数学经典易错题会诊与高考试题预测6

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

数学经典易错题会诊与高考试题预测6

经典易错题会诊与 2012 届高考试题 预测(六) 考点 6 平面向量 经典易错题会诊 命题角度 1 向量及其运算 命题角度 2 平面向量与三角、数列 命题角度 3 平面向量与平面解析几何 命题角度 4 解斜三角形 探究开放题预测 预测角度 1 向量与轨迹、直线、圆锥曲线等知识点结合 预测角度 2 平面向量为背景的综合题 命题角度 1 向量及其运算 1 (典型例题)如图 6-1,在 Rt△ABC 中,已知 BC=a,若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点, 问 与 的夹角θ取何值时 . 的值最大?并求出这个最大值. [ 考 场 错 解 ] 此后有的学生接着对上式进行变形,更多的不知怎样继续. [专家把脉] 此题是湖北省 20 典型例题)已知,|a|= ,|b|=3,a 与 b 的夹角为 45°, 当向量 a+λb 与λa+b 的夹角为锐角时,求实数 A 的范围. [考场错解] 由已知 a·b=|a||b|·cos45°=3,∵a+λb 与λa+b 的夹角为锐角,∴(a+λ b)·(λa+b)>0 即 λ |a|2+ λ |b|2+( λ 2+1)a · b=0 , ∴ 2 λ +9 λ + 3( λ 2+1)>0 , 解 得 λ > ∴实数λ的范围是 [专家把脉] 解题时忽视了 a+λb 与 aλ+b 的夹角为 0 的情况,也就是(a+λb)·(λa+b)>0 既包括了 a+λb 与λa+b 的夹角为锐角,也包括了 a+λb 与λa+b 的夹角为 0,而 a+λb 与λ a+b 的夹角为 0 不合题意. [对症下药] 由已知 a·b=|a|·|b|,|b|×cos45°=3. 又 a+λb 与λa+b 的夹角为锐角,∴(a+λb)·(λa+ b)>0,且 a+λb≠μ(λa+b)(其中μ k,μ>0)由(a+λb)· (λa+b)>0,得|a|2+λ|b|2+(λ2+1)a·b>0 即 3λ2+11λ +3>0,解得λ PQ BC BP CQ ,||)()(,, 2 BQQPCBQPCBBQBQBQCBBQBQCQBPBQCBCQQPBQBP •+•+•+=+•+=•∴+=+= 2 6 8511 6 8511 −−<+− λ或         −−∞−∪        +∞+− 6 8511,,6 8511 > .由 a+λb≠μ (λa+b),得μλ≠1,μ≠λ,即λ≠1,综上所述 实数λ的取值范围是(-∞, ,1)∪(1,+∞). 3.(典型例题)已知 O 为△ABC 所在平面内一点且满足 ,则△AOB 与△AOC 的面积之比为 ( ) A.1 B. D.2 [考场错解] ∴O 在 BC 边上,且 ,又△AOB 与△ AOC 高相等,∴△AOB 与△AOC 的面积之比为 2,∴选 D. [专家把脉] 缺乏联想能力,将常用结论记错是本题错误的原因,实际上只有 O 为△ABC 的重心的情况下,才有 ,而本题无此已知条件. [对症下药] (1)如图 6-3,在 AB 上取一点 D,使 又由已知 ∴O 为 CD 的中点,不妨设 S△AOC=S,则 S△AOD=S(∵两者等底同高) ∴ △AOB 的面积与△AOC 的面积之比为 3:2,选 B. (2)不妨设 A(0,0),B(1,0),C(0,1),O(x,y),则由专家会诊向量的基本概念是向量 的基础,学习时应注意对向量的夹角、模等概念的理解,不要把向量与实数胡乱类比;向量 的运算包括两种形式:(1)向量式;(2)坐标式;在学习时不要过分偏重坐标式,有些题目用 向量式来进行计算是比较方便的,那么对向量的加、减法法则、定比分点的向量式等内容就 应重点学习,在应用时不要出错,解题时应善于将向量用一组基底来表示,要会应用向量共 线的充要条件来解题. 考场思维调练 1 △ABC 内接于以 O 为圆心,1 为半径的圆,且 (1)求 1. 答案:由已知得 2 ,所以 6 8511 6 8511 −−<+− λ或 6 8511 6 8511 +−∪−− 032 =++ OCOBOA 3 2.2 3 C OCOBOOCOBOA 2−=∴=++ ||2|| OCOB = OOCOBOA =++ OBOAOBOAODABDDBAD 3 2 3 1 21 2 21 1,2|,|2|| +=+++==∴= 得的比分 λ ,,3 2 3 1 OCODOBOAOC −=−= ,2 3|),|2||(,2 1 SSBDADSS AOBBOD =∆==∆  .432 OOCOBOA =++ || AB OCOBOA 43 −=+ (2)求△ABC 的面积. 答案:设∠AOB=θ,∠AOC= ,∠BOC= ,由 · = ,得 cosθ= ,sinθ= ,S△ AOB= | |·| |sinθ= ×1×1 × 同理可求得 cos =- ,sin = , S△AOC= .cosγ=- ,sinr= ,S△BOC= × 由于θ为锐角, , 为钝角,所以 不可能在△AOB 内部,故△AOB、△AOC、△BOC 互 不重叠∴S△ABC=S△AOB+ S△AOC+S△BOC= . 