎ 答案：A ‎5．已知集合M＝{1，(m2－‎3m－1)＋(m2－‎5m－6)i}，N＝{1,3}，M∩N＝{1,3}，则实数m的为(　　)‎ A．4 B．－1‎ C．4或－1 D．1或6‎ 解析：由题意 解得m＝－1.‎ 答案：B ‎6．已知＝(x2－2x－3) i(x∈R)，则x＝________.‎ 解析：∵x∈R，∴∈R，‎ 由复数相等的条件得：解得x＝3.‎ 答案：3‎ ‎7．设x，y∈R，且满足(x＋y)＋(x－2y)i＝(－x－3)＋(y－19)i，则x＋y＝________.‎ 解析：因为x，y∈R，所以利用两复数相等的条件有解得所以x＋y＝1.‎ 答案：1‎ ‎8．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.‎ 解析：复数m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数的充要条件是 解得即m＝－2.‎ 故m＝－2时，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数．‎ 答案：－2‎ ‎9．设复数z＝lg(m2－‎2m－2)＋(m2＋‎3m＋2)i，当m为何值时，‎ ‎(1)z是实数；(2)z是纯虚数．‎ 解析：(1)要使复数z为实数，需满足 解得m＝－2或－1.即当m＝－2或－1时，z是实数．‎ ‎(2)要使复数z为纯虚数，需满足解得m＝3.即当m＝3时，z是纯虚数．‎ ‎10．已知集合M＝{1，(m2－‎2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．‎ 解析：因为M∪P＝P，所以M⊆P，‎ 即(m2－‎2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，或(m2－‎2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.‎ 由(m2－‎2m)＋(m2＋m－2)i＝－1得 解得m＝1；‎ 由(m2－‎2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得 解得m＝2.‎ 4‎ 综上可知m＝1或m＝2.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．已知复数z1＝a＋bi(a，b∈R)的实部为2，虚部为1，复数z2＝(x－1)＋(2x－y)i(x，y∈R)．当z1＝z2时x，y的值分别为(　　)‎ A．x＝3且y＝5 B．x＝3且y＝0‎ C．x＝2且y＝0 D．x＝2且y＝5‎ 解析：易知z1＝2＋i 由z1＝z2，即2＋i＝(x－1)＋(2x－y)i(x，y∈R)‎ ‎∴解得x＝3且y＝5.‎ 答案：A ‎2．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是(　　)‎ A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－b C．a>0且a≠b D．a>0且a＝±b 解析：z为纯虚数 ‎∴a＋|a|≠0且a2－b2＝0‎ 因此得a>0且a＝±b.‎ 答案：D ‎3．已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(‎3m－i)＝0有实根，则实数m的值是________．‎ 解析：设x＝a为方程的一个实根 则有a2＋(1－2i)a＋(‎3m－i)＝0，‎ 即(a2＋a＋‎3m)－(‎2a＋1)i＝0.‎ 因为a，m∈R，由复数相等的充要条件 有解得 答案： ‎4．已知z1＝－‎4a＋1＋(‎2a2＋‎3a)i，z2＝‎2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2, 则a的值为________．‎ 解析：由z1>z2，得 即 解得a＝0.‎ 答案：0‎ ‎5．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，求λ的取值范围．‎ 解析：由z1＝z2，即m＋(4－m2)i＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，m∈R)‎ 得消去m得 4‎ λ＝4－4cos2θ－3sin θ＝4sin2θ－3sin θ＝4(sin θ－)2－ 由于－1≤sin θ≤1.‎ 故－≤λ≤7，即λ的取值范围为.‎ ‎6．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝(x，y∈R)，求复数z＝x2＋yi.‎ 解析：由定义运算＝ad－bc ＝3x＋2y＋yi，故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.‎ 因为x，y为实数，‎ 所以有得 解之得x＝－1，y＝2‎ 因此z＝x2＋yi＝1＋2i.‎ 4‎