2020届二轮复习等差、等比数列前n项和学案（全国通用）

2020届二轮复习等差、等比数列前n项和学案（全国通用）

等差、等比数列的前n项和 ‎【考纲要求】‎ ‎1．熟练掌握等差数列的求和公式以及公式特点，并能熟练应用；‎ ‎2．熟练掌握等比数列的求和公式以及公式特点，并能熟练应用；‎ ‎3．掌握数列的通项an与前n项和Sn之间的关系式。‎ ‎【知识网络】‎ 等差、等比数列的前n项和 等比数列的求和公式 等差数列的求和公式 ‎【考点梳理】‎ 数列的求和问题 388559 知识要点】‎ 知识点一：数列的前项和的相关公式 ‎1.等差数列的前项和公式：‎ ‎（为常数）‎ 当时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；‎ 当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式.‎ ‎2.等比数列的前项和公式：‎ 当时，，，‎ 当时，‎ ‎3.任意数列的第项与前项和之间的关系式：‎ ‎【典型例题】‎ 类型一：等差数列的前n项和公式及其性质 例1.等差数列的前30项之和为50，前50项之和为30，求。‎ ‎【思路分析】根据等差数列前n项公式，整体代入，或者应用公式。‎ ‎【解析】法一: ∵为等差数列， ∴,‎ ‎ ∴ ‎ ‎ (2)-(1)有， 即 ‎ ‎ ∴ 。‎ 法二: ∵为等差数列， ∴,‎ ‎ ∴ 即 ‎ ‎ ∴ (2)-(1)有：‎ ‎ 即, ∴,‎ ‎ ∴。‎ 法三:∵为等差数列， ∴，,‎ ‎ ∵,,…, 也为等差数列，‎ ‎ ∴ ,‎ ‎ ∴ ,‎ ‎ ∴ .‎ ‎【总结升华】法一、二均可用方程思想求出A、B、、d来，然后求未知，运算量则相对很大，此时要注意整体思想的运用。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】设等差数列的前项和为，若，，则（ ）‎ A．63 B．45 C．36 D．27 ‎ ‎【解析】法一：依据已知有：即 解得，所以。‎ 法二：依据等差数列的性质有：连续三项和也成等差数列 ‎、、成等差数列，‎ 所以，‎ 有，故选B 例2.（2017 桂林模拟）等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且，则使得为整数的正整数的n的个数是（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【思路分析】需要把所求的等差数列的项的比值的问题转化为前n项和的比值的问题。‎ ‎【解析】∵等差数列{an}、{bn}，‎ ‎∴，，‎ ‎∴‎ 又 ‎∴‎ 经验证，当n=1，3，5，13，35时，为整数，‎ 则使得为整数的正整数的n的个数是5．‎ 故选C．‎ ‎【总结升华】由于等差数列中，所以已知等差数列、的前n项和分别为和，则(1) ，(2) 。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】等差数列中，若, 则_________.‎ ‎【解析】由，得.‎ ‎【变式2】已知两等差数列、的前项和分别为、，且，则= .‎ ‎【解析】.‎ 类型二：等差数列求和公式的应用 等差数列382420 典型例题三】‎ 例3．设为数列的前n项和，且.求证：数列为等差数列．‎ ‎【思路分析】判断一个数列是否等差数列，可以参考考点梳理中罗列的方法。‎ 证明：由得，所以 整理得，又得 相减并整理得: ‎ 所以数列是个等差数列 举一反三：‎ ‎【变式1】设{an}是等差数列,证明以bn=(n∈N*)为通项公式的数列{bn}是等差数列.‎ 证法一:设等差数列{an}的公差是d(常数),‎ 当n≥2时，‎ ‎=-‎ ‎=‎ ‎ = =‎ ‎ = (常数)‎ ‎∴{bn}是等差数列.‎ 证法二:等差数列{an}的前n项和,‎ ‎ ∴bn=‎ ‎ ∴{bn}是等差数列.‎ ‎【总结升华】判断或证明数列是等差数列的方法有:‎ ‎ (1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*){an}是等差数列;‎ ‎ (2)中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*){an}是等差数列;‎ ‎ (3)通项公式法:an=kn+b(k、b是常数)(n∈N*){an}是等差数列;‎ ‎ (4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A、B是常数)(n∈N*){an}是等差数列.‎ ‎【变式2】已知数列{an}，an∈N*，Sn =，求证：{an}是等差数列；‎ ‎【答案】an+1 = Sn+1–Sn,‎ ‎∴8an+1 =,‎ ‎∴,‎ ‎∴，‎ ‎∵an∈N*，∴，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴数列{an}是等差数列.‎ 例4．等差数列的前n项和为 ,若,,.‎ ‎（1）求公差d的取值范围；‎ ‎（2）n为何值时，Sn最大，并说明理由。‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由 又由得代入不等式组 ‎∴， 解出 ‎（2）方法一：由（1）知：且 ‎ ‎∴数列是递减数列，‎ 由得 ‎∴ 即，‎ ‎∴中最后一个正数项是，开始为负数项 ‎∴当n=6时，最大.‎ 方法二：由（1）知：且 ‎ ‎∴数列是递减数列，‎ 若要最大，需确定数列中最后一个非负数项是第几项.‎ 由 ∴即, ∴‎ 由 ， ∴, 即, ∴, ∴‎ ‎∴中最后一个正数项是，开始为负数项 ‎ ‎∴当n=6时，最大.