2 已知向量 a=(1,1),b:(1,0),c 满足 a·c=0,且|a|=|c|,b·c>0. (1)求向量 c; 答案:设 =(m,n),由 a·c=0,得 m+n=0 再由,|a|=|c|,得 m2+n2=2,联立 , 解得 m=1,n= -1 或 m=-l,n=1,又∵b,c=(1,0)·(m,n)=m>0. ∴m=1,n=-1,c=(1,-1). (2)若映射 f:(x,y)+(x’,y’)=xo+yc,将(x,y)看作点的坐标,问是否存在直线 l,使 得 l 上任一点在映射 f 的作用下的点仍在直线 l 上,若存在,求出直线 l 的方程,若不存在, 请说明理由. 答案: xa+yc=y(1,1)+y(1,-1)=(x+y,x-y),则 f:(x,y)→(x+y,x-y).假设存在直线 l 满足题意.当 l 的斜率不存在时,没有符合条件的直线 l;当 l 的斜率存在时,设 l: y=kx+m,在 l 上任取一点 p(x0,y0),则 p 在映射 f 作用下的点 Q(x0+y0,x0-y0),Q 也应在 l 上,即 x0-y0=k(x0+y0)+m 又(x0,y0)在 l 上∴y0=kx0+m,整理得(1-2k-k2)x0-(k+2)m=0,此式 对于任意 x0 恒成立.∴1-2k-k2=0,(-k+2)m=0. 解得 k=-1± ,m=0,综上所述,存在直线 l:y=(-1± )x 符合题意. 3已知 A、B、C 三点共线,O 是该直线外一点,设 =a, 且存在实数 m,使 ma-3b+c 成立.求点 A 分 所成的比和 m 的值. 62 1 14 121 ||2|| )(||.4 1,1||||||,||16||912||4,||16)32( 22 22 222222 = +×−= +•−= −=∴=•∴====+•+=+ OAOAOBOB OAOBABOBOAOCOBOAOCOBOBOAOAOCOBOA 即 ϕ γ OA OB 4 1 4 1 4 15 2 1 OA OB 2 1 8 15 4 15 = ϕ 16 11 ϕ 1516 3 1532 3 8 7 8 1 2 1 .16 15 8 15 = ϕ γ OC 1532 9    =+ =+ 2 0 22 nm nm 2 2 OA ,, cOCbOB == O 答案:解:设点 A 分 所成比为λ,则 =λ ,所以 - =λ( - ).即 a-b=λ (c-d),则(1+λ)a-b-λc=0 (1)由已知条件得 c=3b-ma 代人(1)得(1+λ)a-b-3λb+mλa=0, 即(1+λ+mλ)a-(1+3λ)b=0 ∵ 不共线,a、b 不共线 ∴1+λ+mλ=0,1+3λ=0,解得λ=- ,m=2. ∴A 分 所成的比为- ,m=2. 1.(典型例题)设函数 f(x)=a·b,其中 a=(2cosx,1),b=(cosx, )求 x;(2)若 函数 y=2sin2x 的图像按向量 c=(m,n)(|m|< )平移后得到函数 y=f(x)的图像,求实数 m、n 之值. [考场错解](1)依题意,f(x)=2cos2x+ 由 (2)函数 y=2sin2x 的图像按向量 c=(m,n)平移后得到 y=2sin2(x+m)-n 的图像,即 y=f(x)的 图像,由(1)得 f(x)=2sin2(x+ [ 专 家 把 脉 ] “ 化 一 ” 时 出 错 , 第(2)问在利 用平移公式的时有错误. [ 对 症 下 药 ] ( 1 ) 依 题 设 , f(x)= (2)函数 y=2sin2x 的图像按向量 c=(m,n)平移后得到函数 y=2sin2(x-m)+n 的图像,即函数 y=f(x)的图像,由(1)得 f(x)=2sin2( 2.( 典 型 例 题 ) 已 知 i,j 分 别 为 x 轴 , y 轴 正 方 向 上 的 单 位 向 量 , BC BA AC OA OB OC OA OBOA 3 1 BC 3 1 ]3,3[,3 ππ−∈x且 2 π ).32sin(212sin3 π++= xx ;3,332,323,33,2 3)32sin(,31)32sin(21 ππππππππππ −=−=+∴≤+≤−∴≤≤−−=+−=++ xxxxxx 即得  .1,12,2||,1)6 −==∴<+ nmm πππ  ,1)32sin(21)62sin(212sin32cos2cos2sin3cos2 2 ++++=++==+ ππ xxxxxxx 不是 ,2 3)62sin(,31)62sin(21),62sin(212sin3cos2 2 −=+−=++++=+ πππ xxxxx 得由 ;4.362,6 5 622,33 ππππππππ −=−=+∴≤+≤−∴≤≤− xxxx 即 .1)12 ++ π x .1,12,2|| =−=∴< nmm ππ  *).,2(2,5, 1121 NnnAAAAjOAjOA mnnn ∈≥=== +− (1)求 [考场错解](1)由已知有 [专家把脉]向量是一个既有方向又有大小的量,而错解中只研究大小而不管方向,把向量与 实数混为一谈,出现了很多知识性的错误. [对症下药] (1) 3.(典型例题)在直角坐标平面中,已知点 P1(1,2),P2(2,22),P3(3,23)…,Pn(n,2n), 其中 n 是正整数,对平面上任一点 Ao,记 A1 为 Ao 关于点 P1 的对称点,A2 为 A1,关于点 P2 的对称点,…,An 为 An-1 关于点 Pn 的对称点. (1)求向量 的坐标; (2)当点 Ao 在曲线 C 上移动时.点 A2 的轨迹是函数 y=f(x)的图像,其中 f(x)是以 3 为周期 的周期函数,且当 x∈(0,3)时 f(x)=lgx.