2019-2020学年安徽省六安市舒城中学高一上学期第四次统考数学试题（解析版）

2019-2020学年安徽省六安市舒城中学高一上学期第四次统考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年安徽省六安市舒城中学高一上学期第四次统考数学试题 一、单选题 ‎1．将弧度化为角度的结果为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据弧度制与角度的转化,即,即可求解 ‎【详解】‎ 根据,可得 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查弧度制与角度制的转化,属于基础题 ‎2．若且，则角的终边在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】根据在不同象限的符号进行推测即可 ‎【详解】‎ 由题,因为,则的终边落在第一象限或第四象限；‎ 因为,则的终边落在第三象限或第四象限；‎ 综上,的终边落在第四象限 故选D ‎【点睛】‎ 本题考查象限角,考查三角函数值的符号的应用,属于基础题 ‎3．函数在闭区间（ ）上为增函数. ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】写出函数的单调增区间，，然后取不同的值，从而得到答案.‎ ‎【详解】‎ 函数 ‎，，‎ 得，，‎ 所以函数的单调递增区间为，，‎ 当，得到函数在上单调递增.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求正弦型函数的单调区间，属于简单题.‎ ‎4．下列函数中，以π为周期的偶函数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】对四个选项分别进行判断，是否为以为周期的偶函数，排除错误选项，从而得到答案.‎ ‎【详解】‎ A选项，，不是周期函数，故不满足题目要求；‎ B选项，，是以为周期的偶函数，故不满足题目要求；‎ C选项，，周期为，但不是偶函数，故不满足题目要求；‎ D选项，，是以为周期的偶函数，满足题目要求；‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的图像变化，三角函数的奇偶性和周期性，属于简单题.‎ ‎5．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据正切函数的周期，得到，再根据正切函数的单调性，得到，从而得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为正切函数的周期为，‎ 所以，‎ 因为在时单调递增，‎ 所以，‎ 故，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正切函数的周期性和单调性，属于简单题.‎ ‎6．我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝,对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算： (其中是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设的声音强度为，的声音强度为，则是的（ ）‎ A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 ‎【答案】B ‎【解析】根据题意代入，，得到方程组，然后将两式相减，整理化简后得到的值，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 代入，，‎ 得，‎ 两式相减，得 得到，即，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用已知函数模型解决问题，对数运算公式，属于简单题.‎ ‎7．已知函数的图象的一个对称中心为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】把代入函数中，表述出，然后选取不同的值，从而得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为函数的图象的一个对称中心为，‎ 所以把代入得 所以，，‎ 整理得，，‎ 所以取时，，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据余弦型函数的对称中心求参数的值，属于简单题.‎ ‎8．函数在区间（，）内的图象是( 　 )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=‎ 分段画出函数图象如D图示，‎ 故选D．‎ ‎9．已知函数在内是减函数，则( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ 函数y=tanωx在内是减函数，首先得ω<0， ‎ ‎，‎ 由题意，得，‎ 故选:B．‎ ‎10．若定义在实数集上的满足：时，，对任意，都有成立.等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据,令,可得,则,即,依题意代入解析式计算即可 ‎【详解】‎ 由题,令,则,所以是周期函数,,则,‎ 令,即时,此时 故选B ‎【点睛】‎ 本题考查函数周期性的应用,考查求函数值 ‎11．已知函数，存在实数，对任意的，都有成立，且的最小值为，则方程的根的个数为 ( )（注：）‎ A．14 B．16 C．18 D．20‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意得到函数的周期，从而求出的值，然后在同一坐标系下画出 和的图像，根据两个函数图形的交点个数，得到方程的根的个数，从而得到答案.‎ ‎【详解】‎ 根据题意得到和分别为函数的最小值和最大值，‎ 因为的最小值为，‎ 所以，得 所以，‎ 所以 要求方程的根的个数，‎ 则在同一坐标系下画出和的图像，‎ 由图像可得，两函数图像共有个交点，‎ 所以方程的根的个数为，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦函数周期性的应用，函数图像变换，函数与方程，属于中档题.‎ ‎12．已知函数，当时，，若定义在上的有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据得到图像关于对称，画出在上的图像，画出的图像，该图像恒过，找到和图像有三个交点的临界位置，从而得到方程组，利用得到临界时的值，从而得到的取值范围，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为函数满足，‎ 所以可得的图像关于点成中心对称，‎ 根据时，‎ 画出在上的图像，‎ 画出的图像，可知该图像是恒过点的一条直线 有三个不同的零点 即和的图像有三个交点，‎ 如图所示位置为临界位置，‎ 其中，‎ 联立 得，‎ 令，即 求得或，‎ 因为，所以，‎ 所以得到，‎ 因此直线的斜率的范围为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图像的应用，函数图像变换，函数与方程，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．若角与的终边关于轴对称，且，则所构成的集合为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据角与的终边关于轴对称，可得，，从而表示出，然后根据，选取不同的值，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 角与的终边关于轴对称，‎ 所以得到，，‎ 所以，，‎ 因为，‎ 所以，所以，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据角的终边关系求角，属于简单题.