人教A数学必修一几类不同增长的函数模型时示范

人教A数学必修一几类不同增长的函数模型时示范

‎3.2 函数模型及其应用 ‎3.2.1‎‎ 几类不同增长的函数模型 整体设计 教学分析 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题.课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的，通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的.‎ 三维目标 ‎1.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.‎ ‎2.恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题.‎ ‎3.让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣.‎ 重点难点 教学重点:认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同.‎ 教学难点:应用函数模型解决简单问题.‎ 课时安排 ‎2课时 教学过程 第1课时 几类不同增长的函数模型 导入新课 思路1.(事例导入)‎ 一张纸的厚度大约为0.01 cm，一块砖的厚度大约为10 cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n=20时它们的厚度.你的直觉与结果一致吗？‎ 解：纸对折n次的厚度:f(n)=0.01·2n(cm),n块砖的厚度:g(n)=10n(cm),f(20)≈105 m,g(20)=2 m.‎ 也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解.‎ 思路2.(直接导入)‎ 请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象性质，本节我们通过实例比较它们的增长差异.‎ 推进新课 新知探究 提出问题 ‎①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数.‎ ‎②正方形的边长为x，面积为y,把y表示为x的函数.‎ ‎③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力湿地每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y,把y表示为x的函数.‎ ‎④分别用表格、图象表示上述函数.‎ ‎⑤指出它们属于哪种函数模型.‎ ‎⑥讨论它们的单调性.‎ ‎⑦比较它们的增长差异.‎ ‎⑧另外还有哪种函数模型.‎ 活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.‎ ‎①总价等于单价与数量的积.‎ ‎②面积等于边长的平方.‎ ‎③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、….‎ ‎④列表画出函数图象.‎ ‎⑤引导学生回忆学过的函数模型.‎ ‎⑥结合函数表格与图象讨论它们的单调性.‎ ‎⑦让学生自己比较并体会.‎ ‎⑧另外还有与对数函数有关的函数模型.‎ 讨论结果：‎ ‎①y=x.‎ ‎②y=x2.‎ ‎③y=(1+5%)x,‎ ‎④如下表 x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y=x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y=x2‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎16‎ ‎25‎ ‎36‎ y=(1+5%)x ‎1.05‎ ‎1.01‎ ‎1.16‎ ‎1.22‎ ‎1.28‎ ‎1.34‎ 它们的图象分别为图‎3-2-1‎-1，图3-2-1-2，图3-2-1-3.‎ 图‎3-2-1‎-1 图3-2-1-2 图3-2-1-3‎ ‎⑤它们分别属于：y=kx+b(直线型),y=ax2+bx+c(a≠0,抛物线型)，y=kax+b(指数型).‎ ‎⑥从表格和图象得出它们都为增函数.‎ ‎⑦在不同区间增长速度不同，随着x的增大y=(1+5%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数.‎ ‎⑧另外还有与对数函数有关的函数模型,形如y=logax+b,我们把它叫做对数型函数.‎ 应用示例 思路1‎ 例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：‎ 方案一：每天回报40元；‎ 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；‎ 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.‎ 请问，你会选择哪种投资方案？‎ 活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.‎ 解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y=40(x∈N*)进行描述；方案二可以用 函数y=10x(x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y=0.4×2x-1(x∈N*)进行描述.三个模型中，第一个是常函数，后两个都是递增函数模型.要对三个方案作出选择，就要对它的增长情况进行分析.我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况.‎ x/天 方案一 方案二 方案三 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 ‎1‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎0.4‎ ‎2‎ ‎40‎ ‎0‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎0.8‎ ‎0.4‎ ‎3‎ ‎40‎ ‎0‎ ‎30‎ ‎10‎ ‎1.6‎ ‎0.8‎ ‎4‎ ‎40‎ ‎0‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎3.2‎ ‎1.6‎ ‎5‎ ‎40‎ ‎0‎ ‎50‎ ‎10‎ ‎6.4‎ ‎3.2‎ ‎6‎ ‎40‎ ‎0‎ ‎60‎ ‎10‎ ‎12.8‎ ‎6.4‎ ‎7‎ ‎40‎ ‎0‎ ‎70‎ ‎10‎ ‎25.6‎ ‎12.8‎ ‎8‎ ‎40‎ ‎0‎ ‎80‎ ‎10‎ ‎51.2‎ ‎25.6‎ ‎9‎ ‎40‎ ‎0‎ ‎90‎ ‎10‎ ‎102.4‎ ‎51.2‎ ‎10‎ ‎40‎ ‎0‎ ‎100‎ ‎10‎ ‎204.8‎ ‎102.4‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎0‎ ‎300‎ ‎10‎ ‎214748364.8‎ ‎107374182.4‎ 再作出三个函数的图象(‎3-2-1‎-4).‎ 图‎3-2-1‎-4‎ 由表和图(3214)可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案二与方案三的函数的增长情况很不相同.可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的.从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天方案二最多;第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.