2020年高中数学新教材同步必修第一册 第4章 4
第四章 4.2 指数函数
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握指数型函数的单调区间的求法及单调性的判断.
2.能借助指数函数的性质比较大小.
3.会解简单的指数方程、不等式.
NEIRONGSUOYIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
知识点一 比较幂的大小
一般地，比较幂大小的方法有
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的 来判断；
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断；
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 来判断.
单调性
中间值
知识点二 解指数方程、不等式
简单指数不等式的解法
(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的 求解；
(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的_____
求解；
(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解.
单调性
单调
性
知识点三 指数型函数的单调性
一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有 的定义域.
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有 的单调性；
当0
0.1b，则a>b.( )
3.a，b均大于0且不等于1，若ax＝bx，则x＝0.( )
4.由于y＝ax(a>0且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也
组不成具有奇偶性的函数.( )
×
×
×
×
2 题型探究
PART TWO
例1 (1)比较下列各题中两个值的大小.
①1.7－2.5,1.7－3；
一、比较大小
解 ∵1.7>1，
∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数.
∵－2.5>－3，∴1.7－2.5>1.7－3.
②1.70.3,1.50.3；
∴1.70.3>1.50.3.
方法二 幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，
又1.7>1.5，∴1.70.3>1.50.3.
③1.70.3,0.83.1.
解 ∵1.70.3>1.70＝1,0.83.1<0.80＝1，
∴1.70.3>0.83.1.
(2)设 则a，b，c的大小关系为________.(用“>”连接)
3 3 1
4 4 21 1 1, , ,2 5 2a b c
c>a>b
3
4y x解析 构造幂函数 (x∈(0，＋∞))，
由该函数在定义域内单调递增，知a>b；
由该函数在定义域内单调递减，知aa>b.
反思
感悟 比较幂值大小的3种类型及处理方法
跟踪训练1 比较下列各题中的两个值的大小.
(1)0.8－0.1，1.250.2；
解 ∵0<0.8<1，∴y＝0.8x在R上是减函数.
∵－0.2<－0.1，∴0.8－0.2>0.8－0.1，
即0.8－0.1<1.250.2.
(3)0.2－3，(－3)0.2.
12
5103 3 , (－3)0.2＝
∵ <31＝3,53＝125>3.
1
53
∴ <53，即0.2－3>(－3)0.2.
1
53
二、简单的指数不等式的解法
例2 (1)不等式4x<42－3x的解集是____________.
(2)解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1).
解 ①当01时，∵a2x＋1≤ax－5，
∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.
综上所述，当01时，不等式的解集为{x|x≤－6}.
反思
感悟 解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性
化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响.
跟踪训练2 已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是__________.
例3 (1)函数 的单调递减区间是
A.(－∞，＋∞) B.(－∞，0)
C.(0，＋∞) D.(－∞，0)和(0，＋∞)
1
3xy
三、指数型函数的单调性
√
且y＝3u在R上是增函数，
所以函数 的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞).
1
3xy
解 令u＝x2－2x，
易知u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，
(2)判断函数 的单调性，并求其值域.
2 21( ) 3
x x
f x
所以 在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减.
2 21( ) 3
x x
f x
因为u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
所以函数f(x)的值域为(0,3].
反思
感悟 函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性的处理方法
(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数
a>1还是00，且a≠1)的单调区间.
2 2 3x xy a ＋ －＝
解 设y＝au，u＝x2＋2x－3，
由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得u在(－∞，－1]上为减函数，
在[－1，＋∞)上为增函数.
当a>1时，y关于u为增函数；
当01时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]；
当01.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：指数函数的图象与性质的应用：比较大小，解不等式及简单复合函数
的单调性.
2.方法归纳：转化与化归，换元法.
3.常见误区：研究y＝af(x)型函数，易忽视讨论a>1还是0
查看更多