‎ ‎14．函数的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将函数转化为，然后令，得到，从而得到函数最小值，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 令 则，‎ 为开口向下，对称轴为的二次函数，‎ 在上单调递增，‎ 故，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数关系，求含二次式的函数的值域，属于简单题.‎ ‎15．若+，∈（0，π），则tan= ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由，解得，所以．‎ ‎【考点】平方关系的应用．‎ ‎16．若函数，且，则中，正数的个数是_________.‎ ‎【答案】1732‎ ‎【解析】先利用诱导公式，化简，得到，根据 的正负，得到的正负规律，从而得到答案.‎ ‎【详解】‎ 函数，‎ 所以，，，，‎ ‎，，，，，，‎ 所以可得 ‎，，，，，，‎ ‎，，‎ 可得的规律：，，其余项均为整数，‎ 所以中，为的项共有项，‎ 所以中，正数的个数是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式，正弦函数的周期性，归纳数列的规律，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知角的终边上一点. ‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若扇形的圆心角为钝角，求此扇形与其内切圆的面积之比.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）根据点坐标，求出到原点的距离，再分为，两种情况，分别计算出结果；（2）根据表示出内切圆半径和扇形半径之间的关系，分别表示出面积，得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为点，‎ 所以到原点的距离，‎ 当时，，，，‎ 当时，，，.‎ ‎（2）扇形的圆心角为钝角，如图所示 可得，‎ 所以扇形内切圆半径与扇形半径之间的关系为 ‎，‎ 所以 所以此扇形与其内切圆的面积之比为：‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据角的终边所过的点求角的三角函数值，求扇形的面积，求扇形内切圆的面积，属于简单题.‎ ‎18．已知，求下列各式的值：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】化简条件为,利用诱导公式对式子进行化简,再将代入即可 ‎【详解】‎ 由,则,即,‎ ‎（1）原式 ‎（2）原式 ‎【点睛】‎ 本题考查利用诱导公式化简求值,考查三角函数分式齐次式问题,考查运算能力 ‎19．已知函数的周期是.‎ ‎（1）求的单调递增区间及对称轴方程；‎ ‎（2）求在上的最值及其对应的的值.‎ ‎【答案】（1）单调递增区间为，；对称轴方程为：，；（2）当时，取最大值为；当时，取最小值为.‎ ‎【解析】根据的周期为，得到的值，然后得到解析式，（1）写出单调递增时对应的区间，解出的范围，得到其单调递增区间，写出函数的对称轴，得到答案；（2）根据，得到，然后得到当时，取最大值，当时，取最小值，从而得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为函数的周期是，‎ 所以，‎ 所以，‎ ‎（1），，‎ 解得，，‎ 所以单调递增区间为，，‎ 令，，‎ 解得，，‎ 所以对称轴方程为：，，‎ ‎（2）因为，所以，‎ 所以在上单调递增，在单调递减，‎ 所以当，即时，取最大值为，‎ 而，即时，，，即时，，‎ 所以当时，.‎ 综上所述，当时，取最大值为；当时，取最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据正弦函数的周期求参数，正弦型函数的图像与性质，求正弦型函数的单调区间和对称轴以及值域，属于简单题.‎ ‎20．已知为奇函数，为偶函数，且.‎ ‎（1）求函数及的解析式，并用函数单调性的定义证明：函数在上是减函数；‎ ‎（2）若关于的方程有解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），，证明见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）根据，用代替式子中的，利用奇偶性，构造方程组，解出和的解析式，取任意的，且，对进行化简，判断出，从而证明；（2）先得到的解析式，令，判断出的值域，从而得到的值域，根据方程有解，从而得到的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为为奇函数，为偶函数,‎ 所以.‎ 又因为 ①‎ 所以代替式子中的，得到 ‎，即 ②‎ 联立①②，可得 ‎，‎ 设任意的，且,‎ 则，‎ 因为，所以 所以，即，所以0‎ 所以，即函数在上是减函数 ‎（2）因为,所以，‎ ‎ 设，则，为单调递减函数，‎ 因为的定义域为，‎ 所以，得到 即的定义域为 即，‎ 所以， 则， ‎ 因为关于的方程有解，‎ 故的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性的应用，定义法证明函数的单调性，求复合函数的值域问题，函数与方程，属于中档题.‎ ‎21．已知函数，若.‎ ‎（1）当时，求关于的不等式的解集.‎ ‎（2）当时,求在区间上的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）时，；时，；时，.‎ ‎【解析】（1）代入，得到，按和进行分类，分别解不等式，求得答案；（2）计算的解，然后得到的解析式，再根据得到和，分别讨论，，的位置关系，得到的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，‎ 所以当时，‎ 即，得或，‎ 所以，‎ 当时，‎ 即，得或，‎ 所以 综上，不等式的解集为.‎ ‎（2）时，对称轴为，‎ 令，即 当时，‎ 即 解得或，‎ 当时，令 对称轴为 所以在上单调递减，‎ 所以在上恒成立，‎ 故当时，与无交点， ‎ 综上 当时，，‎ 令得，‎ 解得或者，‎ ‎①当，即时，，‎ ‎②当，即时，，‎ ‎③当，即时，.‎ 综上，时，；时，；时，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解绝对值不等式，函数与方程，根据函数的图像和性质求最大值，涉及分类讨论的思想，属于难题.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）若，恒成立，求的取值范围；‎ ‎（2）若，是否存在实数，使得，‎ 都成立？请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.‎ ‎【解析】（1）根据的奇偶性和单调性，将函数值的比较变为自变量的比较，得到恒成立，利用参变分离，得到的取值范围；（2）假设存在，整理和，设，，‎ 得到，按照和进行分类讨论，从而证明不存在所需的.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），为上的奇函数，单调递减，‎ 所以恒成立，‎ 可得 所以恒成立 即恒成立，‎ 当时，该不等式恒成立，‎ 当时，，‎ 设，则 ‎，‎ 当且仅当，即时，等号成立，‎ 所以.‎ ‎（2）‎ 所以，‎ 假设存在实数，使得和都成立，‎ 设，，‎ 则，‎ ‎，‎ 若，则，解得，或，，均不是有理数，‎ 若，则，其中，而，所以不成立，‎ 综上所述，故不存在实数，使得，都成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的单调性和奇偶性解决不等式恒成立问题，诱导公式，同角三角函数关系，研究是否为有理数的问题，涉及分类讨论的思想，属于难题.‎