2019年高考数学练习题汇总压轴小题组合练(C)
压轴小题组合练(C)
1.已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x＋1)为奇函数，f(0)＝0，当x∈(0，1]时，f(x)＝log2x，则在区间(8，9)内满足方程f(x)＋2＝f 的实数x为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 ∵f(x＋1)为奇函数，则f(x＋1)＝－f(－x＋1)，即f(x)＝－f(2－x).
当x∈(1，2)时，2－x∈(0，1)，
∴f(x)＝－f(2－x)＝－log2(2－x).
又f(x)为偶函数，即f(x)＝f(－x)，
∴f(－x)＝－f(－x＋2)，∴f(x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)，故f(x)是以4为周期的函数.
∵f(1)＝0，∴当8
0，b>0)的左、右顶点， P是双曲线上不同于A，B的一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则＋＋＋2ln＋2ln取得最小值时，双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设A(－a，0)，B(a，0)， P(x0，y0)，点P在双曲线上，得－＝1，所以kPAkPB＝
·＝＝，即mn＝，
＋＋＋2ln|m|＋2ln|n|≥4＋ ＋2ln，
设函数f(x)＝2ln x＋(x>0)， f′(x)＝－＝，所以f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增.f(x)min＝f ，即mn＝＝，又基本不等式等号成立的条件为当且仅当a2＝4b2，所以e＝＝.
6.在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是面DCC1D1所在的平面内的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则三棱锥P－BCD体积的最大值是( )
A.36 B.12
C.24 D.18
答案 B
解析 ∵AD⊥平面D1DCC1，∴AD⊥DP，
同理BC⊥平面D1DCC1，则BC⊥CP，∠APD＝∠MPC，
∴△PAD∽△PMC，∴＝，∵AD＝2MC，
∴PD＝2PC，下面研究点P在面DCC1D1内的轨迹(立体几何平面化)，在平面直角坐标系内设D(0，0)，C(6，0)，C1(6，6)，设P(x，y)，∵PD＝2PC，
∴＝2，化简得(x－8)2＋y2＝16(4≤x≤6)，该圆与CC1的交点的纵坐标最大，交点坐标(6，2)，三棱锥P－BCD的底面BCD的面积为18，要使三棱锥P－BCD的体积最大，只需高最大，当P点坐标为(6，2)时，CP＝2，棱锥的高最大，此时三棱锥P－BCD的体积V＝×18×2＝12，故选B.
7.如图，AB∩α＝B，直线AB与平面α所成的角为75°，点A是直线AB上一定点，动直线AP与平面α交于点P，且满足∠PAB＝45°，则点P在平面α内的轨迹是( )
A.双曲线的一支 B.抛物线的一部分 C.圆 D.椭圆
答案 D
解析 用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线.
此题中平面α上的动点P满足∠PAB＝45°，可理解为P在以AB
为轴的圆锥的侧面上，再由斜线段AB与平面α所成的角为75°，可知P的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义.故可知动点P的轨迹是椭圆.
8.(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为( )
A.3 B.2
C. D.2
答案 A
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则C点坐标为(2，1).
设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD.
∵CD＝1，BC＝2，
∴BD＝＝，
EC＝＝＝，
即圆C的半径为，
∴P点的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2＝.
设P(x0，y0)，则(θ为参数)，
而＝(x0，y0)，＝(0，1)，＝(2，0).
∵＝λ＋μ＝λ(0，1)＋μ(2，0)＝(2μ，λ)，
∴μ＝x0＝1＋cos θ，λ＝y0＝1＋sin θ.
两式相加，得
λ＋μ＝1＋sin θ＋1＋cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，
当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.
故选A.
9.(2018·西安质检)已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于P，则使得·≤0的M点的概率为 ( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因为椭圆方程为＋y2＝1，
所以a＝2，b＝1，即c＝.
设P(x0，y0)，其中y0>0，则当∠F1PF2＝90°时，
＝×2×y0＝b2·tan ＝tan ＝1，所以y0＝.把y0＝代入椭圆方程可得x0＝±.由·≤0，可得∠F1PF2≥90°.
所以使得·≤0的M点的概率为P＝＝＝.
10.(2018·北京朝阳区模拟)某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖.在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队的获奖结果预测如下：
小张说：“甲或乙团队获得一等奖”； 小王说：“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”； 小赵说：“甲团队获得一等奖”.