求以曲线 C 为图像的函数在(1,4)上的解析式; (3)对任意偶数 n,用 n 表示向量 的坐标. [考场错解] 第(2)问,由(1)知 =(2,4),依题意,将曲线 C 按向量(2,4)平移得到 y=f(x)的图像. ∴y=g(x)=f(x-2)+4. [专家把脉] 平移公式用错,应该为 y=g(x)=f(x+2)-4. [对症下药] (1)设点 Ao(x,y),Ao 关于点 P1 的对称点 A1 的坐标为 A1(2-x,4-y),A1 关 于点 P2 的对称点 A2 的坐标为 A2(2+x,4+y),所以, ={2,4}. (2)∵ ={2,4},∴f(x)的图像由曲线 C 向右平移 2 个单位,再向上平移 4 个单位 得到. 因此,曲线 C 是函数 y=g(x)的图像,其中 g(x)是以 3 为周期的周期函数,且当 x∈ .)2(;87 的坐标和求 nn OBOAAA ||2 1||,2 1 1111 −+−+ == nnnnnnnn AAAAAAAA 得 ).222( 22222)1(23|||||||| ).0,29(,29 29 2 141||||||||)2( ;16 1,16 1||,)2 1()2 1(|| 1211 44 4 41211 8787 3 21 1 1 +=∴ +=•−+=+++= −−= −+++=+++= ==∴==∴ − −− − −− −− + nOB nnBBBBOBOB OAOA AAAAOAOA AAAAAAAA n nnn n n n n n nnnn nn nn   得 得 ,)2 1(4 1 2 1,2 1,2 21 6 657687111 AAAAAAAAAAAAAAA nnnnnnn  ===∴=∴= −++−1nA .16 14)2 1(,4 6 871221 jjAAjOAOAAA =•=∴=−=又 ).12,12(,)12()12()22()1(33).29,0( .)29( 2 124, 2 1, 2 1 2 1)1()2( 11 4 4 412114132111 ++∴+++=+•−++=++=−∴ −=++++=+++=∴=∴== − − − −−−+−−+ nnOBjninjinjjBBOBOBOA jjjjjAAAAOAOAjAAjAAAA nnnn n n n nnnnnnnnnnn 的坐标是同理的坐标为 知由   2AAo no AA 2AAo 2AAo 2AAo (-2,1)时,g(x)=1g(x+2)-4,于是,当 x∈(1,4)时,g(x)=1g(x-1)-4. 专家会诊 向量与三角函数、数列综合的题目,实际上是以向量为载体考查三角函数、数列的知识, 解题的关键是利用向量的数量积等知识将问题转化为三角函数、数列的问题,转化时不要把 向量与实数搞混淆,一般来说向量与三角函数结合的题目难度不大,向量与数列结合的题目, 综合性强、能力要求较高. 考场思维调练 1 已知平面向量 a=( ,-1),b= ,c=a+(sin2a-2cosa)b,d=( )a+(cosa)b, a∈(o, ),若 c⊥d,求 cosa. 答案:解析:由已知得 a·b=0,|a|2=a2=4,|b|2=b2=1,因为 c⊥d,∴c·d=0,即[a+(sin2 λ-cosα)·b]. [( sin22α)a+(cosα)b]=0,得 sin22α+sin2α,cosα-2cos2α=0, 即(sin2α+2cosα)(sin2α-cosα)=0, ∵α∈(0, ),∴sin2α+cosα>0,∴sin2α=cosα,由于 cosα>0,得 sina= ,则 cos α= . 2 设向量 a=(cos23°,cos67°).b=(cos68°,cos22°),c =a+tb(t∈R),求|c|的最 小值. 答案:解:|a|= =1, |b|= =1 a·b=cos23°cos68°+cos67°cos22°=cos23°cos68°+sin23°sin68°=cos(23°-68 °)= . ∴|c|2=(a+tb)2=|a|2+t2|b|2+2ta·b=t2+1+ t≥ . ∴|c|的最小值为 ,此时 t=- 3 已知向量 a=(2,2),向量 b 与 a 的夹角为 ,且 a·b=-2. (1)求向量 b; { } { } { } .3 )12(4,3 )12(2,22)2,12,12,1(2)(2,22 )3( 13 1432112222 2422       −=       −=+++=+++== +++= − −−− − nn n nnnOkkk nnOnO nnPPPPPPAAkPPAA AAAAAAAA   得由于 3 )2 3,2 1( a2sin4 1 2 2 π 4 1 2 π 2 1 2 3 167cos23cos 22 =+  122cos68cos 22 =+  2 2 2 2 1 2 2 2 2 4 3 答案:设 b=(x,y),∵a·b=-2,∴2x+2y=-2,即 x+y=-1,(1),又∵a 与 b 的夹角为 π,∴|b|= =1,∴x2+y2=1 (2),联立(1)、(2)得 x=-1,y=0 或 x=0,y=-1, ∴b=(-1,0)或 b=(0,-1). (2)若 t=(1,0)且 b⊥t,c=(cosA,2cos2 ),其中 A、C 是△ABC 的内角,若三角形的 三个内角依次成等差列,试求,|b+c|的取值范围. 答案:由题意得 B= ,A+C= ,b⊥t,t=(1,0),∴b=(0,-1),b+C=(cosA,cosC), |b+C|2=cos2A+cos2c=1+ (cos2A+cos2C)1+ cos2A+cos2( π -A))=1+ cos(2A+ ) , ∵ 0 ∠ A< , ∴ ∠ 2A+ , ∴ -1 ≤ cos(2A+ )< ,∴|b+c|2∈[ ],∴|b+c|∈[ ] 命题角度 3 平面向量与平面解析几何 1.