高中数学必修4教案：8_备课资料（2_4_2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角）
备课资料
一、|a·b|≤|a||b|的应用
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则平面向量的数量积的性质|a·b|≤|a||b|的坐标表示为x1x2+y1y2≤≤(x12+y12)(x22+y22).
不等式(x1x2+y1y2)2≤(x12+y12)(x22+y22)有着非常广泛的应用,由此还可以推广到一般(柯西不等式):
(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn).
例1 已知实数x,y满足x+y-4=0,则x2+y2的最小值是______;
(2)已知实数x,y满足(x+2)2+y2=1,则2x-y的最大值是_______.
解析:(1)令m=(x,y),n=(1,1).
∵|m·n|≤|m||n|,∴|x+y|≤,
即2(x2+y2)≥(x+y)2=16.∴x2+y2≥8,故x2+y2的最小值是8.
(2)令m=(x+2,y),n=(2,-1),2x-y=t.
由|m·n|≤|m||n|,得|2(x+2)-y|≤
解得.故所求的最大值是-4.
答案:(1)8 (2)-4
例2 已知a,b∈R,θ∈(0,),试比较与(a+b)2的大小.
解:构造向量m=(),n=(cosθ,sinθ),由|m·n|≤|m||n|得
()2≤()(cos2θ+sin2θ),
∴(a+b)2≤.
同类变式:已知a,b∈R,m,n∈R,且mn≠0,m2n2>a2m2+b2n2,令M=,比较M、N的大小.
解:构造向量p=(),q=(n,m),由|p·q|≤|p||q|得
()2≤()(m2+n2)=(m2+n2)
N.
例3 设a,b∈R,A={(x,y)|x=n,y=na+b,n∈Z},B={(x,y)|x=m,y=3m2+15,m∈Z},
C={(x,y)|x2+y2≤144}是直角坐标平面xOy内的点集,讨论是否存在a和b,使得A∩B=与(a,b)∈C能同时成立.
解:此问题等价于探求a、b是否存在的问题,它满足
设存在a和b满足①②两式,构造向量m=(a,b),n=(n,1).
由|m·n|2≤|m|2|n|2得(na+b)2≤(n2+1)(a2+b2),
∴(3n2+15)2≤144(n2+1)n4-6n2+9≤0.
解得n=±,这与n∈Z矛盾,故不存在a和b满足条件.
二、备用习题
1.若a=(2,-3),b=(x,2x),且a·b=,则x等于（ ）
A.3 B. C. D.-3
2.设a=(1,2),b=(1,m),若a与b的夹角为钝角,则m的取值范围是（ ）
A.m> B.m< C.m> D.m<
3.若a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),则（ ）
A.a⊥b B.a∥b C.(a+b)⊥(a-b) D.(a+b)∥(a-b)
4.与a=(u,v)垂直的单位向量是（ ）
A.()
B.()
C.()
D.()或()
5.已知向量a=(cos23°,cos67°),b=(cos68°,cos22°),u=a+tb(t∈R),求u的模的最小值.
6.已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.
7.已知△ABC的三个顶点为A(1,1),B(3,1),C(4,5),求△ABC的面积.
参考答案:
1.C 2.D 3.C 4.D
5.|a|==1,同理有|b|=1.
又a·b=cos23°cos68°+cos67°cos22°
=cos23°cos68°+sin23°sin68°=cos45°=
∴|u|2=(a+tb)2=a2+2ta·b+t2b2=t2+t+1=(t+)2+≥.
当t=时,|u|min=.
6.由已知(a+3b)⊥(7a-5b)(a+3b）·(7a-5b)=07a2+16a·b-15b2=0. ①
又(a-4b)⊥(7a-2b)(a-4b)·(7a-2b)=07a2-30a·b+8b2=0. ②
①-②得46a·b=23b2,即a·b= ③
将③代入①,可得7|a|2+8|b|2-15|b|2=0,即|a|2=|b|2,有|a|=|b|,
∴若记a与b的夹角为θ,则cosθ=.
又θ∈[0°,180°],∴θ=60°,即a与b的夹角为60°.
7.分析:S△ABC=||||sin∠BAC,而||,||易求,要求sin∠BAC可先求出cos∠BAC.
解:∵=(2,1),=(3,4),||=2,||=5,
∴cos∠BAC=.∴sin∠BAC=.
∴S△ABC=||||sin∠BAC=×2×5×=4.
三、新教材新教法的二十四个“化”字诀
新课导入新颖化,揭示概念美丽化;纵横相联过程化,探索讨论热烈化;
探究例题多变化,引导思路发散化;学生活动主体化,一石激浪点拨化;
大胆猜想多样化,论证应用规律化;变式训练探究化,课堂教学艺术化;
学法指导个性化,对待学生情感化;作业抛砖引玉化,选题质量层次化;
学生学习研究化,知识方法思想化;抓住闪光激励化,教学相长平等化;
教学意识超前化,与时俱进媒体化;灵活创新智慧化,学生素质国际化.
(设计者：房增凤)
