高考理科数学二轮专项训练专题：02 函数

高考理科数学二轮专项训练专题：02 函数

专题02 函数 函数的概念和性质 一、 选择题 ‎1．(2018全国卷Ⅱ)函数的图像大致为 ‎ B【解析】当时，因为，所以此时，故排除A．D；又，故排除C，选B．‎ ‎2．(2018全国卷Ⅲ)函数的图像大致为 D【解析】当时，，排除A，B．由，得或 ‎，结合三次函数的图象特征，知原函数在上有三个极值点，所以排除C，故选D．‎ ‎3．(2018全国卷Ⅱ)已知是定义域为的奇函数，满足．‎ 若，则 A． ‎ B．0 C．2 D．50‎ C【解析】解法一 ∵是定义域为的奇函数，．‎ 且．∵，∴，‎ ‎∴，∴，∴是周期函数，且一个周期为4，∴，，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 故选C．‎ 解法二 由题意可设，作出的部分图象如图所示．‎ 由图可知，的一个周期为4，所以，‎ 所以，故选C．‎ ‎4．(2018浙江)函数的图象可能是 A． B． C．D．‎ D【解析】设，其定义域关于坐标原点对称，‎ 又，所以是奇函数，故排除选项A，B；‎ 令，所以，所以()，所以()，故排除选项C．故选D．‎ ‎5．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足 ‎ 的的取值范围是 A． B． C． D．‎ D【解析】由函数为奇函数，得，‎ 不等式即为，‎ 又在单调递减，所以得，即，选D．‎ ‎6．若函数在区间[0，1]上的最大值是，最小值是，则 A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 B【解析】函数的对称轴为，‎ ‎①当，此时，，；‎ ‎②当，此时，，；‎ ‎③当，此时，或，或．综上，的值与有关，与无关．选B．‎ ‎7．已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为 A． B． C． D．‎ C【解析】由题意为偶函数，且在上单调递增，‎ 所以又，，‎ 所以，故，选C．‎ ‎8．已知函数，则 A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 A【解析】，得为奇函数，‎ ‎，所以在R上是增函数．选A．‎ ‎9．已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时， ；当 时，‎ ‎；当 时，，则f(6)= ‎ A． ‎−2 B．−1 C．0 D．2‎ D【解析】当时，为奇函数，且当时，，‎ 所以．而，‎ 所以，故选D．‎ ‎10．函数在[–2,2]的图像大致为 A．B．C．D．‎ D【解析】当时，令函数，则，易知在[0，）上单调递增，在[，2]上单调递减，又，，，，所以存在是函数的极小值点，即函数在上单调递减，在上单调递增，且该函数为偶函数，符合 条件的图像为D．‎ ‎11．已知函数满足，若函数与图像的交点为，，…，，则 A．0 B．m C．2m D．4m B【解析】由得，可知关于对称，‎ 而也关于对称，∴对于每一组对称点 ，∴，故选B．‎ ‎12．下列函数为奇函数的是 A． B． C． D．‎ D【解析】∵函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，排除A；因为为偶函数，所以排除B；因为为偶函数，所以排除C；因为，‎ ‎，所以为奇函数．‎ ‎13．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A． B． C． D．‎ D 【解析】选项A、C为偶函数，选项B中的函数是奇函数；选项D中的函数为非奇非偶函数．‎ ‎14．设函数，则是 A．奇函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是减函数 C．偶函数，且在上是增函数 D．偶函数，且在上是减函数 A 【解析】由题意可知，函数的定义域为，且，易知在上为增函数，故在上为增函数，又，故为奇函数．‎ ‎15．已知符号函数 是上的增函数，‎ ‎，则 ‎ A． 　 B．‎ C． D．‎ B【解析】因为是上的增函数，令，所以，因为，‎ 所以是上的减函数，由符号函数知，.‎ ‎16．函数的图象如图所示，则下列结论成立的是 A．，， B．，，‎ C．，， D．，，‎ C【解析】∵的图象与轴分别交于，且点的纵坐标与点的横坐标均为正，∴，，故，又函数图象间断的横坐标为正，∴，故．‎ ‎17．