湖南省长沙市明德中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

湖南省长沙市明德中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com 明德中学2019年下学期期末考试 高一年级数学试卷 一、选择题，本题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，是由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，故可以排除A，再找出集合A与集合B所共有的元素，即可得出答案。‎ ‎【详解】根据题意，是一个集合，而不是一个元素，故选项A错误；，其中属于集合A且属于集合B的元素只有2，故由元素2组成的集合为，因此选项C、D错误。‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查集合的相关知识以及交集的概念，应特别注意，两个集合取交集的结果仍为集合。‎ ‎2.的值为（ ）‎ A. －2 B. 2 C. －4 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由幂的运算法则计算．‎ ‎【详解】．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查幂的运算法则，属于基础题．‎ ‎3.已知点，，则线段的中点的坐标为（     ）‎ - 16 -‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用中点坐标公式求解即可.‎ ‎【详解】解：因为点，，‎ 线段的中点的坐标为，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查中点坐标公式，是基础题.‎ ‎4.已知函数，则（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分段函数分别求得与的值，从而计算结果．‎ ‎【详解】f(9)＝log39＝2，f(0)＝20＝1，‎ ‎∴f(9)＋f(0)＝3.‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数求值以及指数、对数的运算问题，是基础题．‎ ‎5.已知圆的方程为，则圆心坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化成标准式，即得圆心坐标.‎ ‎【详解】‎ - 16 -‎ 因此圆心坐标为.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查圆一般方程化为标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎6.下列函数中，是偶函数且在区间上为增函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析各选项中函数的奇偶性以及各函数在区间上的单调性，可得出正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，函数为非奇非偶函数，且在区间上为减函数；‎ 对于B选项，函数为非奇非偶函数，且在区间上为增函数；‎ 对于C选项，函数为奇函数，且在区间上为减函数；‎ 对于D选项，函数为偶函数，且在区间上为增函数.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查基本初等函数奇偶性与单调性的判断，熟悉常见的基本初等函数的单调性与奇偶性是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎7.已知，则直线与直线的位置关系是（ ）‎ A. 平行 B. 相交或异面 C. 异面 D. 平行或异面 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用直线与平面平行的性质定理以及定义，推出结果即可．‎ ‎【详解】∵a∥α，∴a与α没有公共点，∵b⊂α，∴a、b没有公共点，‎ ‎∴a、b平行或异面．‎ - 16 -‎ 故答案为D ‎【点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系的判断与应用，基本知识的考查．‎ ‎8.直线x﹣y+3＝0的倾斜角是（ ）‎ A. 30° B. 45° C. 60° D. 150°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求斜率，再求倾斜角即可．‎ ‎【详解】解：直线的斜截式方程为，‎ ‎∴直线的斜率，‎ ‎∴倾斜角，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与斜率，属于基础题．‎ ‎9.两圆和的位置关系是（）‎ A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆的方程可得两圆圆心坐标和半径；根据圆心距和半径之间的关系，即可判断出两圆的位置关系.‎ ‎【详解】由圆的方程可知，两圆圆心分别为：和；半径分别为：，‎ 则圆心距：‎ ‎ 两圆位置关系为：相交 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查圆与圆位置关系的判定；关键是明确两圆位置关系的判定是根据圆心距与两圆半径之间的长度关系确定.‎ ‎10.在正三棱锥中，三条侧棱两两垂直，底面边长，则正三棱锥 - 16 -‎ 的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可得正三棱锥各顶点在以棱长为的正方体上,根据正方体体对角线等于外接球直径求解即可.‎ ‎【详解】由题得, 正三棱锥各顶点在以棱长为的正方体上,故正三棱锥的外接球外正方体的外接球,又,故,故体对角线即球直径,故正三棱锥的外接球的表面积为 ‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了墙角三棱锥的外接球表面积问题,属于基础题型.‎ ‎11.点P在正方体侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持AP⊥BD1，则点P的轨迹为 (　 　)‎ A. 线段B1C B. BB1的中点与CC1的中点连成的线段 C. 线段BC1‎ D. BC中点与B1C1的中点连成的线段 ‎【答案】A - 16 -‎ ‎【解析】‎ ‎∵AP⊥BD1恒成立，‎ ‎∴要保证AP所在的平面始终垂直于BD1．‎ ‎∵AC⊥BD1，AB1⊥BD1，AC∩AB1＝A，‎ ‎∴BD1⊥面AB1C，∴P点在线段B1C上运动．故选A．‎ ‎12.对于实数和，定义运算“”：，设函数，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分类讨论求出，作出图像，根据的图像可得结果.‎ ‎【详解】当，即时，；‎ 当，即或时，，‎ ‎∴，‎ - 16 -‎ 的图象如图所示，‎ ‎ ，‎ ‎，，，‎ 观察图像得，若直线与的图象有两个交点，‎ 则或.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查函数图像交点个数问题，关键是准确画出函数图像，是中档题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.若则x=__________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用指对互化可得解.‎ ‎【详解】由得 ‎ 故答案为：4‎ ‎【点睛】本题主要考查了指对互化的运用，是简单题.‎ ‎14.直线l过点且与直线垂直，则直线l的方程是______．