(典型例题)已知椭圆的中心在原点,离心率为 ,一个焦点 F(-m,0)(m 是大于 0 的 常数.) (1)求椭圆的方程; (2)设 Q 是椭圆上的一点,且过点 F、 Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M,若 ,求 直线 l 的斜率. [考场错解] 第(2)问:设 Q(xo,yo),直线 J 的方程为 y=k(x+m),则点 M(0,km),由已 知得 F、Q、M 三点共线,且 ,∴ 由于 F(-m,0), M(0,km),由定 比分点坐标公式,得 xQ= [专家把脉] 缺乏分类讨论的思想,没有考虑图形的多样性,将 进行转 化时出现错误,依题意 应转化为 再分类求解 k. [对症下药] (1)设所求椭圆方程为 1 (a>b>O). 由已知得 c=m, 故所求的椭圆方程是 4 3 π 4 3cos|| • • a ba 2 c 3 π 3 2π 2 1 2 1 3 2 2 1 3 π 3 2π 3 π ππ 3 5 3 < 3 π 2 1 4 5,2 1 2 5,2 2 2 1 ||2|| QFMQ = ||2|| QFMQ = ||2|| QFMQ = 62,1279 1,1 34 ,3 1,3 2 2 2 2 2 2 ±==+∴=+=− kk m y m xQkmym Q 解得上在椭圆又 ||2|| QFMQ = ||2|| QFMQ = QFMQ 2±= =+ 2 2 2 2 b y a x .3,2,2 1 mbmaa c ==∴= .1 34 2 2 2 2 =+ m y m x (2)设 Q(xQ,yQ),直线 l 的方程为 y=k(x+m),则点 M(0,km),∵M、Q、F 三点共线, ,∴ . 当 时,由于 F(-m,0),M(0,km),由定比分点坐标公式,得 又 Q 在椭圆 同理当 故直线 l 的斜率是 0, 2.(典型例题)如图 6—4,梯形 ABCD 的底边 AB 在 y 轴上,原点 O 为 AB 的中点,|AB|= AC⊥BD,M 为 CD 的中点. (1)求点 M 的轨迹方程; (2)过 M 作 AB 的垂线,垂足为 N,若存在常数λo,使 ,且 P 点到 A、B 的距离 和为定值,求点 P 的轨迹 C 的方程. [考场错解] 第(2)问:设 P(x,y),M(xo,yo),则 N(0,yo) ∴x-xo=-λox,y-yo=λo(yo-y),∴λo=-1. [专家把脉] 对 分析不够,匆忙设坐标进行坐标运算,实际上 M、N、P 三点共 线,它们的纵坐标是相等的,导致后面求出λo=-1 是错误的. [ 对 症 下 药 ] (1) 解 法 1 : 设 M(x , y) , 则 C(x , -1+ 即(x,y-1)·(x,y+1)=0,得 x2+y2=1,又 x≠0, ∴M 的轨迹方程是:x2+y2=1(x≠0) 解法 2:设 AC 与 BD 交于 E,连结 EM、EO,∵AC+BD,∴∠CED=∠AEB=90°,又 M、O 分 别为 CD, AB 的中点,∴ ,又 E 为分别以 AB、CD 为直径的圆的切 点,∴O、C、M 三点共线,∴ |OM|=|OE|+|AB|=1,∴M 在以原点为圆心 1 为半径的圆上,轨 迹方程为 x2+y2=1(x≠0). (2)设 P(x,y),则由已知可设 M(xo,y),N(0,y),又由 MP=λ oPN 得(x-xo,0)=λ o(-x,0),∴xo=(1+λo)x,又 M 在 x2+y2=1(x≠0)上,∴P 的轨迹方程为(1+λo)2x2+ y2=1(x ≠0),又 P 到 A、B 的距离之和为定值,∴P 的轨迹为经 A,BP 为焦点的椭圆,∴ λo)2=9,∴P 轨迹 E 的方程为 9x2+y2=1(x≠O). 3.(典型例题)如图 6—5,ABCD 是边长为 2 的正方形纸片,以某动直线 l 为折痕将正方 形在其下方的部分向上翻折,使得每次翻折后点。都落在 AD 上,记为 B';折痕 l 与 AB 交 ||2|| QFMQ = QFMQ 2= QFMQ 2= ,3 1,3 2 kmymx QQ =−= ;62,1279 1,1 34 2 2 2 2 2 ±==+∴=+ kk m y m x 解得有上 .0,1 3 1,2 2 22 ==+−= k m mkQFMQ 解得有时 .62± .3 242||,3 24 −=CD PNMP oλ= PNMPyyxPNyyxxMP oooo λ=−−=−−=∴ 又),,(),,( PNMP oλ= ,0),3 221,(),3 22 =•⊥+−+ BDACBDACyxDy 得由 ||2 1|||,|2 1|| ABEOCDOM == += + − 1(,9 8 )1( 11 2 得 Oλ 于点 E,使 M 满足关系式 (1)建立适当坐标系,求点 M 的轨迹方程; (2)若曲线 C 是由点 M 的轨迹及其关于边 AB 对称的 曲线组成的,F 是 AB 边上的一点, 过点 F 的直线交曲线于 P、Q 两点,且 ,求实数λ的取值范围. [考场错解] 第(1)问:以 AB 的中点为坐标原点,以 AB 所在的直线为 y 轴建立直角坐标 系,则 A(0,1),B(0,—1),设 E(0,t),B'(xo,1),则由 y=-t,∴ M 的轨迹方程为 x=x0,y=-t [专家把脉] 对轨迹方程的理解不深刻,x=xo,y=-t 不是轨迹方程,究其原因还是题目 的已知条件挖掘不够,本题中| |=| |是一个很重要的已知条件. [对症下药] (1)解法 1 以 AB 所在的直线为 y 轴,AB 的中点为坐标原点,建立如图 6-6 所示的直角坐标系,别 A(0,1),B(0,-1),设 E(0,t),则由已知有 0≤t≤1,由 及 B'在 AD 上,可解得 B'(2 ,1)由 + '得(x,y-t)=(0,-1-t)+(2 , 1-t),即 x=2 y=-t,消去 t 得 x2=-4y(0≤x≤2). 