‎ 下面再看累积的回报数.通过计算机或计算器列表如下：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ 一 ‎40‎ ‎80‎ ‎120‎ ‎160‎ ‎200‎ ‎240‎ ‎280‎ ‎320‎ ‎360‎ ‎400‎ ‎440‎ 二 ‎10‎ ‎30‎ ‎60‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎210‎ ‎180‎ ‎360‎ ‎450‎ ‎550‎ ‎660‎ 三 ‎0.4‎ ‎1.2‎ ‎2.8‎ ‎6‎ ‎12.4‎ ‎25.2‎ ‎50.8‎ ‎102‎ ‎204.4‎ ‎409.2‎ ‎818.8‎ 因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，则应选择方案三.‎ 针对上例可以思考下面问题：‎ ‎①选择哪种方案是依据一天的回报数还是累积回报数.‎ ‎②课本把两种回报数都列表给出的意义何在？‎ ‎③由此得出怎样结论.‎ 答案:①选择哪种方案依据的是累积回报数.‎ ‎②让我们体会每天回报数增长变化.‎ ‎③上述例子只是一种假想情况，但从中我们可以体会到，不同的函数增长模型，其增长变化存在很大差异.‎ 变式训练 某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：全球通使用者先缴50元基础费，然后每通话1分钟付话费0.4元；神州行不交月基础费，每通话1分钟付话费0.6元，若设一个月内通话x分钟，两种通讯业务的费用分别为y1元和y2元，那么 ‎(1)写出y1、y2与x之间的函数关系式；‎ ‎(2)在同一直角坐标系中画出两函数的图象；‎ ‎(3)求出或寻求出一个月内通话多少分钟，两种通讯业务费用相同；‎ ‎(4)若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯业务较合算.‎ 思路分析：我们可以先建立两种通讯业务所对应的函数模型，再通过比较它们的变 化情况，为选择哪种通讯提供依据.(1)全球通的费用应为两种费用的和，即月基础费和通话费，神州行的费用应为通话费用；(2)运用描点法画图，但应注意自变量的取值范围；(3)可利用方程组求解，也可以根据图象回答；(4)寻求出当函数值为200元时，哪个函数所对应的自变量的值较大.‎ 解：(1)y1=50＋0.4x(x≥0)，y2=0.6x(x≥0).‎ ‎(2)图象如图(‎3-2-1‎-5)所示.‎ 图‎3-2-1‎-5‎ ‎(3)根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250，所以在一个月内通话250分钟时，两种通讯业务的收费相同.‎ ‎(4)当通话费为200元时，由图象可知，y1所对应的自变量的值大于y2所对应的自变量的值,即选取全球通更合算.‎ 另解：当y1=200时有0.4x＋50=200,∴x1=375；‎ 当y2=200时有0.6x=200,x2=.显然375>,‎ ‎∴选用全球通更合算.‎ 点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.‎ 例2某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求？‎ 活动：‎ 学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是只需在区间［10,1000］上，检验三个模型是否符合公司要求即可.不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果.‎ 解：借助计算器或计算机作出函数y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x的图象(图‎3-2-1‎-6).‎ 图‎3-2-1‎-6‎ 观察函数的图象，在区间［10,1 000］上，模型y=0.25x,y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求.‎ 下面通过计算确认上述判断.‎ 首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.‎ 对于模型y=0.25x，它在区间［10,1 000］上递增，而且当x=20时，y=5,因此,当x>20时，y>5,所以该模型不符合要求；‎ 对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805，806)内有一个点x0满足1.002x0=5,由于它在区间［10,1 000］上递增，因此当x>x0时，y>5，所以该模型也不符合要求；‎ 对于模型y=log7x+1，它在区间［10,1 000］上递增，而且当x=1 000时，y=log71 000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.‎ 再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈［10,1 000］时，是否有=≤0.25成立.‎ 图3217‎ 令f(x)=log7x+1-0.25x,x∈［10,1 000］.利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象(图3217)，由函数图象可知它是递减的，因此 f(x)0)，销售数量就减少kx%(其中k为正常数).目前，该商品定价为a元，统计其销售数量为b个.‎ ‎(1)当k=时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？‎ ‎(2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k的取值范围.‎ 解：依题意，价格上涨x%后，销售总金额为 y=a(1+x%)·b(1-kx%)=［-kx2+100(1-k)x+10 000］.‎ ‎(1)取k=,y=(x2+50x+10 000),‎ 所以x=50,即商品价格上涨50%，y最大为ab.‎ ‎(2)因为y=［-kx2+100(1-k)x+10 000］,‎ 此二次函数的开口向下，对称轴为x=，在适当涨价过程后，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x在{x|x>0}的一个子集内增大时，y也增大.‎ 所以>0,解得00.‎ 当00,g(x)-h(x)>0,g(x)>h(x)；‎ 当87≤x<216时,432-5x<0,g(x)-h(x)<0,g(x)20000时，y2>y1.‎ 当x=20000时，y1=y2；当x<20 000时，y20且a≠1).‎ ‎∴由图知2=a1.‎ ‎∴a=2,即底数为2.‎ ‎②∵25=32>30,∴说法正确.‎ ‎③∵指数函数增加速度越来越快，∴说法不正确.‎ ‎④t1=1,t2=log23,t3=log26,∴说法正确.‎ ‎⑤∵指数函数增加速度越来越快，∴说法不正确.‎ 课堂小结 活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.‎ 引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结.‎ 答案:(1)建立函数模型;(2)利用函数图象性质分析问题、解决问题.‎ 作业 课本P107习题3.2A组1、2.‎ 设计感想 本节设计由学生熟悉素材入手，结果却出乎学生的意料，由此使学生产生浓厚的学习兴趣.课本中两个例题不仅让学生学会了函数模型的应用，而且体会到它们之间的差异；我们补充的例题与之相映生辉，是课本的补充和提高，其难度适中是各地高考模拟经常选用的素材.其中拓展提升中的问题紧贴本节主题，很好地体现了指数函数的性质特点,是一个不可多得的素材.‎ ‎(设计者：林大华)‎