已知函数的图象与函数的图象关于轴对称，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ A【解析】设点是函数上任意一点，则点在函数的图像上 即所以函数的解析式为：故选：A ‎18．函数的部分图象大致是（ ）‎ A．B．C．D．‎ ‎【答案】B【解析】由，可得，故是奇函数，图象关于原点对称，排除A.当时，；当时，，排除C,D.故选：B.‎ ‎19．函数在区间附近的图象大致形状是（　　　　）‎ A．B．C．D．‎ B【解析】过点，可排除选项A，D.又，排除C.故选:B ‎20．已知，则（　　　　）‎ A． B． C． D．‎ B【解析】，由幂函数为上的增函数,可得 又由指数函数为上的减函数，可知，所以.故选:B 二、填空题 ‎21．(2018江苏)函数的定义域为 ．‎ ‎【解析】要使函数有意义，则，即，则函数的定义域是．‎ ‎22．(2018江苏)函数满足，且在区间上，‎ 则的值为 ．‎ ‎【解析】因为函数满足()，所以函数的最小正周期是4．因为在区间 上，，‎ 所以．‎ ‎23.(2018上海)已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则=_____‎ ‎【解析】由题意为奇函数，所以只能取，又在上递减，所以．‎ ‎24.(2018北京)能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数是__________．‎ ‎（不答案不唯一）【解析】这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足对任意的都成立，且函数在上不是增函数即可，如，，答案不唯一．‎ ‎25.设函数，则满足的的取值范围是___．‎ ‎【解析】当时，不等式为恒成立；‎ 当，不等式恒成立；‎ 当时，不等式为，解得，即；‎ 综上，的取值范围为． ‎ ‎26.已知函数，其中是自然数对数的底数，若，则实数 的取值范围是 ．‎ ‎【解析】因为，所以函数是奇函数，因为，所以数在上单调递增，又，即，所以，‎ 即，解得，故实数的取值范围为．‎ ‎27.若函数(e=2．71828，是自然对数的底数)在的定义域上单调递增，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是 ‎① ② ③ ④‎ ‎①④【解析】①在上单调递增，故具有性质；‎ ‎②在上单调递减，故不具有性质；‎ ‎③，令，则，‎ 当时，，当时，，‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ 故不具有性质；‎ ‎④，令，‎ 则，‎ 在上单调递增，故具有性质．‎ ‎28.已知，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是 ．‎ ‎【解析】∵，∴‎ ‎①当时，，‎ 所以的最大值，即（舍去）‎ ‎②当时，，此时命题成立．‎ ‎③当时，，则 或，‎ 解得或，‎ 综上可得，实数的取值范围是．‎ ‎29.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数a满足，则a的取值范围是______.‎ ‎【解析】由是偶函数可知，单调递增；单调递减 又，‎ 可得，即．‎ ‎30.设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中，若，则的值是 ．‎ ‎【解析】由题意得，，‎ 由可得，则，‎ 则．‎ ‎31.若函数为偶函数，则= ‎ ‎1【解析】由题意，‎ 所以，解得．‎ ‎32.已知函数，则_______，的最小值是______．‎ ‎【解析】∵，，即．又在 上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以．‎ ‎33.已知函数 的定义域和值域都是，则 ．‎ ‎【解析】当时，无解；‎ 当时，解得，，则．‎ ‎34.若函数( 且 )的值域是，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【解析】因为，所以当时，；又函数的值域为，所以，解得，所以实数的取值范围为．‎ 专题02 函数 指数函数、对数函数、幂函数 一、选择题 ‎1．(2018全国卷Ⅰ)已知函数．若存在2个零点，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ C【解析】函数存在 2个零点，即关于的方程有2 个不同的实根，即函数的图象与直线有2个交点，作出直线与函数的图象，如图所示，‎ 由图可知，，解得，故选C．‎ ‎2．(2018全国卷Ⅲ)设，，则 A． B．‎ C． D．