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为﹣3x﹣2y+c=0‎ - 16 -‎ ‎，再把点（﹣1，2）代入，即可求出c值，得到所求方程．‎ ‎【详解】∵所求直线方程与直线2x﹣3y+4=0垂直，∴设方程为﹣3x﹣2y+c=0‎ ‎∵直线过点（﹣1，2），∴﹣3×（﹣1）﹣2×2+c=0‎ ‎∴c=1‎ ‎∴所求直线方程为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了互相垂直两直线方程之间的关系，以及待定系数法求直线方程，属于基础题．‎ ‎15.圆柱的高是，底面圆的半径是，则圆柱的侧面积是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接把圆柱的高、底面圆的半径代入圆柱侧面积公式中，求出圆柱的侧面积.‎ ‎【详解】因为圆柱的侧面积公式为:，（其中分别是圆柱底面的半径和圆柱的母线），因为圆柱的高是，所以圆柱的母线也是，因此圆柱的侧面积为.‎ ‎【点睛】本题考查了圆柱的侧面积公式，属于基础题.‎ ‎16.圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上的点到直线x+y﹣14＝0的最大距离是_____．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先写出圆的标准方程，得圆心和半径，由几何法即可求出圆上的点到直线的最大距离．‎ ‎【详解】解：把圆的方程化为：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝18，‎ ‎∴圆心A坐标为（2，2），半径，‎ 由几何知识知过A与直线x+y﹣14＝0垂直的直线与圆的交点到直线的距离最大或最小，‎ ‎∴最大距离，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合思想，属于基础题．‎ - 16 -‎ 三、解答题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤．‎ ‎17.已知集合，，且，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，，解得，当时，，无解，由此可以得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】集合，，且，‎ 当时，，解得；‎ 当时，，无解.‎ 综上，实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查集合包含关系的判断及应用，应分类讨论集合是否为空集，属于基础题.‎ ‎18.如图所示，四棱锥V－ABCD的底面为边长等于2 cm的正方形，顶点V与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长VC＝4 cm，求这个四棱锥的体积.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：连AC、BD相交于点O，连VO，求出VO，则VV-ABCD=SABCD•VO，由此能求出这个四棱锥的体积． ‎ 试题解析：‎ - 16 -‎ 如图，连接AC、BD相交于点O，连接VO，‎ ‎∵AB＝BC＝2 cm，在正方形ABCD中，求得CO＝cm，又在直角三角形VOC中，‎ 求得VO＝cm，∴VV－ABCD＝SABCD·VO＝×4×＝ (cm3)．‎ 故这个四棱锥的体积为cm3.‎ ‎19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.‎ ‎（1）求证：PE⊥BC；‎ ‎（2）求证：EF∥平面PCD.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先证明平面PE⊥BC即得证.(2) 取中点，连接.证明，再证明EF∥平面PCD.‎ ‎【详解】（1）∵，且为的中点，∴.‎ ‎∵平面平面，平面平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎∵面，∴PE⊥BC.‎ ‎（2）如图，取中点，连接.‎ - 16 -‎ ‎∵分别为和的中点，∴，且.‎ ‎∵四边形为平行四边形，且为的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴，且，∴四边形为平行四边形，‎ ‎∴.‎ 又平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.‎ ‎20.已知的三个顶点.求：‎ ‎（1）边上高所在的直线方程；‎ ‎（2）边中线所在的直线方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得高所在的直线的斜率，进而得出点斜式．‎ ‎（2）利用中点坐标公式可得边的中点，利用两点式即可得出．‎ ‎【详解】解：（1）‎ 又因为垂直 ‎，‎ - 16 -‎ 直线的方程为，‎ 即；‎ ‎（2）边中点E，中线的方程为，‎ 即 ‎【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、两点式、一般式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎21.已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积．‎ ‎【答案】（1）（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25．（2）12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出半径，从而可得圆的标准方程；‎ ‎（2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理求出弦长，从而可求出面积．‎ ‎【详解】解：（1）圆C的半径为 ，‎ 从而圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25；‎ ‎（2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，‎ 在直角三角形ADC中，由点到直线的距离公式，得|CD|＝3，‎ 所以，‎ - 16 -‎ 所以|AB|＝2|AD|＝8，‎ 所以△ABC的面积．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．‎ ‎22.已知函数为奇函数，，其中.‎ ‎（1）若函数的图像过点，求实数和的值；‎ ‎（2）若，试判断函数在上的单调性并证明；‎ ‎（3）设函数，若对每一个不小于3的实数，都恰有一个小于3的实数，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ; (2)在上单调递增;‎ ‎(3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由奇函数可得,再代入即可.‎ ‎(2)设再计算的正负即可判断单调性.‎ ‎(3)由题意可分,与三种情况进行讨论再根据与的值域关系进行不等式求解.‎ ‎【详解】(1)因为为奇函数,故,又函数的图像过点故.即.‎ ‎(2)由题,,‎ 当时, ,设,‎ - 16 -‎ 则 因为,故,,,‎ 故.所以 故在上单调递增.‎ ‎(3)当时, ‎ 当时,‎ ‎1.当时,, ,又,‎ 不满足条件,‎ ‎2.当时, ,,‎ 又,,‎ 由题意恒成立,故满足条件.‎ ‎3.当时 ,,‎ ‎,,‎ - 16 -‎ 由题意有,此时，即 令函数,易得为减函数且.‎ 则解可得.此时 综上 ‎【点睛】本题主要考查了奇函数的运用与单调性的证明,同时也考查了分段函数的分段与参数的讨论等,其中题目中有“对每一个不小于3的实数，都恰有一个小于3的实数，使得成立”可考虑到分三种情况讨论,属于难题.‎ - 16 -‎ ‎ ‎ - 16 -‎