‎ 方法三：‎ ‎∵ d<0, ∴当最小时有最大值，‎ 当时，‎ ‎∴当n=6时最小，即最大，‎ 方法四：是等差数列，故设，如图所示 ‎∵,，‎ ‎∴抛物线与x轴的另一个交点在n=12与n=13之间。‎ ‎∴对称轴l的位置在6与6.5之间，‎ 易知n=6对应的A点与对称轴的距离比n=7对应的点B与对称轴的距离要近，‎ 故A为最高点，最大。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】在等差数列中，，，求当为何值时，最小。‎ ‎【解析】法一：∵，∴‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，∴‎ ‎∴均为负数，，而以及以后各项都为正数，‎ ‎∴当或时，有最小值为。‎ 法二：设数列的公差为，则 由，得，‎ 即，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴当或时，有最小值为。‎ 类型三、等比数列的前n项和公式及其性质 数列的概念388518 典型例题二】‎ 例5.设为等比数列的前n项和，已知,则公比q＝(　　)‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ 答案：B 解析：，两式相减：‎ 所以 举一反三 ‎【变式】等比数列中，若,求.‎ 解析：∵是等比数列，∴‎ ‎∴ ‎ 类型四：等比数列求和公式的应用 例6．已知数列{an}的前n项和Sn满足：log5(Sn+1)=n(n∈N+),求出数列{an}的通项公式，并判断{an}是何种数列？‎ ‎【思路分析】判断一个数列是什么类型的数列，应该从等差、等比数列的概念出发。‎ 解析：∵log5(Sn+1)=n,∴Sn+1=5n,∴Sn=5n-1 (n∈N+), ‎ ‎∴a1=S1=51-1=4,‎ 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=4×5n-1‎ 而n=1时，4×5n-1=4×51-1=4=a1,‎ ‎ ∴n∈N+时，an=4×5n-1‎ 由上述通项公式，可知{an}为首项为4，公比为5的等比数列.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知数列{Cn}，其中Cn=2n+3n，且数列{Cn+1-pCn}为等比数列，求常数p。‎ 解析：p=2或p=3；‎ ‎∵{Cn+1-pCn}是等比数列，‎ ‎∴对任意n∈N且n≥2，有(Cn+1-pCn)2=(Cn+2-pCn+1)(Cn-pCn-1)‎ ‎∵Cn=2n+3n,∴[(2n+1+3n+1)-p(2n+3n)]2=[(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)]·[(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)]‎ 即[(2-p)·2n+(3-p)·3n]2=[(2-p)·2n+1+(3-p)·3n+1]·[(2-p)·2n-1+(3-p)·3n-1]‎ 整理得：,解得：p=2或p=3,‎ 显然Cn+1-pCn≠0，故p=2或p=3为所求.‎ ‎【变式2】设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，Cn=an+bn,证明数列{Cn}不是等比数列.‎ 证明：设数列{an}、{bn}的公比分别为p, q，且p≠q 为证{Cn}不是等比数列，只需证.‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ 又∵ p≠q, a1≠0, b1≠0,‎ ‎∴即 ‎∴数列{Cn}不是等比数列.‎ 例7(2018 浙江高考)已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1（n∈N*）‎ ‎（Ⅰ）求an与bn；‎ ‎（Ⅱ）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn．‎ 解：（Ⅰ）由a1=2，an+1=2an，得．‎ 由题意知，当n=1时，b1=b2﹣1，故b2=2，‎ 当n≥2时，b1+b2+b3+…+=bn﹣1，和原递推式作差得，‎ ‎，整理得：，‎ ‎∴；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ 因此 ‎，‎ 两式作差得：，‎ ‎（n∈N*）．‎ ‎【举一反三】‎ ‎【变式】（2018 河北高考）Sn为数列{an}的前n项和，己知an＞0，an2+2an=4Sn+3‎ ‎（I）求{an}的通项公式：‎ ‎（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和．‎ 解：（I）由an2+2an=4Sn+3，可知an+12+2an+1=4Sn+1+3‎ 两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）=4an+1，‎ 即2（an+1+an）=an+12﹣an2=（an+1+an）（an+1﹣an），‎ ‎∵an＞0，∴an+1﹣an=2，‎ ‎∵a12+2a1=4a1+3，‎ ‎∴a1=﹣1（舍）或a1=3，‎ 则{an}是首项为3，公差d=2的等差数列，‎ ‎∴{an}的通项公式an=3+2（n﹣1）=2n+1：‎ ‎（Ⅱ）∵an=2n+1，‎ ‎∴bn===（﹣），‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn=（﹣+…+﹣）=（﹣）=．‎