【数学】2020届一轮复习人教版（理）第7章第7讲立体几何中的向量方法作业
A组 基础关
1．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
A. B．
C． D．
答案 A
解析 不妨设CB＝1，则B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，∴＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)．cos〈，〉＝＝＝.∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.
2．(2018·沧州模拟)如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝CF＝a(0
0)，则C(m，，0)，A＝(m，，0)．
设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即可取n1＝.易知n2＝(1,0,0)为平面DAE的一个法向量，由题设知|cos〈n1，n2〉|＝，即＝，解得m＝.因为E为PD的中点，所以三棱锥E－ACD的高为.所以三棱锥E－ACD的体积V＝××××＝.
3．(2017·全国卷Ⅲ)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)
答案 ②③
解析 依题意建立如图所示的空间直角坐标系．设等腰直角三角形ABC的直角边长为1.
由题意知点B在平面xOy中形成的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．
设直线a的方向向量为a＝(0,1,0)，直线b的方向向量为b＝(1,0,0)，以Ox轴为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为θ，θ∈[0,2π)，则B(cosθ，sinθ，0)，
∴＝(cosθ，sinθ，－1)，||＝.
设直线AB与a所成夹角为α，
则cosα＝＝|sinθ|∈，
∴45°≤α≤90°，∴③正确，④错误．
设直线AB与b所成夹角为β，
则cosβ＝＝|cosθ|.
当直线AB与a的夹角为60°，
即α＝60°时，
则|sinθ|＝cosα＝cos60°＝，
∴|cosθ|＝.∴cosβ＝|cosθ|＝.
∵0°≤β≤90°，∴β＝60°，即直线AB与b的夹角为60°.
∴②正确，①错误．
4．如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.
证明 如图所示，以O为坐标原点，以射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)．
(1)∵＝(0,3,4)，＝(－8,0,0)，
∴·＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，⊥，即AP⊥BC.
(2)由(1)知|AP|＝5，
又|AM|＝3，且点M在线段AP上，
∴＝＝.
又＝(－4,5,0)，＝(－4，－5,0)，
∴＝＋＝，
则A·B＝(0,3,4)·＝0，
∴⊥，即AP⊥BM，
又根据(1)的结论知AP⊥BC，BM∩BC＝B，
∴AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC.
又AM⊂平面AMC，故平面AMC⊥平面BCM.
C组 素养关
1．在如图所示的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠ABD＝，AB＝2AD.
(1)求证：平面BDEF⊥平面ADE；
(2)若ED＝BD，求直线AF与平面AEC所成角的正弦值．
解 (1)证明：在△ABD中，
由正弦定理知＝，
所以sin∠ADB＝＝＝1，
所以∠ADB＝90°，即BD⊥AD.
因为DE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以DE⊥BD.
又AD∩DE＝D，所以BD⊥平面ADE.
因为BD⊂平面BDEF，所以平面BDEF⊥平面ADE.
(2)由(1)可得，在Rt△ABD中，∠BAD＝，BD＝AD，又由ED＝BD，设AD＝1，则BD＝ED＝.因为DE⊥平面ABCD，BD⊥AD，
所以可以点D为坐标原点，DA，DB，DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则A(1,0,0)，C(－1，，0)，E(0,0，)，F(0，，)，
所以＝(－1,0，)，＝(－2，，0)．
设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，则
即
令z＝1，得n＝(，2,1)为平面AEC的一个法向量．
因为＝(－1，，)，
所以cos〈n，〉＝＝，
所以直线AF与平面AEC所成角的正弦值为.
2．如图，球O内接四面体ABCD，AB为球O的直径，平面BCD截球得圆O′，BD为圆O′的直径，C为圆O′上一点，AD⊥平面BCD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.
(1)证明：PQ∥平面BCD；
(2)若二面角C－BM－D的大小为60°，求∠BDC的大小．
解 (1)证明：连接PO′，由中位线易知PO′∥AD，从而PO′⊥平面BCD.
如图，以O′为原点，O′D，O′P所在射线分别为y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O′xyz.
由题意知A(0，，2)，B(0，－，0)，D(0，，0)．
设点C的坐标为(x0，y0,0)，因为＝3，
所以Q.
因为M为AD的中点，故M(0，，1)．
又P为BM的中点，
故P，所以＝.
又平面BCD的一个法向量为u＝(0,0,1)，·u＝0，
PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD.
(2)设m＝(x，y，z)为平面BMC的一个法向量．
由＝(－x0，－y0,1)，＝(0,2，1)，
可知
取y＝－1，得m＝.
又平面BDM的一个法向量为n＝(1,0,0)，于是
|cos〈m，n〉|＝＝＝，
即2＝3.①
又BC⊥CD，所以·＝0，故(－x0，－－y0,0)·(－x0，－y0,0)＝0，即x＋y＝2.②
联立①②，结合点C在圆O′上且|y0|<，
解得
所以＝，＝，||＝，||＝，
所以tan∠BDC＝＝.
又∠BDC是锐角，所以∠BDC＝60°.
