湖南省湘潭市2020届高三第三次模拟考试数学(理)试题

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湖南省湘潭市2020届高三第三次模拟考试数学(理)试题

科目:数学(理科)‎ ‎(试题卷)‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前,考生务必将自己的姓名写在答题卡和本试题卷的封面上,并认真核对答题卡条形码上的姓名和相关信息.‎ ‎2.选择题和非选择题均须在答题卡上作答,在本试题卷和草稿纸上作答无效.考生在答题卡上按如下要求答题:‎ ‎(1)选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框,修改时用橡皮擦干净,不留痕迹.‎ ‎(2)非选择题部分请按题号用‎0.5毫米黑色墨水签字笔书写.‎ ‎(3)请勿折叠答题卡.保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁.‎ ‎3.本试题卷共4页.如缺页,考生须及时报告监考老师,否则后果自负.‎ ‎4.考试结束后,将答题卡交回.‎ 姓名_________________ 准考证号______________‎ 祝你考试顺利!‎ ‎2020届高三模拟考试 数学(理科)‎ 本试题卷分为第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分,共23小题,时量120分钟,满分150分.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.计算( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知直线平面,则“平面平面”是“直线平面”的( )‎ A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.已知数列的前项和满足,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.下表是鞋子的长度与对应码数的关系.‎ 长度 ‎25‎ ‎25.5‎ ‎26‎ ‎26.5‎ ‎27‎ ‎27.5‎ 码数 ‎40‎ ‎41‎ ‎42‎ ‎43‎ ‎44‎ ‎45‎ 如果人的身高与脚板长呈线性相关且回归直线方程为.若某人的身高为,据此模型,估计其穿的鞋子的码数为( )‎ A.42 B.‎43 ‎C.44 D.45‎ ‎6.已知实数,满足约束条件则的最大值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.更相减损术出自《九章算术》,它原本是为约分而设计的,原文如下:可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之.如图所示的程序框图的算法思路就源于“更相减损术”若执行该程序框图,则输出的的值为( )‎ A.14 B.‎12 ‎C.7 D.6‎ ‎8.已知向量,是两个夹角为的单位向量,且,,,若,,三点共线,则( )‎ A.12 B.‎14 ‎C.16 D.18‎ ‎9.函数的图象大致为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知函数在上的最大值为1且单调递增,则的最大值为( )‎ A.6 B.‎7 ‎C.9 D.8‎ ‎11.在直角坐标系中,,分别是双曲线的左、右焦点,位于第一象限上的点是双曲线上的一点,满足,若点的纵坐标的取值范围是,则双曲线的离心率的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知对任意实数都有,,若不等式(其中)的解集中恰有两个整数,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13.若直线经过抛物线的焦点,则________.‎ ‎14.的展开式中的系数为________.‎ ‎15.已知等差数列的公差为2,前项和为,且,,成等比数列.令,则数列的前50项和_________.‎ ‎16.在三棱锥中,,底面是以为直角顶点的直角三角形,且,,点到三边的距离相等,且点在平面上的射影落在内,则与平面所成角的正切值为________.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:共60分.‎ ‎17.如图,已知四棱锥,平面,底面为矩形,,,为的中点,.‎ ‎(1)求线段的长 ‎(2)若为线段上一点,且,求二面角的余弦值.‎ ‎18.的内角所对的边分别为,已知.‎ ‎(1)求角.‎ ‎(2)设为边的中点,的面积为2,求的最小值.‎ ‎19.高三年级某班50名学生的期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,成绩分组区间为,,,,,,,其中成等差数列且.物理成绩统计如下表.(说明:数学满分150分,物理满分100分)‎ 分组 频数 ‎6‎ ‎9‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎(1)根据频率分布直方图,请估计数学成绩的平均分;‎ ‎(2)根据物理成绩统计表,请估计物理成绩的中位数;‎ ‎(3)若数学成绩不低于140分的为“优”,物理成绩不低于90分的为“优”,已知本班中至少有一科为“优”的同学共有6人,从这6人中随机抽取3人,记为抽到两科为“优”的学生人数,求的分布列和数学期望.