- 2021-06-30 发布 |
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文档介绍
湖南省湘潭市2020届高三第三次模拟考试数学(理)试题
科目:数学(理科) (试题卷) 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名写在答题卡和本试题卷的封面上,并认真核对答题卡条形码上的姓名和相关信息. 2.选择题和非选择题均须在答题卡上作答,在本试题卷和草稿纸上作答无效.考生在答题卡上按如下要求答题: (1)选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框,修改时用橡皮擦干净,不留痕迹. (2)非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写. (3)请勿折叠答题卡.保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁. 3.本试题卷共4页.如缺页,考生须及时报告监考老师,否则后果自负. 4.考试结束后,将答题卡交回. 姓名_________________ 准考证号______________ 祝你考试顺利! 2020届高三模拟考试 数学(理科) 本试题卷分为第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分,共23小题,时量120分钟,满分150分. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合,,则( ) A. B. C. D. 2.计算( ) A. B. C. D. 3.已知直线平面,则“平面平面”是“直线平面”的( ) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知数列的前项和满足,则( ) A. B. C. D. 5.下表是鞋子的长度与对应码数的关系. 长度 25 25.5 26 26.5 27 27.5 码数 40 41 42 43 44 45 如果人的身高与脚板长呈线性相关且回归直线方程为.若某人的身高为,据此模型,估计其穿的鞋子的码数为( ) A.42 B.43 C.44 D.45 6.已知实数,满足约束条件则的最大值为( ) A. B. C. D. 7.更相减损术出自《九章算术》,它原本是为约分而设计的,原文如下:可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之.如图所示的程序框图的算法思路就源于“更相减损术”若执行该程序框图,则输出的的值为( ) A.14 B.12 C.7 D.6 8.已知向量,是两个夹角为的单位向量,且,,,若,,三点共线,则( ) A.12 B.14 C.16 D.18 9.函数的图象大致为( ) A. B. C. D. 10.已知函数在上的最大值为1且单调递增,则的最大值为( ) A.6 B.7 C.9 D.8 11.在直角坐标系中,,分别是双曲线的左、右焦点,位于第一象限上的点是双曲线上的一点,满足,若点的纵坐标的取值范围是,则双曲线的离心率的取值范围为( ) A. B. C. D. 12.已知对任意实数都有,,若不等式(其中)的解集中恰有两个整数,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.若直线经过抛物线的焦点,则________. 14.的展开式中的系数为________. 15.已知等差数列的公差为2,前项和为,且,,成等比数列.令,则数列的前50项和_________. 16.在三棱锥中,,底面是以为直角顶点的直角三角形,且,,点到三边的距离相等,且点在平面上的射影落在内,则与平面所成角的正切值为________. 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分. 17.如图,已知四棱锥,平面,底面为矩形,,,为的中点,. (1)求线段的长 (2)若为线段上一点,且,求二面角的余弦值. 18.的内角所对的边分别为,已知. (1)求角. (2)设为边的中点,的面积为2,求的最小值. 19.高三年级某班50名学生的期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,成绩分组区间为,,,,,,,其中成等差数列且.物理成绩统计如下表.(说明:数学满分150分,物理满分100分) 分组 频数 6 9 20 10 5 (1)根据频率分布直方图,请估计数学成绩的平均分; (2)根据物理成绩统计表,请估计物理成绩的中位数; (3)若数学成绩不低于140分的为“优”,物理成绩不低于90分的为“优”,已知本班中至少有一科为“优”的同学共有6人,从这6人中随机抽取3人,记为抽到两科为“优”的学生人数,求的分布列和数学期望. 