【数学】吉林省长春市实验中学2019-2020学年高一下学期期末考试（理）试卷

【数学】吉林省长春市实验中学2019-2020学年高一下学期期末考试（理）试卷

吉林省长春市实验中学2019-2020学年 高一下学期期末考试（理）试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷 选择题(60分)‎ 一、选择题(共12小题，每小题5分，计60分)‎ ‎1．已知数列满足，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（ ）‎ A．甲的极差是29 B．甲的中位数是23‎ C．甲罚球命中率比乙低 D．乙的众数是21‎ ‎3．将给定的9个数排成如图所示的数表，若每行3个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的3个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数，则表中所有数之和为（ ）‎ A．2 B．18 C．20 D．512‎ ‎4.若，则下列不等式中一定成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．6‎ ‎6．在一组样本数据为，，，（，，，，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线 上，则这组样本数据的相关系数为（ ）‎ A． B． C．1 D．-1‎ ‎7．在中，若则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.如图，第（1）个图案由1个点组成，第（2）个图案由3个点组成，第（3）个图案由7个点组成，第（4）个图案由13个点组成，第（5）个图案由21个点组成，，依次类推，根据图案中点的排列规律，第50个图形由多少个点组成（ ）‎ A．2449 B．2451 C．2455 D．2458‎ ‎9．如图，是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔，若某科研小组在坝底点测得，沿着坡面前进40米到达点，测得，则大坝的坡角（）的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．如图，已知面积为4，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2020个三角形面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时等于（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎12．设a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，，依次成公差不为0的等差数列，则（ ）‎ A．a，b，c依次成等差数列 B．，，依次成等差数列 C．，，依次成等比数列 D．，，依次成等比数列 第Ⅱ卷 非选择题(90分)‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，计20分）‎ ‎13.若实数满足，则的最小值是_________.‎ ‎14．某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么至多一名女生参加的概率为___________.‎ ‎15．已知，恒为正值，则实数的取值范围是________.‎ ‎16.已知正项数列的前项和为，且满足，则 ‎______（其中表示不超过的最大整数）.‎ 三.解答题（解答应有必要的文字说明和解题步骤，共计70分）‎ ‎17．(本小题10分) 已知一个几何体的三视图如图所示.‎ ‎（1）求此几何体的表面积；‎ ‎（2）在如图的正视图中，如果点为所在线段中点，点为顶点，求在几何体侧面上从点到点的最短路径的长.‎ ‎18．(本小题12分)某电讯企业为了了解某地区居民对电讯服务质量评价情况，随机调查100 名用户，根据这100名用户对该电讯企业的评分，绘制频率分布直方图，如图所示，其中样本数据分组为，，…….‎ ‎（1）估计该地区用户对该电讯企业评分不低于70分的概率，并估计对该电讯企业评分的中位数；(结果保留两位有效数字)‎ ‎（2）现从评分在的调查用户中随机抽取2人，求2人评分都在的概率.‎ ‎19．(本小题12分) 设函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若对于，恒成立，求的取值范围.‎ ‎20．(本小题12分)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：‎ 支付金额 支付方式 不大于2000元 大于2000元 仅使用A ‎27人 ‎3人 仅使用B ‎24人 ‎1人 ‎（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；‎ ‎（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；‎ ‎（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．‎ ‎21．(本小题12分) 中，角A，B，C所对的边分别为. ‎ 已知.‎ ‎（Ｉ）求的值；‎ ‎（II）求的面积.‎ ‎22．(本小题12分)在等比数列中,,且,又的等比中项为16.‎ ‎（1）求数列的通项公式:‎ ‎（2）设,数列的前项和为,是否存在正整数,使得 对任意恒成立.若存在,求出正整数的最小值;若不存在,请说明理由.‎ 参考答案 第Ⅰ卷 选择题(60分)‎ 一、选择题(共12小题，每小题5分，计60分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C C B C B D D B A B D B 二、填空题（共4小题，每小题5分，计20分）‎ ‎13.2 14. 15. 16.14‎ 三、解答题（解答应有必要的文字说明和解题步骤，共计70分）‎ ‎17. 【解】（1）由三视图知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱，‎ 其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和，即 ‎，，，‎ 所以.‎ ‎（2）沿点与点所在母线剪开圆柱侧面，如图：‎ 则，‎ 所以从点到点在侧面上的最短路径的长为.‎ ‎18. 【解】（1）由题意，该地区用户对该电讯企业评分的频率分布如下表：‎ 评分 频率 ‎0.04‎ ‎0.06‎ ‎0.20‎ ‎0.28‎ ‎0.24‎ ‎0.18‎ 因此可估计评分不低于70分的概率为；‎ 对该电讯企业评分的中位数设为x，可得，‎ 则，解得，‎ 所以可估计对该电讯企业评分的中位数为；‎ ‎（2）受调查用户评分在的有人，‎ 若编号依次为1，2，3，4，从中选2人的事件有、‎ ‎、、、、，共有个基本事件；‎ 受调查用户评分在的有人，‎ 若编号依次为1，2，3，..9，10，从中选2人，‎ 可得共有个基本事件；‎ 因此2人评分都在的概率.‎ ‎19.【解】（1），，.‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，原不等式为，该不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为；‎ ‎（2）由题意，当时，恒成立，‎ 即时，恒成立.‎ 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，‎ 所以，，因此，实数的取值范围是.‎ ‎20. 【解】（Ⅰ）由图表可知仅使用A的人数有30人，仅使用B的人数有25人，‎ 由题意知A,B两种支付方式都不使用的有5人，‎ 所以样本中两种支付方式都使用的有，‎ 所以全校学生中两种支付方式都使用的有（人）.‎ ‎（Ⅱ）因为样本中仅使用B的学生共有25人，只有1人支付金额大于2000元，‎ 所以该学生上个月支付金额大于2000元的概率为.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知支付金额大于2000元的概率为，‎ 因为从仅使用B的学生中随机调查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，且比上个月多.‎ ‎21. 【解】（I）在中，由题意知，‎ 又因为，所以，‎ 由正弦定理可得.‎ ‎（II）由得，‎ 由,得.‎ 所以 ‎.‎ 因此，的面积.‎ ‎22. 【解】（1）设等比数列的公比为，∵的等比中项为16．‎ ‎∴，又，，∴，∴．‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴数列为等差数列，且．‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴，∴存在满足题意得，且的最小值为3．‎