【数学】广东省东莞市2019-2020学年高一上学期期末考试试题（解析版）

【数学】广东省东莞市2019-2020学年高一上学期期末考试试题（解析版）

www.ks5u.com 广东省东莞市2019-2020学年 高一上学期期末考试试题 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．‎ ‎1.已知全集，集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，，‎ 所以，又，‎ 所以，‎ 故选：C ‎2.直线的倾斜角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，，‎ 由，，‎ 故选：A ‎3.下列函数中，与函数()的值域不相同的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数()的值域为.‎ 对于A，值域为；‎ 对于B， 值域为；‎ 对于C，值域为；‎ 对于D，值域为；‎ 故选：D ‎4.已知，，，则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，，，‎ ‎，故选：A ‎5.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由几何体的三视图可知：‎ 几何体是以为边长为正方体挖去一个底边半径为，高为的圆锥，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎6.东莞某中学高一（1）班组织研学活动，分别是11月16日参观“大国重器”散裂中子源中心和11月17日参观科技强企华为松山湖总部，两个活动各有30个参加名额的限制. 为公平起见，老师组织全班50名上报名，经过同学们激烈抢报，活动所有名额都被抢完，且有12名学生幸运地抢到了两个活动的参加名额，则有（ ）名学生遗憾地未能抢到任何一 个活动的参加名额.‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出韦恩图如下：‎ 由图可知，故选：B ‎7.已知直线与直线垂直，则（ ）‎ A. 或 B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由直线与直线垂直，‎ 所以，解得或.‎ 故选：A.‎ ‎8.设表示不同的直线，表示不同的平面，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 ‎【答案】D ‎【解析】对于A，若，，则平行、相交、异面均有可能，故A不对；‎ 对于B，若，，则可能垂直、平行，也可能在面内，故B不对；‎ 对于C，若，，则平行、相交，故C不对；‎ 对于D，若，，，由面面垂直的判定定理，则，故D对； ‎ 故选：D ‎9.方程的根所在区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，‎ 由，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，且函数单调递增，‎ 零点所在的区间为，‎ 故方程的根所在区间为.‎ 故选：B ‎10.小红去礼品店给大毛买了一盒生日礼物，礼盒是长、宽、高分别为、、的长方体.为美观起见，礼品店服务员用彩绳做了一个新颖的捆扎.如图所示，彩绳以A为起点，现沿着环绕礼盒进行捆扎，其 中、、、分别为下底面各棱的中点，分别为上底面各棱上一点，则所用包装彩绳的最短长度为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由图根据对称性，‎ 用绳最短即最小，且，使最小 如图，过作垂直于点所在的边于点，‎ 长方体的长、宽、高为、、，‎ 设，‎ 则，‎ ‎，‎ 令，则，解得， ‎ 令，则，解得 ‎ 令，则，解得，‎ 故在单调递减，在单调递增，‎ 所以.‎ 又 ，所以用绳最短为.‎ 故选：B 二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．‎ ‎11.函数（其中）的图象不可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，‎ 则当时，函数在为增函数，在为减函数，在为增函数，即选项D满足题意； ‎ 当时，函数在为增函数，在为减函数，即选项A满足题意；‎ 当时，函数在为减函数，在为减函数，在为增函数，即选项B满足题意，‎ 即函数（其中）的图像不可能是选项C，‎ 故选：C.‎ ‎12.如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 四点共面 B. 平面平面 C. 直线与所成角的为 D. 平面 ‎【答案】BC ‎【解析】对于A，由图显然、是异面直线，故四点不共面，故A错误；‎ 对于B，由题意平面，故平面平面，故B正确；‎ 对于C，取的中点，连接、，可知三角形为等边三角形，故C正确； ‎ 对于D，平面，显然与平面不平行，故D错误；‎ 故选：BC.‎ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上．‎ ‎13.