高中数学必修4：2_2_1向量的加法运算及其几何意义（教、学案）

高中数学必修4：2_2_1向量的加法运算及其几何意义（教、学案）

‎2. 2.1‎‎ 向量的加法运算及其几何意义 教学目标：‎ ‎1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； ‎ ‎2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； ‎ ‎3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；‎ 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.‎ 教学难点：理解向量加法的定义.‎ 学 法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.‎ 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学过程：‎ 一、设置情景：‎ 1、 复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 A B C 2、 情景设置：‎ ‎（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，‎ C A B ‎ 则两次的位移和：‎ ‎（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，‎ A B C ‎ 则两次的位移和：‎ ‎（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，‎ A B C ‎ 则两次的位移和：‎ ‎（4）船速为，水速为，则两速度和：‎ 二、探索研究：‎ ‎１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.‎ ‎２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）‎ 如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ，规定： a + 0-= 0 +a ‎ a a A B C a+b a+b a a b b a ｂ ｂ ａ＋ｂ a 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；‎ ‎（2）当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|<||+||；‎ O A B a a a b b b ‎（3）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.‎ ‎（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加 ‎３．例一、已知向量、，求作向量+‎ ‎ 作法：在平面内取一点，作 ，则.‎ ‎４．加法的交换律和平行四边形法则 问题：上题中+的结果与+是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）‎ ‎ ２）向量加法的交换律：+=+‎ ‎５．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)‎ 证：如图：使， ， ‎ 则(+) +=，+ (+) =‎ ‎∴(+) +=+ (+)‎ 从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.‎ 三、应用举例：‎ 例二（P94—95）略 练习：P95‎ 四、小结 ‎ ‎1、向量加法的几何意义；‎ ‎２、交换律和结合律；‎ ‎３、注意：|+| ≤ || + ||，当且仅当方向相同时取等号.‎ 五、课后作业：‎ P103第２、３题 六、板书设计（略）‎ ‎2.2.1‎‎ 向量的加法运算及其几何意义 课前预习学案 预习目标：‎ 通过复习提问回顾向量定义及有关概念；利用问题情景提出向量加法运算、给出实际背景。‎ 预习内容：‎ 1、 复习：提问向量的定义以及有关概念。‎ 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 A B C ‎2、情景设置：‎ ‎（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，‎ C A B ‎ 则两次的位移和： 。‎ ‎（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，‎ A B C ‎ 则两次的位移和： 。‎ ‎（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，‎ A B C ‎ 则两次的位移和： 。‎ ‎（4）船速为，水速为，则两速度和：‎ ‎ 。‎ ‎3、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 学习目标 ‎1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； ‎ ‎2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； ‎ ‎3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；‎ 学习过程：‎ ‎１、向量的加法： 叫做向量的加法.‎ ‎２、三角形法则（“ ”）‎ 如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ，规定： 。 ‎A B C a+b a+b a a b b a ｂ ｂ ａ＋ｂ a 探究：（1）两相向量的和仍是 ；‎ ‎（2）当向量与不共线时，+的方向 ，且|+| ||+||；‎ O A B a a a b b b ‎（3）当与同向时，则+、、 且|+| ||+||，当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+| ||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+b| ||-||.‎ ‎（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加 ‎３．例1、已知向量、，求作向量+‎ ‎ ‎ 作法：‎ ‎４．加法的交换律和平行四边形法则 问题：上题中+的结果与+是否相同？ ‎ 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）‎ ‎ ２）向量加法的交换律： ‎ ‎５．向量加法的结合律： ‎ 证：‎ ‎6、应用举例：‎ 例二（P94—95）‎ 练习：P95‎ 课后练习与提高 ‎1、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为，求水流的速度.‎ ‎2、一艘船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为‎8km，求河水的流速.‎ ‎3、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和.‎ ‎4、一艘船以‎5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为‎2km/h，则船的实际航行速度大小最大是km/h，最小是km/h ‎５、已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60，|F|=10N求F1和F2的大小.‎ ‎６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 ‎ ‎ 参考答案：略