‎ ‎20.椭圆的左、右焦点分别为,,椭圆上两动点,使得四边形为平行四边形,且平行四边形的周长和最大面积分别为8和.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)设直线与椭圆的另一交点为,当点在以线段为直径的圆上时,求直线的方程.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)讨论函数的单调区间;‎ ‎(2)若存在两个极值点,,证明:.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ 已知在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线的方程为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求直线和曲线的极坐标系方程;‎ ‎(2)曲线分别交直线和曲线于,,求的最大值.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲]‎ 已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)设函数的最小值为,已知,求的最大值.‎ ‎2020届高三模拟考试 数学参考答案(理科)‎ ‎1.B 由题意,,则.‎ ‎2.A 由复数的运算法则可得.‎ ‎3.B 若直线平面,平面平面,此时直线与平面可能平行、相交或,所以充分性不成立;若直线平面,直线平面,则平面平面,所以必要性成立,故选B.‎ ‎4.A 由已知,可得.两式相减得,即.‎ ‎∵∴,∴是首项为6,公比为3的等比数列,从而.‎ ‎5.C 由,解得,所以脚板长为 ‎,查表得,穿的鞋子的码数应为44.‎ ‎6.C 根据约束条件,画出可行域图中阴影部分为可行域.‎ 目标函数,表示可行城中的点与连线的斜率,由图可知点与连线的斜率最大,故的最大值为.‎ ‎7.A ;‎ ‎;‎ ‎.‎ ‎,输出.‎ ‎8.A 由三点共线,得,故解得,则.‎ ‎9.C 由题易知函数为偶函数,排除A选项;‎ 当时,,所以,排除B选项;‎ 当时,,,所以函数在上单调递增,排除D选项.‎ ‎10.D 由题意可知,,,,,则,.‎ ‎11.D 由,可得,又,解得,由于,所以,即,,解得.‎ ‎12.C 由,,解得,‎ 故,在处取得极小值.‎ 根据图象,欲使解集中恰有两个整数,则比较点与四个点,,,连线的斜率,由,可得.‎ ‎13. 可化为,焦点坐标为,故.‎ ‎14. 二项式的展开通项为,‎ 当时,,所以的系数为.‎ ‎15. 因为,,,由题意得,解得,所以,则,则.‎ ‎16. 如图,设点在平面上的射影为点,‎ 因为点到三边的距离相等,则点到三边的距离相等,‎ 又点在平面上的射影落在内,‎ 所以点为的内心.设的内切圆与直角边,分别相切于,,易知四边形是正方形.因为,且,,所以,则的内切圆半径,所以.因为平面,所以为与平面所成的角.因为,所以,所以与平面所成角的正切值为.‎ ‎17.解:(1)分别以所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 设,则.‎ 所以,.‎ 因为,所以,‎ 即,解得,‎ 所以的长为4.‎ ‎(2)因为,所以,又,,‎ 故,.‎ 设为平面的法向量,则,即 取,解得,,‎ 所以为平面的一个法向量.‎ 显然,为平面的一个法向量,‎ 则,‎ 据图可知,二面角的余弦值为.‎ ‎18.解:(1)由已知可得,‎ 得,‎ 所以,所以.‎ ‎(2)由,即,所以.‎ 由,所以,‎ 则,当且仅当时取等号,‎ 所以的最小值为.‎ ‎19.解:(1)根据频率分布直方图得,‎ 又,‎ 解得,,,‎ 故数学成绩的平均分 ‎(分).‎ ‎(2)总人数为50,由物理成绩统计表知,中位数在区间内,‎ 所以物理成绩的中位数约为75分.‎ ‎(3)数学成绩为“优”的同学有4人,物理成绩为“优”的有5人,‎ 因为至少有一科为“优”的同学共有6名,‎ 所以两科均为“优”的人数为3,‎ 故的可能取值为0,1,2,3.‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎.‎ ‎20.解:(1)由平行四边形的周长为8,可知,即.‎ 由平行四边形的最大面积为,可知,‎ 又,解得,.‎ 所以椭圆方程为.‎ ‎(2)注意到直线的斜率不为0,且过定点.‎ 设,,,‎ 由消得,‎ 所以 因为,,‎ 所以 ‎.‎ 因为点在以线段为直径的圆上,所以,即,‎ 所以直线的方程或.‎ ‎21.(1)解:函数的定义域为,,‎ 令,则.‎ ‎①当时,,恒成立,函数的单调递增区间为.‎ ‎②当时,,方程有两根,,,‎ 当时,;当时,;当,.‎ 的单调递增区间为、,‎ 单调递减区间为.‎ ‎(2)证明:由(1)知,当时,存在两个极值点,,‎ 函数在上单调递减,则,,‎ 不妨设,则.‎ 由于 ‎,‎ 且,所以,‎ 则.‎ ‎22.解:(1)由题可知直线的普通方程为,‎ 直线的极坐标方程为.‎ 曲线的普通方程为,‎ 因为,‎ 所以的极坐标方程为.‎ ‎(2)直线的极坐标方程为,令,‎ 则,所以.‎ 又,‎ 所以,‎ 因为,则的最大值为.‎ ‎23.解:(1)由已知不等式,得,‎ 当时,不等式为,解得,所以;‎ 当时,不等式为,解得,所以;‎ 当时,不等式为,解得,此时无解.‎ 综上,原不等式的解集为.‎ ‎(2)因为,‎ 所以,‎ 又,‎ 则,所以的最大值为.‎
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