解法 2 以 EB、EB'分邻边作平行四边形.由于 知四边形 EBMB′,为菱形,且 ,∴动点 M 到定直线 AD 的距离等于 M 到定点 B 的距离,∴M 的轨迹是以 B 为焦点, 以 AD 为准线的抛物线的一部分轨迹方程为 x2=-4y(0≤x≤2). (2)由(1)结合已知条件知 C 的方程是 x2=-4y (-2≤x≤2),由 知 F(0, ),设过 F 的直线的斜率为 k,则方程为 y= ,P(x1,y1),Q(x2,y2),由 得 x1=-λ x2,联立直线方程和 C 得方程是 x2 +4kx-2=0,由-2≤x≤2 知上述方程在[-2,2]内有两个 解,由;次函数的图像知 ,由 x=-λx2 可得 由韦达 定理得 8k2= . 4.(典型例题 1)已知椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴上,斜率为 1 且过椭圆右焦点 9 BEEM ′+ 4= BF BA FQPF λ= 0xxBEEBEM =′+= 得 EB BE ′ |||| BEEB ′= t BEEBEM ′+= t 2 |||| BEEB ′= ADBM ⊥′ 4= BF BA 2 1 2 1−KX FQPF λ= 4 1 4 1 ≤≤− k 21 12)21(2)1( 1 xxxx λλ −=+ − 22 1,2 12)1( ≤≤≤− λλ λ 解得 的直线交椭圆于 A、B 两点, 与 a=(3,-1)共线 (1)求椭圆的离心率; (2)设 M 为椭圆上任意一点,且 ,证明λ2+μ2 为定值. [考场错解] (1)设椭圆方程为 ,F(c,0)联立 y=x-c 与 得 (a2+b2)x2- 2a2cx+a2c2+a2b2=0 , 令 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , 则 x1+x2= 由 (x1+x2,y1+y2), a=(3,-1), 与 a 共线, 得 x1+x2=3,y 1+y2=-1,又 y1+y2=x1+x2-2c,∴c=2,得 a 2=3b2,又 a2-b2 =c2=4,∴b2=2, a2=6,∴.e= [专家把脉] 与(3,-1)共线,不是相等,错解中,认为 (3,-1),这是错 误的,共线是比例相等. [ 对 症 下 药 ] (1)( 前 同 错 解 ) , 与 a 共 线 , 得 3(y1+y2)+(x1+x2)=0 , ∴ 3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=O ∴x1+x2= c,代入 (2)证明:由(1)知 a2=3b2,所以椭圆 可化为 x2+32=3b2 设 (x,y),由已知得 (x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2), ∴M(x,y)在椭圆上, ∴(λx1+μx2)23(λy1+μy2)2=3b2. 即λ2( ) +2λμ(x1x2+2y1y2)= 3b2.① 由(1)知 x2+x2= ∴ OBOA+ ),( ROBOAOM ∈+= µλµλ )0(12 2 2 2 >>=+ ba b y a x 12 2 2 2 = b y a x 22 2222 21,22 232 ba bacaxx ba ca + −= + OBCA + OBOA+ .3 6 6 2 == a c OBOA+ OBOA+ OBOA+ 2 3 .3 6232,2 3 22 22 ==∴= + ebac ba ca 12 2 2 2 =+ b y a x OM    += +=∴ 21 21 yyY xxX µλ µλ 2 132 1 yx + )2 232 2(23 yx +µ 2 2 12,2 2 32,2 3 cbcac == 2 8 3 22 2222 21 c ba bacaxx = + −= ∴x1x2+3y1y2=x1+x2+3(x1-c)(x2-c) =4x1x2-3(x1+x2)c+3c2 = =0. 又 又,代入①得 λ2+μ2=1. 故λ2+μ2 为定值,定值为 1. 专家会诊 平面向量与平面解析几何结合是高考中的热点题型,解此类题目关键是将向量关系式进 行转化,这种转化一般有两种途径:一是利用向量及向量的几何意义,将向量关系式转化为 几何性质,用这种转化应提防忽视一些已知条件;二是将向量式转化为坐标满足的关系式, 再利用平面解析几何的知识进行运算,这种转化是主要转化方法,应予以重视. 考场思维调练 1 已知△ABC 中,A(0,1),B(2,4),C(6,1),P 为平面上任一点,点 M、N 满足 ,给出下列相关命题:① ∥ ; (2)直线 MN 的方程是 3x+10y-28=0;(3)直线 MN 必过△ABC 外心;(4)起点为 A 的向量λ ( +AC)(λ∈R+)所在射线必过 N,上面四个选项中正确的是________.