2019-2020学年安徽省合肥市第八中学、阜阳一中高一上学期10月联考数学试题（解析版）

2019-2020学年安徽省合肥市第八中学、阜阳一中高一上学期10月联考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年安徽省合肥市第八中学、阜阳一中高一上学期10月联考数学试题 一、单选题 ‎1．若全集且，则集合的真子集共有（ ）个 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出集合A，再根据集合A中的元素个数求出真子集的个数。‎ ‎【详解】‎ 解：依题意，A＝{2，3，5}， ∴集合A的真子集共有个， 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的子集个数，若一个集合中有n个元素，则它有个子集，有个真子集，属于基础题．‎ ‎2．已知集合，则从集合到集合的映射中，满足的映射有（ ）个 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】在两个集合中，集合M有三个元素，其中一个已经确定对应关系，剩下两个元素，分别和集合N中的三个元素对应，得到共有4种不同的结果．‎ ‎【详解】‎ 解：∵满足x对应的元素是1，故l= 集合M中还有两个元素y和z， y可以和对应，也可以和对应, z可以和对应，也可以和对应, 每个元素有两种不同的对应， ∴共有2×2＝4种结果， 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查映射的个数，在两个集合中，若A集合有m个元素，B集合有n个元素，根据分步计数原理知，从集合A到集合B的映射的个数是nm．‎ ‎3．已知函数，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求出的值，然后根据的范围代入对应解析式求值．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查已知分段函数求函数值，是基础题．‎ ‎4．若函数的定义域为，则函数的定义域为（）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由函数的定义域求出2x−1的取值范围即可得到中x+1的范围，进一步求出x的范围即为定义域．‎ ‎【详解】‎ 解：∵函数的定义域为，即0≤x≤1， ∴−1≤2x−1≤1， 即函数中−1≤x+1≤1，‎ 解得：−2≤x≤0，‎ 则函数的定义域为． 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查与抽象函数有关的定义域的求法，是基础题．‎ ‎5．若函数满足，则的解析式为（）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】变形，即可直接求出函数的关系式．‎ ‎【详解】‎ 解：函数满足，‎ 则，且 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：利用恒等变换求函数的解析式．‎ ‎6．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？现有如下表示：已知，若，则整数的最小值为（）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】将选项中的数字带入集合A，B，C检验是否为A，B，C的元素，找出最小的一个即可．‎ ‎【详解】‎ 解：因为求整数的最小值，所以从最小的数开始带入检验即可：‎ 当=23时，，故；，故；，故，‎ ‎，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集的定义及运算，元素与集合的关系，利用排除法，可快速得出答案．‎ ‎7．若函数是定义在上的偶函数，则的值域为（）‎ A. B. C. D.无法确定 ‎【答案】A ‎【解析】根据函数奇偶性的性质，确定定义域的关系，然后根据方程，即可求出函数解析式，最后根据二次函数性质求值域．‎ ‎【详解】‎ 解：∵是定义在上的偶函数， ∴定义域关于原点对称，即1＋＋1＝0， ∴＝−2． 又， ， 即−＝解得＝0， ，定义域为[−1，1]， ， 故函数的值域为[−1，1]， 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数奇偶性的应用，函数奇偶性的性质是解决本题的关键．‎ ‎8．函数的单调减区间为（）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，求得函数的定义域，本题即求在定义域内的单调减区间．利用二次函数的性质可得在定义域 内的单调减区间．‎ ‎【详解】‎ 解：令，求得，故函数的定义域为， 本题即求在内的减区间． 利用二次函数的性质可得在内的减区间为， 即函数的单调减区间为， 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查根式函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，难度不大，但要注意，求单调区间，一定要先求函数定义域．‎ ‎9．已知函数，则函数的值域为（）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求出函数的定义域，结合函数单调性进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由，得，‎ 即函数的定义域为，‎ 又观察得函数在上递减，‎ 所以函数在上递减，‎ 所以函数的最大值为，最小值为，‎ 即函数的值域为，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数值域的计算，结合函数单调性与最值之间的关系是解决本题的关键．‎ ‎10．已知函数是定义域为的奇函数，满足，且，则（）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意确定函数f（x）是周期为4的周期函数，进而求出f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的值，结合周期性分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，定义域为的奇函数满足，‎ 即，‎ 变形可得：，则有，‎ 即函数时周期为4的周期函数，‎ 因为是定义域为的奇函数，则，‎ 则有，‎ ‎，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性与对称性的综合应用，涉及函数的周期性，属于基础题．‎ ‎11．已知函数满足：对任意的，均有，则实数的取值范围为（）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】先通过判断出在上单调递增，则分段函数每一段都单调递增，并且左边一段的最高点不能高于右边一段的最低点，列不等式组即可得出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 在上单调递增，‎ 解得：，故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的单调性，要特别注意，分段函数的单调性各段之间的最值关系，如果单调递减，左边一段的最低点不能低于右边一段的最高点，如果单调递增，左边一段的最高点不能高于右边一段的最低点．