20.椭圆的左、右焦点分别为,,椭圆上两动点,使得四边形为平行四边形,且平行四边形的周长和最大面积分别为8和. (1)求椭圆的标准方程; (2)设直线与椭圆的另一交点为,当点在以线段为直径的圆上时,求直线的方程. 21.已知函数. (1)讨论函数的单调区间; (2)若存在两个极值点,,证明:. (二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程] 已知在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线的方程为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线和曲线的极坐标系方程; (2)曲线分别交直线和曲线于,,求的最大值. 23.[选修4-5:不等式选讲] 已知函数. (1)求不等式的解集; (2)设函数的最小值为,已知,求的最大值. 2020届高三模拟考试 数学参考答案(理科) 1.B 由题意,,则. 2.A 由复数的运算法则可得. 3.B 若直线平面,平面平面,此时直线与平面可能平行、相交或,所以充分性不成立;若直线平面,直线平面,则平面平面,所以必要性成立,故选B. 4.A 由已知,可得.两式相减得,即. ∵∴,∴是首项为6,公比为3的等比数列,从而. 5.C 由,解得,所以脚板长为 ,查表得,穿的鞋子的码数应为44. 6.C 根据约束条件,画出可行域图中阴影部分为可行域. 目标函数,表示可行城中的点与连线的斜率,由图可知点与连线的斜率最大,故的最大值为. 7.A ; ; . ,输出. 8.A 由三点共线,得,故解得,则. 9.C 由题易知函数为偶函数,排除A选项; 当时,,所以,排除B选项; 当时,,,所以函数在上单调递增,排除D选项. 10.D 由题意可知,,,,,则,. 11.D 由,可得,又,解得,由于,所以,即,,解得. 12.C 由,,解得, 故,在处取得极小值. 根据图象,欲使解集中恰有两个整数,则比较点与四个点,,,连线的斜率,由,可得. 13. 可化为,焦点坐标为,故. 14. 二项式的展开通项为, 当时,,所以的系数为. 15. 因为,,,由题意得,解得,所以,则,则. 16. 如图,设点在平面上的射影为点, 因为点到三边的距离相等,则点到三边的距离相等, 又点在平面上的射影落在内, 所以点为的内心.设的内切圆与直角边,分别相切于,,易知四边形是正方形.因为,且,,所以,则的内切圆半径,所以.因为平面,所以为与平面所成的角.因为,所以,所以与平面所成角的正切值为. 17.解:(1)分别以所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设,则. 所以,. 因为,所以, 即,解得, 所以的长为4. (2)因为,所以,又,, 故,. 设为平面的法向量,则,即 取,解得,, 所以为平面的一个法向量. 显然,为平面的一个法向量, 则, 据图可知,二面角的余弦值为. 18.解:(1)由已知可得, 得, 所以,所以. (2)由,即,所以. 由,所以, 则,当且仅当时取等号, 所以的最小值为. 19.解:(1)根据频率分布直方图得, 又, 解得,,, 故数学成绩的平均分 (分). (2)总人数为50,由物理成绩统计表知,中位数在区间内, 所以物理成绩的中位数约为75分. (3)数学成绩为“优”的同学有4人,物理成绩为“优”的有5人, 因为至少有一科为“优”的同学共有6名, 所以两科均为“优”的人数为3, 故的可能取值为0,1,2,3. , , . 所以的分布列为 0 1 2 3 . 20.解:(1)由平行四边形的周长为8,可知,即. 由平行四边形的最大面积为,可知, 又,解得,. 所以椭圆方程为. (2)注意到直线的斜率不为0,且过定点. 设,,, 由消得, 所以 因为,, 所以 . 因为点在以线段为直径的圆上,所以,即, 所以直线的方程或. 21.(1)解:函数的定义域为,, 令,则. ①当时,,恒成立,函数的单调递增区间为. ②当时,,方程有两根,,, 当时,;当时,;当,. 的单调递增区间为、, 单调递减区间为. (2)证明:由(1)知,当时,存在两个极值点,, 函数在上单调递减,则,, 不妨设,则. 由于 , 且,所以, 则. 22.解:(1)由题可知直线的普通方程为, 直线的极坐标方程为. 曲线的普通方程为, 因为, 所以的极坐标方程为. (2)直线的极坐标方程为,令, 则,所以. 又, 所以, 因为,则的最大值为. 23.解:(1)由已知不等式,得, 当时,不等式为,解得,所以; 当时,不等式为,解得,所以; 当时,不等式为,解得,此时无解. 综上,原不等式的解集为. (2)因为, 所以, 又, 则,所以的最大值为.查看更多