(将正确的选项 序号全填上) 答案:解析:(2)(4)由已知 M 为 AB 的中点,所以 M(1, ),N 为△ABC 的重心,∴N( , 2).MN 在 AB 的中线上∴ ;MN 的方程为 3x+10y-28=0;MN 过△ABC 的重心,又△ABC 不是等腰三角形∴MN 不可能过△ABC 的外心; λ( )(λ∈R+)所在射线为 BC 的中线所在的射线, ∴必过 N 上(2)、(4)正确. 2 已知 A 为 x 轴上一点,B 为直线 x=1 上的点,且满足: . (1)若证 A 的横坐标为 x,B 的纵坐标为 y,试求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程; 答案:解:由题意,A(x,0),B(1,y),则 =(x,0), =(1,y)代入 =0 中,得: (2)设 D(0,-1),上述轨迹上是否存在 M、N 两点,满足| |=| |且直线 MN 不平行于 y 轴,若存在,求出 MN 所在直线在 y 轴上截距的取值范围,若不存在,说明理. 答案:假设存在 M(x1,y1),N(x 2,y2),由题设 MN 不与 x 轴垂直,不妨设 MN 的方程为 232 2 92 2 3 ccc +− 232 232 2,232 132 1 byxbyx =+=+ )(3 1),(2 1 PCPOBPAPNPBPAPM ++=+= MN BC ACAB + 2 5 3 8 BCMN ACAB + )3()3( OBOAOBOA −⊥+ OA OB )3()3( OBOAOBOA −•+ MD ND y=kx+m ,联 立 , 得 (1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0 ,显 然 1-3k2 ≠ 0 ,∴ △ =12(m2+1-3k2)>0 ,又 x1+x2= , x1x2 = . 设 MN 的 中 点 P(x0 , y0) , 则 有 x0= ,y0= ,∴线段 MN 的垂直平分线方程为 y- .由题意 D(0, -1)在该直线上,代入得 4m=3k 2-1,∴m、k 满足 消去 k2,得 m>4 或- −+ 134 031 2 22 km km 4 1 4 1 2 3 3 2 2 2 ≤≤ dd且 d PF || 2 2 c a a c 2 ,2 2= 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 1 3 4 2 2x 2 1 3 4 OFOPOFPF 与求向量 3 1=• PF OF OP PF OF 3 1 3 2 11 112 |||| ).3 7,3 2()3 7,3 2(,3 7,12 2 2 = • •∴ −==∴±==+ OFOP OFOP OPOPyyx 或得 OFOP与 11 112 GF OF PFMP 3= GF FO 又∴ 又| |=2,∴| |2+| |2=| |2, ∴△PGF 为 Rt△,∴∴S= 命题角度 4 解斜三角形 1.(典型例题)在△ABC 中,sinA+cosA= AB=3,求 tanA 的值和△ABC 的面积. [考场错解] ∵sinA+cosA= ∴两边平方得 2sinAcosA= 又 0°<2A<360 °∴2A= 210°或 2A=330°得 A=105°或 A=165°,当 A=105°时, tanA=tan(45°+60°)= sinA=sin(45°+60°)= 当 A=165°时,tanA=tan(45°+ 120 °)=-2+ ,sinA=sin(45°+120°)= ,△ABC 的面积为 [专家把脉] 没有注意到平方是非恒等变形的过程,产生了增根,若 A=165°,sinA=此时 sinA+cosA= ,显然与 sinA+cosA= 的已 知条件矛盾. [对症下药] 解法 1.∵sinA+cosA= <180 ° , ∴ A-45 ° =60 ° , 得 A=105 °. ∴tanA=tan(45°+60°)=-2- ,sinA=sin(45°+60°)= , S△ABC= 解法 2 ∵sinA+cosA= 又 0°0,cosA<0, ∵(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA= ∴sinA-csoA= ,解得 sinA= ,cosA= sinA= .       = = ∴    =+ == 2 23|| 2 2|| 22|||| ||3|||| PG PF PFPG PFPMPG GF PF GF PG 2 2 2,2 2 =AC 2 2 2 1sin,2 1 −=∴− A 32 31 31 −−= − + 4 62 + 3 4 26 − ).26(4 3sin2 1 −•• AABAC 2 2cossin,4 26cos4 26 −=++−=+ AAA 此时 2 2 2 2 AAA <=−=−∴  0,2 1)45cos(2 2)45cos(2 又得 3 4 62 + )26(4 3sin2 1 +=•• AABAC 2 1cossin2,2 2 =∴ AA 2 3 2 6 4 62 + 4 62 − )26(4 3sin2 1,32cos sin +=••=∆−−= AABACABCSA A 2.(典型例题)设 P 是正方形 ABCD 内部的一点,点 P 到顶点 A、B、C 的距离分别为 1、2、3, 则正方形的边长是 . [考场错解] 设边长为 x∠ABP=α则∠CBP=90°-α,在△ ABP 中∠ ABP= ∵ cos ∠ CBP=sin α , ∴ =1, 解得 x2=5+2 或 5-2 . ∴正方形的边长为 . [专家把脉]没有考虑 x 的范围,由于三角形的两边之差应小于第三边,两边之和应大于第三 边,∴1c, ∴角 C 不是最大解,∴150°≤C<180°不可能. [ 对 症 下 药 ] 依 题 意 c=1,a=2, 由 正 弦 定 理 知 ∴,C 的取值范围是 0°∠∴>≤=∴= 又因为 2cos2 ACB =+ 22 ba + .