高中数学：《相似三角形的判定》课件（新人教A版选修4-1）

高中数学：《相似三角形的判定》课件（新人教A版选修4-1）

相似三角形的判定 相似三角形的判定 这两个三角形的三个内角的大小有什么关系？ 三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？ 三个内角对应相等。 观察你与老师的直角三角尺 ,会相似吗？ ( 30 O 与 60 O ) 思考 相 似 画 △ ，使三个角分别为 60° ， 45°, 75° 。 ①同桌分别量出两个三角形三边的长度； ②同桌这两个三角形相似吗 ? 即： 如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形_______． 相似 一定需三个角吗？ 如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 相似三角形的识别方法： 思 考 如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似？ 观察 C A A ' B B ' C ' ∵ ∠ A=∠A ' ， ∠B=∠B ' ∴ ΔABC ∽ ΔA ' B ' C ' 用数学符号表示： 相似三角形的识别 ( 两个角分别对应相等的两个三角形相似 ) 例1　如图所示，在两个直角三角形△ ABC 和△ A ′ B ′ C ′ 中，∠ B ＝∠ B ′＝ 90 °，∠ A ＝∠ A ′， 判断这两个三角形是否相似． C' B' A' C B A 例题欣赏 解：∵ ∠ B ＝∠ B ′＝90°（ 已知）， ∠ A ＝∠ A ′（ 已知）， ∴　△ ABC ∽△ A ′ B ′ C ′（ 两个角分别对应相等的两个三角形相似．） 例2. 如图，△ ABC 中， DE ∥ BC ， EF ∥ AB ， 试说明△ ADE ∽△ EFC . A E F B C D 用一用 例题分析 解: ∵ DE ∥ BC ， EF ∥ AB （ 已知）， ∴ ∠ ADE ＝∠ B ＝∠ EFC （ 两直线平行，同位角相等） ∠ AED ＝∠ C . （ 两直线平行，同位角相等） ∴ △ ADE ∽△ EFC . （ 两个角分别对应相等的两个三角形相似．） 例 3. 弦 AB 和 CD 相交于⊙ o 内一点 P, 求证 :PA · PB=PC · PD A B C D P O 证明 : 连接 AC 、 BD ∵∠ A 、∠ D 都是 CB 所对的圆周角 ⌒ ∴ ∠ A= ∠ D 同理 : ∠ C= ∠ B ∴△ PAC∽ △ PDB 即 PA·PB=PC·PD A B C D E 例 4. 已知 D 、 E 分别是 △ABC 的边 AB,AC 上的点，若 ∠A=35°, ∠C=85°,∠AED=60 ° 则 AD·AB= AE·AC 找一找 F A B C D G E 图 1 （ 1 ）图 1 中 DE∥FG∥BC ，找出图中所有的相似三角形。 （ 2 ）图 2 中 AB∥CD∥EF ，找出图中所有的相似三角形。 答：相似三角形有 △ ADE∽△AFG∽△ABC 。 答：相似三角形有 △ AOB∽△FOE∽△DOC 。 A B 图 2 C F D E O （ 3 ）在 △ ABC 和 △ A′B′C′ 中，如果 ∠ A ＝ 80° ， ∠ C ＝ 60° ，∠ A′ ＝ 80° ，∠ B′ ＝ 40° ，那么这两个三角形是否相似？为什么？ ∠ B=180 ° － （∠ A+∠C ) = 180 ° － （ 80 °+60 ° ) =4 0 ° 练一练 C A D B 3. 找出图中所有的相似三角形 巩固练习 △ ACD ∽ △ CBD∽ △ ABC 你能写出对应边的比例式吗 ? A B D C 图 3 填一填 （ 1 ）如图 3 ，点 D 在 AB 上，当∠ ＝∠ 时， △ ACD∽△ABC 。 （ 2 ）如图 4 ，已知点 E 在 AC 上，若点 D 在 AB 上，则满足 条件 ，就可以使 △ ADE 与原 △ ABC 相似。 ● A B C E 图 4 ∠ ACD ∠ B ( 或者 ∠ ACB ＝∠ ADB ) DE//BC D ( 或者 ∠ C ＝∠ ADE ) ( 或者 ∠ B ＝∠ ADE ) D 探索与思考 如图，在 Rt△ABC 的一边 AB 上有一点 P( 点 P 与点 A，B 不重合），过点 P 作直线截得的三角形与△ ABC 相似，想一想满足条件的直线共有多少条？试画出图形并简要说明理由. 思考：若三角形为任意三角形，点 P 为三角形任意一边上的点，则这样的直线有几条？ 我们来试一试… E A B D C 解： ∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C ∴ △ABD ∽ △ACB ∴ AB : AC=AD : AB ∴ AB 2 = AD · AC ∵ AD=2 AC=8 ∴ AB =4 3. 已知如图， ∠ ABD=∠C AD=2 AC=8 ，求 AB A B C D D B C A 18 4 √2 　　 12√2 　　　　 5 、如图：在 Rt △ ABC 中， ∠ ABC=90 0 ， BD⊥AC 于 D 若 AB=6 AD=2 则 AC= BD= BC= 5 、如图：在 Rt △ ABC 中， ∠ ABC=90 0 ， BD⊥AC 于 D A B D C E F 问：若 E 是 BC 中点， ED 的延长线交 BA 的延长线于 F ， 求证： AB : AC=DF : BF 泰勒斯测量金字塔高度的示意图 : A A′ B C B′ C′ C B A C′ B′ A′ 如果人体高度 AC ＝ 1.7 米，人影长 BC ＝ 2.2 米，而 B′C′ ＝ 176 米，你能求出金字塔的高度并说明其中的道理吗？ 可证 △ ABC∽△A’B’C’ 即 所以 A’ C’=1.7 x176÷2.2=136m 相似三角形的识别方法有那些？ 方法1：通过定义 方法 5 ：通过两角对应相等。 课 堂 小 结 （这可是今天新学的，要牢记噢！) 方法2：平行于三角形一边的直线。 方法 3 ：三边对应成比例。 方法 4 ：两边对应成比例且夹角。 A B C D E A B C D E 2 1 O C B A D 常见 图形 O C D A B A B C D E