若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是( )
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
答案 D
解析 ①若甲获得一等奖，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符；
②若乙获得一等奖，则只有小张的预测正确，与题意不符；
③若丙获得一等奖，则四人的预测都错误，与题意不符；
④若丁获得一等奖，则小王、小李的预测正确，小张、小赵的预测错误，符合题意，故选D.
11.在平面直角坐标系中，定义d(P，Q)＝|x1－x2|＋|y1－y2|为两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的“折线距离”.则下列命题中：
①若A(－1，3)，B(1，0)，则有d(A，B)＝5；
②到原点的“折线距离”等于1的所有点的集合是一个圆；
③若C点在线段AB上，则有d(A，C)＋d(C，B)＝d(A，B)；
④到M(－1，0)，N(1，0)两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x＝0.
真命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
解析 由题意①中d(A，B)＝|－1－1|＋|3－0|＝5，所以①对；②中设P(x，y)，d(P，O)＝|x－0|＋|y－0|＝1，即|x|＋|y|＝1，是一个正方形，②错；③中，由于 C点在线段AB上，由绝对值的几何意义可知，d(A，C)＋d(C，B)＝d(A，B)，所以③对；④中，设动点P(x，y)，则d(M，P)＝d(N，P)，即|x＋1|＋|y|＝|x－1|＋|y|，解得x＝0，所以④对.
12.若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)看作同一个“伙伴点组”).已知函数f(x)＝有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是( )
A.(－∞，0) B.(0，1) C. D.(0，＋∞)
答案 B
解析 根据题意可知，“伙伴点组”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称.
可作出函数y＝－ln(－x)(x<0)关于原点对称的函数y＝ln x(x>0)的图象，
使它与函数y＝kx－1(x>0)图象的交点个数为2个即可.
设切点为(m，ln m)，y＝ln x的导数为y′＝，
可得km－1＝ln m，k＝，解得m＝1，k＝1，
可得函数y＝ln x(x>0)过点(1，0)的切线斜率为1，
结合图象可知k∈(0，1)时有两个交点，符合题意.
13.已知点A，B分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，点P是双曲线C上异于A，B的另外一点，且△ABP是顶角为120°的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为________.
答案 x±y＝0
解析 如图所示，过点P作PC⊥x轴，因为|AB|＝|PB|＝2a，∠PBC＝60°，所以|BC|＝a，yP＝|PC|＝a，点P(2a，a)，将P代入－＝1中，得a＝b，所以其渐近线方程为x±y＝0.
14.已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，3Sn＝(n＋2)an，则＋＋＋…＋的值是
________.
答案
解析 ∵3Sn＝(n＋2)an，
∴当n≥2时，3Sn－1＝(n＋1)an－1，
∴3an＝(n＋2)an－(n＋1)an－1，∴＝，
∴an＝a1···…··＝1×××…××＝(n≥2)，当n＝1时，＝1＝a1满足上式，故数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，＝＝2，∴＋＋＋…＋＝2＋2＋…＋2＝.
15.如图，一张纸的长、宽分别为2a，2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点，现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体，关于该多面体的下列命题，正确的是________.(写出所有正确命题的序号)
①该多面体是三棱锥；②平面BAD⊥平面BCD；③平面BAC⊥平面ACD；④该多面体外接球的表面积为5πa2.
答案 ①②③④
解析 将平面图形沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体，则①由于(a)2＋(a)2＝4a2，∴该多面体是以A，B，C，D为顶点的三棱锥，①正确.
②∵AP⊥BP，AP⊥CP，BP∩CP＝P，BP，CP⊂平面BCD，∴AP⊥平面BCD，
∵AP⊂平面BAD，∴平面BAD⊥平面BCD，正确.
③与②同理，可得平面BAC⊥平面ACD，正确.
④该多面体外接球的半径为a，表面积为5πa2，正确.
16.已知函数f(x)＝设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，则a的取值范围是________.
答案 [－2，2]
解析 作出f(x)的图象如图所示，当y＝的图象经过点(0，2)时，可知a＝±2.当y＝＋a
的图象与y＝x＋的图象相切时，由＋a＝x＋，得x2－2ax＋4＝0，由Δ＝0，并结合图象可得a＝2.
要使f(x)≥在R上恒成立，只需f(0)≥|a|，当a≤0时，需满足－a≤2，即－2≤a≤0；当a>0时，需满足a≤2，所以－2≤a≤2.