||2cos2cos7 zBAiC 的模−− 2 c 2 BA − 2 7 2 1 2 7 2 1 2 1 =4+ (-8cosAcosB+6sinAsinB), 又∵4sinAsinB=3cosAcosB ∴|z|2=4,得,|z|=2. 2 在△ABC 中,sinA+cosA= ,AB=10,AC=20 (1)求△ABC 的面积; 答案:由 sinA+cosA= 得 2sinAcosA=- , ∴sinA>0,cosA<0,∴(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA = 得 sinA-cosA= ,∴sinA= ,comA=- . ∴S△ABC= AB·AC·sinA= ·10·20· =80; (2)求△cos2A 的值. 答案: cos2A=2cos2A-1=- 3 △ABC 中,AB=2,BC=1,∠ABC=120°,平面 ABC 处一点满足 PA=PB=PC=2,则三棱锥 P-ABC 的体积是 . 答案:解:过 P 作 PO⊥平面 ABC, 由 PA=PB=PC=2, ∴0 为△ABC 的外心,在△ABC 中,由余弦定理, |AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|·|BC|·cos120°=7, ∴|AC|= 又由正弦定理 得 R= . 在 Rt△POA 中,PA=2,OA=R= , ∴PO= 又 S△ABC= ∴三棱锥 P-ABC 的体积为 . 探究开放题预测 预测角度 1 向得与轨迹、直线、贺铃由线篈疾识点结合 1.已知过点 D(-2,0)的地线 l 与椭圆 交于不同两点 A、B 点 M 是弦 AB 的中点 2 1 5 1 5 1 25 24 25 49 5 7 5 4 5 3 2 1 2 1 5 4 25 7 7 RABC AC 2sin || =∠ 3 21 3 21 3 15)( 22 =− RPA ,2 3 2 3122 1 =••• 6 5 12 2 2 =+ yx 且 ,求点 P 的轨迹方程 [解题思路]由已知 , 又 M 为 AB 的中点∴M 的轨迹是常见的中点问题,求出 M 的 轨迹后,可用相关点求 P 的轨迹,本题还可以直接将 转化为坐标运算. [解答](方法一)设 M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2), ∵A、B 在 (方法二)当直线 l 平行 x 轴时,P(0,0);当直线 J 不与 x 轴平行时,设 l:x=my-2,并设 A(x1,y1),B(x2,y2), P(x,y), 根据△=(-4m)2-8(m2+2)>0. 即 m2>2,由 及(1)可得 y=y1+y2= x=x1+x2=(my1-2)+(my2-2)=- `∴P 的坐标为 ,消去 m 得 x2+2y2+4x=0(-2=++ ==∴ =+=∴ −><+∴ =+ =++∴ +=== + +−=− − xxyx yyxx OMOBOAOP xyx yxyxM yxx x y MDkABky x ABk yy xx xx yy 代入上式得 又 得 内部在又 又即 )1(0242)22( 2222 2 =+−+    =+ −= myym x myx 由 OBOAOP += 22 4 +m m 22 8 +m       ++ − 22 4, 22 8 m m m 2.一条斜率为 1 的直线与离心率为万的双曲线 1(a>0b>>0),交于 P.Q 两点,直 线 l 与 y 轴交于点 K,且 ,求直线与双曲线的方程 [解题思路] 将向量关系式转化为坐标关系式,建立方程组求解. [解答] ∵ 的离心率为 , ∴b2=2a2,即双曲线的方程为 , 设 l 的方程为了 y=x+m,P(x1,y1),Q(x2,y2), 由 =-3 得,x1x2+yly2=-3, 由 得 x1=-3x2, 联立 得 x2-2mx-m2-2a2=0 ∴x1+x2=2m,x1x2=-m2-2a2, y1y2=(x1+m)(x2+m)=2m2-2a2, 结合 x1=-3x2,得 x2=-m,x1=3m, ∴xlx2=-3m2=-m2-2a2 得 m2=a2 解得 yly2=0,x1x2=-3a2=-3, ∴a2=1,m2=1,m=±1. ∴直线 l 的方程是 y=x±l,双曲线的方程是 =1. 预测角度 2 平面向量为背景的综台题 1.设过点 M(a,b)能作抛物线 y=x2 的两条切线 MA、MB,切点为 A、B (1)求 ; (2)若 =0,求 M 的轨迹方程; (3)若 LAMB 为锐角,求点 M 所在的区域. [解题思路] 设切点坐标,利用导数求出切线的斜率,将 转化为坐标运算,结合 韦达定理求解. =− 2 2 2 2 b y a x KQPQOQOP ==• 12 2 2 2 =− b y a x 3 12 2 2 2 =− b y a x OQOP • KQPQ 4=      =− += 122 2 2 2 a y a x mxy 2 22 yx MBMA• MBMA• MBMA• [解答] (1)设抛物线上一点 P(t,t 2),∵y=x2,∴y′= 2x,切点为 P 的切线方程是: y-t2=2t(x-t),它经过点 M (a,b),∴b-t2=2t(a-t),即 t2-2at+b=0,设其两根为 t1、t2, 则 t1+t2=2a,t1t2=b. 