湖南省湘潭市2020届高三第三次模拟考试数学（理）试题

湖南省湘潭市2020届高三第三次模拟考试数学（理）试题

科目：数学（理科）‎ ‎（试题卷）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的姓名写在答题卡和本试题卷的封面上，并认真核对答题卡条形码上的姓名和相关信息．‎ ‎2．选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效．考生在答题卡上按如下要求答题：‎ ‎（1）选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹．‎ ‎（2）非选择题部分请按题号用‎0.5毫米黑色墨水签字笔书写．‎ ‎（3）请勿折叠答题卡．保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁．‎ ‎3．本试题卷共4页．如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负．‎ ‎4．考试结束后，将答题卡交回．‎ 姓名_________________ 准考证号______________‎ 祝你考试顺利！‎ ‎2020届高三模拟考试 数学（理科）‎ 本试题卷分为第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共23小题，时量120分钟，满分150分．‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．计算（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知直线平面，则“平面平面”是“直线平面”的（ ）‎ A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知数列的前项和满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．下表是鞋子的长度与对应码数的关系．‎ 长度 ‎25‎ ‎25.5‎ ‎26‎ ‎26.5‎ ‎27‎ ‎27.5‎ 码数 ‎40‎ ‎41‎ ‎42‎ ‎43‎ ‎44‎ ‎45‎ 如果人的身高与脚板长呈线性相关且回归直线方程为．若某人的身高为，据此模型，估计其穿的鞋子的码数为（ ）‎ A．42 B．‎43 ‎C．44 D．45‎ ‎6．已知实数，满足约束条件则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．更相减损术出自《九章算术》，它原本是为约分而设计的，原文如下：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之．如图所示的程序框图的算法思路就源于“更相减损术”若执行该程序框图，则输出的的值为（ ）‎ A．14 B．‎12 ‎C．7 D．6‎ ‎8．已知向量，是两个夹角为的单位向量，且，，，若，，三点共线，则（ ）‎ A．12 B．‎14 ‎C．16 D．18‎ ‎9．函数的图象大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数在上的最大值为1且单调递增，则的最大值为（ ）‎ A．6 B．‎7 ‎C．9 D．8‎ ‎11．在直角坐标系中，，分别是双曲线的左、右焦点，位于第一象限上的点是双曲线上的一点，满足，若点的纵坐标的取值范围是，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知对任意实数都有，，若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．‎ ‎13．若直线经过抛物线的焦点，则________．‎ ‎14．的展开式中的系数为________．‎ ‎15．已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．令，则数列的前50项和_________．‎ ‎16．在三棱锥中，，底面是以为直角顶点的直角三角形，且，，点到三边的距离相等，且点在平面上的射影落在内，则与平面所成角的正切值为________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．如图，已知四棱锥，平面，底面为矩形，，，为的中点，．‎ ‎（1）求线段的长 ‎（2）若为线段上一点，且，求二面角的余弦值．‎ ‎18．的内角所对的边分别为，已知．‎ ‎（1）求角．‎ ‎（2）设为边的中点，的面积为2，求的最小值．‎ ‎19．高三年级某班50名学生的期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为，，，，，，，其中成等差数列且．物理成绩统计如下表．（说明：数学满分150分，物理满分100分）‎ 分组 频数 ‎6‎ ‎9‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；‎ ‎（2）根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；‎ ‎（3）若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一科为“优”的同学共有6人，从这6人中随机抽取3人，记为抽到两科为“优”的学生人数，求的分布列和数学期望．