函数的定义域是__________.（结果写成集合或区间）‎ ‎【答案】且 ‎【解析】使函数有意义，即，‎ 解得且，故函数的定义域为且.‎ 故答案为：且.‎ ‎14.已知直线与平行，则与之间的距离为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由直线与平行，‎ 则，即，故直线，化为，‎ 又，故与之间的距离为，‎ 故答案为：‎ ‎15.我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，平面，，，，则该“阳马”外接球的表面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，以，，为棱作长方体，‎ 长方体的对角线即为外接球的直径，‎ 设外接球的半径为，则 故.故答案为：.‎ ‎16.已知点. 若从点射出的光线经直线反射后过点 ‎，则反射光线所在直线的方程为_____________；若从点射出 的光线经直线反射，再经直线反射后回到点，则光线所经过的路程是__________（结果用表示）.‎ ‎【解析】设点关于直线的对称点为，直线：，‎ 所以解得，，故，由 ‎：，即. ‎ 点关于轴对称点，设关于直线对称点， ‎ 由解得，，故.‎ 故 ‎ 故答案为：；‎ 四、解答题: 本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．‎ ‎17.已知集合，.‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【解】（1）由题意可知， ‎ 当 ‎ ‎ ‎ ‎（2），，‎ ‎，.‎ ‎18.已知的三个顶点是，，.‎ ‎（1）求边的垂直平分线方程；‎ ‎（2）若的面积为，求实数的值.‎ ‎【解】（1），线段的中点坐标为 ‎ 记边的垂直平分线为，则，‎ ‎，得，‎ 线段的垂直平分线的方程为，‎ 即. ‎ ‎（2） ‎ 直线，即 ‎ 设点到直线的距离为，则， ‎ ‎， ‎ ‎，或.‎ ‎19.如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，，分别为棱，，的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，求三棱锥的体积；‎ ‎（3）判断直线与平面的位置关系，并说明理由.‎ ‎【解】证明：（1）‎ 平面平面 ，‎ ‎，点为的中点， ‎ 又，面 ‎ 平面 ‎ 又平面 ‎ ‎，即 ‎ ‎（2），故，‎ ‎ ‎ 三棱柱中，侧棱底面，平面 ‎ 平面, ‎ 又平面 ‎ 即为三棱锥的高 ‎ ‎（3）平面，证明如下：‎ 连接，记与相交于点 ,连接 分别为和的中点，‎ 故 四边形为平行四边形，为中点，‎ 又为中点，，‎ 平面，平面，平面 ‎20.已知函数.‎ ‎（1）判断单调性，并说明理由；‎ ‎（2）判断的奇偶性，并用定义证明；‎ ‎（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【解】（1）是定义域R上的增函数. ‎ 设任意的，且，则 ‎， ‎ 因为,所以，又，‎ 所以，即，‎ 所以是定义域R上的增函数. ‎ ‎（2）是奇函数. ‎ 证明：因为，定义域R关于原点对称，‎ 所以对任意，都有，‎ 所以是奇函数. ‎ ‎（3）由（2）知为上的奇函数，‎ 所以不等式对任意恒成立，‎ 等价于对任意恒成立. ‎ 又由（1）知，在定义域上单调递增，‎ 得对任意恒成立即对任意恒成立. ‎ 设,则，‎ 故在上的最大值为， 所以实数的取值范围为.‎ ‎21.对于一个具有正南正北、正东正西方向规则布局的城镇街道，从一点到另一点的距离是在南北方向上行进的距离加上在东西方向上行进的距离，这种距离即“曼哈顿距离”，也叫“出租车距离”.对于平面直角坐标系中的点和，两点间的“曼哈顿距离”.‎ ‎（1）如图，若为坐标原点，，两点坐标分别为和，求，，；‎ ‎（2）若点满足，试在图中画出点的轨迹，并求该轨迹所围成图形的面积；‎ ‎（3）已知函数，试在图象上找一点，使得最小，并求出此时点的坐标.‎ ‎【解】（1）由题得， ‎ ‎，.‎ ‎（2）设点坐标为，因为点满足， ‎ 则，点的轨迹为如图所示正方形（说明：画出图形即可，不用说明理由）‎ 该正方形所围成图形的面积. ‎ ‎（3）设点坐标为，则由题，‎ 因为，.‎ 设，任取，且，‎ 则 ‎，‎ ‎，且，，‎ ‎，在上是减函数，‎ 当，即点的坐标为时，，即最小为4.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）求函数的零点；‎ ‎（2）若关于的方程()恰有个不同的实数解，求实数的取值范围.‎ ‎【解】（1）由题得 ‎ ‎①当时，令，得或（舍）；‎ ‎②当时，令，得或，‎ 函数的零点是，，.‎ ‎（2）作出函数的大致图象，如图：‎ 令，若关于的方程恰有5个不同的实数解 解法一：则函数的零点分布情况如下：‎ ‎①当，时，则，得，故；‎ ‎②当，时，则，得，故.‎ 综上所述，实数的取值范围为. ‎ 解法二：则方程的根的情况如下：‎ ‎①当，时，由得，‎ 则方程，即，‎ 故，所以；‎ ‎②当，时，由得，‎ 则方程，即，‎ 故，所以.‎ 综上所述，实数的取值范围为.‎