设 A(t1,t ),B(t2,t ),则 =(t1-a,t -b), = (t2-a,t -b), ∴ =(t1-a)(t2-a)+(t -b)·(t -b) 利用 t1+t2=2a,t1t2=b,消去 t1,t2 得 =(b-a2)(4b+1). (2)设 M(x,y),则由 =0, =(b- a2)(4b+1)得 (y-x2)(4y+1)=0,又 M 在抛物线外部, ∴y0,结合(1)中结果有(y-x2)(4y+1)>0,而 y − − =+ a a a a a xx 得由已知及 48 22 yx + APAFPQQFAQEFAE ,0,|,|2|| =•== ∥ (1)求户的轨迹方程; 答案:∵| |=2| |,∴| |=4,,∴又 ∴ Q 为 AF 的中点, ∥ ,∴A、P、 E 三点共线 · =0,得 ,又 Q 为 AF 的中点,∴P 为 AF 的垂直平分线与 AE 的交 点,∴| |=| |,∴| |+| |=| |=4,∴P 的轨迹是以 E(-1,0),F(1,0) 为焦 点,长轴长为 4 的椭圆,方程为 =1. (2)设 M、N 是户的轨迹上两点,若 +2 =3 ,求 MN 的方程 答案:由已知可得 ,∴正在 MN 上,且 E,分 的比为 2,由焦半径公式 有 =2,得 x1 -2x2=4,又由 =-3, ∴x1= ,此时 y1=± ,∴MN 的斜率为± ,∴MN 的方程为 y=± (x+1). 11 若 F1、F2 为双曲线 (a>0,b>0)的左、右焦点,O 为坐标原点,户为双曲线 的左支上的点,点 M 在右准线上,且满足 . (1)求此双曲线的离心率 e; 答案:由 得四边形 F1OMP 为平行四边形, ∴ ∴λ= 为菱形,∴| | =C, 由双 曲线的定义有 +2a,∴ =2a+c 又 =c, ∴ =e,解得 e=2, EP AE EF AE QFAQ = AP EP AQ AF AFPQ ⊥ PF PA PE PF AE 34 22 yx + OM ON OE ONOMOE 3 2 3 1 += MN 2 1 exa exa + + 21 23 2 3 1 xxONOMOE +∴+= 2 1 4 5 2 5 2 5 12 2 2 2 =− b y a x )0( |||1| 1,1 >        +== λλ OM OM OF OFOPPMQF PMOF =1 ) |||| (,1 1 1 OM OM OF OFOPOMOFOP +=+= λ又 OMPFOMOF 11 |,||| ∴= PF1 |||| 12 PFPF = || 2PF || PM C ca +2 (2)若此双曲线过 N(2, ),求双曲线的方程; 答案:可设双曲线方程为 =1,又过 N(2, ), ∴a2=3,∴双曲线的方程为 =1. (3)在(2)的条件下,B1、B2 分别是双曲线的虚轴端点(B1 在 y 轴正半轴上),点 A、B 在 双曲线上,且 ∥ 时,直线 AB 的方程. 答案:由已知 B2 在 AB 上,∴可设 AB 的方程为 y=kx-3,又 ,∴B1B 的方程为 y=- x+3 解得 B ( ),又 B 在 =1 上, ∴9·( )2-3·( )2-27=0, 解得 k=± ±1,∴AB 的方程为 y=(± ±1)x-3. 12 已知等轴双曲线 C:x2-y2=a2(a>0)上一定点 P(x0,y0)及曲线 C 上两动点 A、B 满足( - )·( - )=0(其中 O 为原点). (1)求证:( )·( )=0; 答案:设 A(x1,y1)、B(x2,y2), ∵A、B、P 在双曲线上, ∴(x1-x0)(x1+x0)=(y1-y0)·(y1+y0) (1),(x2-x0)·(x2+x0)=(y2-y0)(y2+y0) (2),(1)× (2) 得 (x1-x0)(x2-x0)(x1+x0)(x2+x0)=(y , -y0)(y2-y0)(y1+y0)(y2+y0) , (3) , 又 ( - )·( - )=0,∴(x1-x0)(x2-x0)= -(y1-y0)(y2-y0) (4),将(4)代人(3)中得(x1+x0) (x2+x0)+(y1+y0)(y2+y0)=0. ∴( + )·( + )=0; (2)求|AB|的最小值. 答案:由(1)得 =0,取 AP、BP 的中点 M、N,连接 OM、ON,∵ =0, ∴ ,∴O、M、P、N 四点共圆,且|AB|=2|MN|,利用圆的知识有 MN 为直径,∴|MN|≥ 2 2 2 2 2 3a y a x − 3 93 22 yx − AB2 BBABBB 12,2 ⊥求 BBAB 12 ⊥ K 1 1 3, 1 6 2 2 2 ++ k k k k 93 22 yx − 1 6 2 +k k 1 33 2 2 + − k k 2 2 OA OP OB OP OPOA+ OPOB + OA OP OB OP OA OP OB OP 2 1 )(2 1)( OPOBOPOA +•+ )()(,),(2 1),(2 1 OPOAOPOAONOMOPOBONOPOAOM −•−⊥+=+= 又 PBPA ⊥ |OP|.∴|AB|≥2|OP|=2 13 已知 . (1)求| - |; 答案:由已知可得| |= | |= 且 CD⊥AD, cos∠BAC ,根据余弦定理得: . (2)设∠BAC=θ,且 cos(θ+x)= ,-π
查看更多