‎ ‎20．椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上两动点，使得四边形为平行四边形，且平行四边形的周长和最大面积分别为8和．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆的另一交点为，当点在以线段为直径的圆上时，求直线的方程．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）讨论函数的单调区间；‎ ‎（2）若存在两个极值点，，证明：．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求直线和曲线的极坐标系方程；‎ ‎（2）曲线分别交直线和曲线于，，求的最大值．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设函数的最小值为，已知，求的最大值．‎ ‎2020届高三模拟考试 数学参考答案（理科）‎ ‎1．B 由题意，，则．‎ ‎2．A 由复数的运算法则可得．‎ ‎3．B 若直线平面，平面平面，此时直线与平面可能平行、相交或，所以充分性不成立；若直线平面，直线平面，则平面平面，所以必要性成立，故选B．‎ ‎4．A 由已知，可得．两式相减得，即．‎ ‎∵∴，∴是首项为6，公比为3的等比数列，从而．‎ ‎5．C 由，解得，所以脚板长为 ‎，查表得，穿的鞋子的码数应为44．‎ ‎6．C 根据约束条件，画出可行域图中阴影部分为可行域．‎ 目标函数，表示可行城中的点与连线的斜率，由图可知点与连线的斜率最大，故的最大值为．‎ ‎7．A ；‎ ‎；‎ ‎．‎ ‎，输出．‎ ‎8．A 由三点共线，得，故解得，则．‎ ‎9．C 由题易知函数为偶函数，排除A选项；‎ 当时，，所以，排除B选项；‎ 当时，，，所以函数在上单调递增，排除D选项．‎ ‎10．D 由题意可知，，，，，则，．‎ ‎11．D 由，可得，又，解得，由于，所以，即，，解得．‎ ‎12．C 由，，解得，‎ 故，在处取得极小值．‎ 根据图象，欲使解集中恰有两个整数，则比较点与四个点，，，连线的斜率，由，可得．‎ ‎13． 可化为，焦点坐标为，故．‎ ‎14． 二项式的展开通项为，‎ 当时，，所以的系数为．‎ ‎15． 因为，，，由题意得，解得，所以，则，则．‎ ‎16． 如图，设点在平面上的射影为点，‎ 因为点到三边的距离相等，则点到三边的距离相等，‎ 又点在平面上的射影落在内，‎ 所以点为的内心．设的内切圆与直角边，分别相切于，，易知四边形是正方形．因为，且，，所以，则的内切圆半径，所以．因为平面，所以为与平面所成的角．因为，所以，所以与平面所成角的正切值为．‎ ‎17．解：（1）分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 设，则．‎ 所以，．‎ 因为，所以，‎ 即，解得，‎ 所以的长为4．‎ ‎（2）因为，所以，又，，‎ 故，．‎ 设为平面的法向量，则，即 取，解得，，‎ 所以为平面的一个法向量．‎ 显然，为平面的一个法向量，‎ 则，‎ 据图可知，二面角的余弦值为．‎ ‎18．解：（1）由已知可得，‎ 得，‎ 所以，所以．‎ ‎（2）由，即，所以．‎ 由，所以，‎ 则，当且仅当时取等号，‎ 所以的最小值为．‎ ‎19．解：（1）根据频率分布直方图得，‎ 又，‎ 解得，，，‎ 故数学成绩的平均分 ‎（分）．‎ ‎（2）总人数为50，由物理成绩统计表知，中位数在区间内，‎ 所以物理成绩的中位数约为75分．‎ ‎（3）数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”的有5人，‎ 因为至少有一科为“优”的同学共有6名，‎ 所以两科均为“优”的人数为3，‎ 故的可能取值为0，1，2，3．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎．‎ ‎20．解：（1）由平行四边形的周长为8，可知，即．‎ 由平行四边形的最大面积为，可知，‎ 又，解得，．‎ 所以椭圆方程为．‎ ‎（2）注意到直线的斜率不为0，且过定点．‎ 设，，，‎ 由消得，‎ 所以 因为，，‎ 所以 ‎．‎ 因为点在以线段为直径的圆上，所以，即，‎ 所以直线的方程或．‎ ‎21．（1）解：函数的定义域为，，‎ 令，则．‎ ‎①当时，，恒成立，函数的单调递增区间为．‎ ‎②当时，，方程有两根，，，‎ 当时，；当时，；当，．‎ 的单调递增区间为、，‎ 单调递减区间为．‎ ‎（2）证明：由（1）知，当时，存在两个极值点，，‎ 函数在上单调递减，则，，‎ 不妨设，则．‎ 由于 ‎，‎ 且，所以，‎ 则．‎ ‎22．解：（1）由题可知直线的普通方程为，‎ 直线的极坐标方程为．‎ 曲线的普通方程为，‎ 因为，‎ 所以的极坐标方程为．‎ ‎（2）直线的极坐标方程为，令，‎ 则，所以．‎ 又，‎ 所以，‎ 因为，则的最大值为．‎ ‎23．解：（1）由已知不等式，得，‎ 当时，不等式为，解得，所以；‎ 当时，不等式为，解得，所以；‎ 当时，不等式为，解得，此时无解．‎ 综上，原不等式的解集为．‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 又，‎ 则，所以的最大值为．‎