‎ ‎12．定义，若函数，则的最小值为（）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】先根据新定义求出，再画出其图像，根据图像可求出函数的最小值．‎ ‎【详解】‎ 解：函数，‎ 当，即，解得或 所以函数图像如图如下：‎ 结合图像可知，当时，函数有最小值，故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本体主要考查了函数的图象，以及函数求最值，同时考查了分析问题的能力和作图的能力，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2,4，x}，则x＝________.‎ ‎【答案】0,1或－2‎ ‎【解析】由已知得B⊆A，∴x2＝4或x2＝x，∴x＝0,1，±2，由元素的互异性知x≠2，∴x＝0,1或－2.‎ ‎14．已知函数和均为上的奇函数，若在上有最大值，则在上的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用和的奇偶性可判断的奇偶性，由在上的最大值可得的最大值，由其奇偶性可得在对称区间上的最值情况，从而可得的最值情况．‎ ‎【详解】‎ 解：由，得，‎ 和均为上的奇函数，‎ ‎，‎ 是奇函数，‎ 在上有最大值8，即，‎ ‎，又是奇函数，‎ 根据奇函数的对称性，当时，‎ 得，即在上的最小值为-12，‎ 故答案为：-12．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性及其应用，考查函数的最值求解，属基础题 ‎15．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据为定义在上的偶函数，以及在上单调递减，说明自变量离y 轴越近，函数值越大，另外不等式要满足原函数的定义域，几方面列不等式组即可求出的范围．‎ ‎【详解】‎ 解：为定义在上的偶函数，且在上单调递减，‎ 由得，，解得或，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查偶函数的定义，函数定义域的概念，以及根据函数单调性解不等式的方法．‎ ‎16．若函数的值域为，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由函数的值域为[0，＋∞），得 能够取到大于等于0的所有数，然后对m分类求解得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：函数的值域为[0，＋∞），‎ ‎∴能够取到大于等于0的所有数，‎ 当时，不合题意；‎ 当时，则，解得，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数值域的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知集合，‎ 求 若集合满足，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）先求出集合A，B，再求出的结果即可； （2）讨论的取值，其中等价于，求出时的取值范围即可 ‎【详解】‎ 解：由题意得，‎ 故 由，得 ‎（i）当时，符合题意 ‎（ii）当时，由得 故符合题意 综上：的范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题。‎ ‎18．已知函数 画出的图象（直接作出图象即可）；‎ 求函数的单调区间 ‎【答案】（1）作图见解析（2）单调增区间为和；无单调减区间 ‎【解析】（1）将变形为，利用图像的平移变换即可画出。‎ ‎（2）根据图形即可观察出单调区间。‎ ‎【详解】‎ 解：，可由向左平移一个单位，然后向上平移2个单位得到，如图：‎ 由（1）中图像可得单调增区间为和；无单调减区间.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分式函数图像的画法，以及通过观察图像得函数的性质，是基础题。‎ ‎19．已知函数 若，求和的值 当时，求函数在的最小值 ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由列方程组即可。‎ ‎（2）结合对勾函数的特点，通过对进行分类讨论，确定函数在上的单调性，从而求出最小值。‎ ‎【详解】‎ 解：由题意得：，解得 由知，‎ 由对勾函数图像性质知，在上单调递减，在上单调递增 ‎（i）当时，在上单调递减，故 ‎（ii）当时，在上单调递减，在上单调递增 综上：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对勾函数函数的单调性，对于函数，其在和上单调递增，在和上单调递减。‎ ‎20．已知函数为二次函数，且 求的解析式 若在的最小值为，求的值 ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）设，由，利用待定系数法，列方程组求出a，b，c的值，从而求出函数的解析式； （2）的图象是开口朝上，且以直线为对称轴的抛物线，分类讨论给定区间与对称轴的关系，可得不同情况下的方程，解方程即可．‎ ‎【详解】‎ 解：设 ‎，解得，‎ 的对称轴为 ‎（i）当，即时，在上单调递减，则 由得，舍去 ‎（ii）当，即时，在上单调递增，则 ‎，舍去 ‎（iii）当，即时 由得（舍去）‎ 综上：的值为 ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．‎ ‎21．已知函数 ‎（1）判断函数的单调性并用定义证明；‎ ‎（2）若对任意的恒成立，求的取值范围。‎ ‎【答案】（1）在上是减函数，证明见解析（2）‎ ‎【解析】（1）设且，作差后判断其符号即可证得在R上的单调性； （2）利用参数分离法将不等式恒成立，进行转化函数的最值问题，求m的取值范围；‎ ‎【详解】‎ 解：证明，任取，且，则 由，得 又 因为不能同时为零，所以 故，即 故在上是减函数 由题意易得，为上的奇函数，‎ 由，得 又由知，在上是减函数，‎ 故对任意的恒成立，‎ 即对任意的恒成立 而在上单调递减，故即可 即 ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数单调性的判断，以及不等式恒成立问题的求解，利用参数分离法是解决不等式恒成立问题的基本方法．‎ ‎22．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，‎ ‎（1）求函数在上的解析式；‎ ‎（2）是否存在非负实数，使得当时，函数的值域为若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由 ‎【答案】（1）（2）存在符合题意，详见解析 ‎【解析】（I）根据时的表达式，利用函数是定义在上的奇函数，求出当时的表达式，再由，即可写出函数分段函数形式的解析式； （2）假设存在满足条件的a，b， 由可得，由此可知在上的单调性，从而可以列方程求解。‎ ‎【详解】‎ 解：由题意，当时，‎ 则，由是定义在上的奇函数 得，且 综上：‎ 假设存在这样的符合题意，‎ 由题意知，‎ 由知，当时，，‎ 故，即，‎ 故在上单调递减，从而有 ‎，即是方程的两个根，解得 故假设成立，即存在符合题意。‎ ‎【点睛】‎ 本题着重考查了函数的奇偶性与单调性及其应用，特别是第（2）问，通过条件判断出，从而知道了在上的单调性，避免了分类讨论，属于中档题．‎