2019年高考数学练习题汇总高考模拟试卷(七)
高考模拟试卷(七)
(时间：120分钟 满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知A＝{x|－2
1}，则A∩(∁RB)为( )
A．(－2,1) B．(－∞，1)
C．(0,1) D．(－2,0]
答案 D
解析 由题意得集合B＝{x|x>0}，所以∁RB＝{x|x≤0}，
则A∩(∁RB)＝{x|－20，即ex>x恒成立，所以f(f(x))＝>ex>x，即f(f(x))＝x无实数根，故B错误；对于C，f(x)＝x2＋x＋1，f(f(x))＝(x2＋x＋1)2＋x2＋x＋1＋1＝x，即(x2＋x＋1)2＋x2＋2＝0，无实数根，故C错误；对于D，令y＝sin x－x，则y′＝cos x－1≤0，则y＝sin
x－x在R上单调递减，当x＝0时，y＝0，所以当x∈(0，＋∞)时，sin xx，sin (sin x)>sin x>x，即sin(sin x)－x>0，又sin (sin 0)＝0，故f(f(x))＝x有且仅有一个实数根，故选D.
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)
11．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组， 经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为________．(容器壁的厚度忽略不计)
答案 41π
解析 由题意，该球形容器的半径的最小值为＝，
∴该球形容器的表面积的最小值为4π·＝41π.
12．计算：|3－i|＝________，＝________.
答案 －1＋3i
解析 |3－i|＝＝，＝＝－1＋3i.
13．某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________；体积为________．
答案 4＋2
解析 由三视图还原该几何体为如图所示的三棱锥P—ABC，
所以V三棱锥P－ABC＝S△ABC·OP＝.
S三棱锥P－ABC＝S△ABC＋S△ABP＋S△PBC＋S△PAC＝4＋2.
14．将四位同学等可能地分到甲、乙、丙三个班级，则甲班级至少有一位同学的概率是________，用随机变量ξ表示分到丙班级的人数，则E(ξ)＝________.
答案
解析 甲班级没有分到同学的概率为＝，
所以甲班级至少有一位同学的概率为1－＝.
随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，
则P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
于是E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
15．椭圆＋＝1(a>b>0)第一象限上一点与中心、右焦点构成一个正三角形，其面积是4，则b2＝________.
答案 8
解析 由题意可得该正三角形在第一象限的点的坐标为，且该正三角形的边长为c，则＋＝1，·c·＝4，c2＝16＝a2－b2，＋＝1，
解得b2＝8.
16．已知实数x，y满足x2＋y2－6x＋8y－11＝0，则的最大值为________，|3x＋4y－28|的最小值为________．
答案 11 5
解析 由x2＋y2－6x＋8y－11＝0，得(x－3)2＋(y＋4)2＝36，可知在平面直角坐标系xOy中，点(x，y)的轨迹是一个圆，该圆的圆心C(3，－4)，半径r＝6.在圆C上取一点M(x，y)，则＝|OM|，∴|OM|max＝|OC|＋r＝5＋6＝11.设z＝3x＋4y－28，即3x＋4y－28－z＝0，∴圆心C到直线3x＋4y－28－z＝0的距离d＝≤6，∴－65≤z≤－5，∴|z|＝|3x＋4y－28|的最小值为5.
17．四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，PA＝AB＝BC＝AD＝1，BC∥AD，已知Q是四边形ABCD内部一点，且二面角Q－PD－A的平面角大小为，若动点Q的轨迹将ABCD分成面积为S1，S2(S10)．
由题意可知A(0,0,0)，D(2,0,0)，P(0,0,1)，
∴＝(－2,0,1)，＝(－2，b,0)，＝(2,0,0)．
设平面APD的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面PDQ的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则
即
令y1＝1，得n1＝(0,1,0)，
令z2＝2，得n2＝，
∴n1·n2＝，|n1|＝1，|n2|＝，
∵二面角Q－PD－A的平面角大小为，
∴cos〈n1，n2〉＝＝，
即＝，解得b＝.
∴S△ADQ＝AD·AQ＝×2×＝.
S梯形ABCD－S△ADQ＝×(1＋2)×1－＝－.
∵S10，求函数f(x)的极值点；
(2)若a≥3，函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x10时，f′(x)＝≥0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)无极值点．
②若a>2，则Δ>0，
由f′(x)＝0得x1＝，x2＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
所以f(x)有极大值点x1＝，
极小值点x2＝.
(2)证明 由(1)及条件可知
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