‎ B【解析】由得，由得，‎ 所以，所以，得．‎ 又，，所以，所以．故选B．‎ ‎3．(2018天津)已知，，，则a，b，c的大小关系为 A． B． C． D．‎ D【解析】因为，，．‎ 所以，故选D．‎ ‎4．（2017新课标Ⅰ）设为正数，且，则 A．      B．     C．     D．‎ D【解析】设，因为为正数，所以，‎ 则，，，‎ 所以，则，排除A、B；只需比较与，‎ ‎，则，选D．‎ ‎5．（2017天津）已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为 A． B． C． D．‎ C【解析】由题意为偶函数，且在上单调递增，‎ 所以又，，‎ 所以，故，选C．‎ ‎6．（2017北京）已知函数，则 A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 A【解析】，得为奇函数，‎ ‎，所以在R上是增函数．选A．‎ ‎7．（2017北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为．则下列各数中与最接近的是 ‎（参考数据：≈0．48）‎ A． ‎ B．  C． D．‎ D【解析】设，两边取对数得，‎ ‎，‎ 所以，即最接近，选D．‎ ‎8．若，，则 A． B．‎ C． D．‎ C【解析】选项A，考虑幂函数，因为，所以为增函数，又，所以，A错．对于选项B，，又是减函数，所以B错．对于选项D，由对数函数的性质可知D错，故选C．‎ ‎9．已知，，，则 A． B． C． D．‎ A【解析】因为，，，且幂函数在上单调递增，指数函数在上单调递增，所以，故选A．‎ ‎10．设函数，则 A．3 B．6 C．9 D．12‎ C【解析】由于，，‎ 所以．‎ ‎11．如图，函数的图像为折线，则不等式的解集是 A． B．‎ C． D．‎ C【解析】如图，函数的图象可知，的解集是 ‎．‎ ‎12．已知定义在 上的函数 （为实数）为偶函数，记 ‎，，则 的大小关系为 A． B．‎ C． D． ‎ C 【解析】因为函数为偶函数，所以，即，‎ 所以，‎ ‎， ，所以，故选C．‎ ‎13．若，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ A【解析】因为,2>1,所以,因为,所以指数函数为递减函数,又-0.1<0.2,所以,即,综上所述,.故选:A ‎14．设函数，则满足的的取值范围是 A． B． C． D．‎ C【解析】由可知，则或，解得．‎ ‎15．已知函数（为常数，其中）的图象如图，则下列结论成立的是 A． B． ‎ C． D． ‎ D【解析】由图象可知，当时，，得．‎ ‎16．设，，，则 A． B． C． D．‎ ‎．D【解析】由图象可知，当时，，得．‎ ‎17．在同意直角坐标系中，函数的图像可能是 D【解析】当时，函数单调递增，函数单调递增，且过点(1，0)，由幂函数的图象性质可知C错；当时，函数单调递增，函数单调递减，且过点(1，0)，排除A，又由幂函数的图象性质可知C错，因此选D．‎ ‎18．函数的单调递增区间是 A． B． C． D．‎ D【解析】，解得或.由复合函数的单调性知的单调递增区间为．‎ ‎19．设，则 A． B． C． D．‎ D【解析】，‎ 由下图可知D正确 解法二 ，，‎ ‎，由，可得答案D正确．‎ ‎20．设，则有（ ）‎ A． B． C． D．‎ A【解析】因为，所以 二、填空题 ‎21．(2018江苏)函数的定义域为 ．‎ ‎【解析】要使函数有意义，则，即，则函数的定义域是．‎ ‎22．(2018上海)已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则=_____．‎ ‎【解析】由题意为奇函数，所以只能取，又在上递减，所以．‎ 23． ‎(2018上海)已知常数，函数的图像经过点、，若，则=__________．‎ ‎【解析】由题意，，上面两式相加，‎ 得，所以，所以，‎ 因为，所以．‎ 24． 已知，若，，则= ，= ．‎ ‎ 【解析】设，则，因为，‎ 因此 25． 不等式的解集为_______．‎ ‎【解析】由题意得：，解集为．‎ 23． 若，则_______．‎ ‎【解析】∵，∴，∴．‎ 24． 设函数则使得成立的的取值范围是__．‎ ‎【解析】当时，由得，∴；当时，‎ 由得，∴，综上．‎ 25． 函数的单调递减区间是________．‎ ‎【解析】，知单调递减区间是．‎ 26． 函数的最小值为_________．‎ ‎【解析】‎ ‎．当且仅当，即时等号成立．‎ ‎30．若函数在上的最大值为4，最小值为，且函数在上是增函数，则a＝＿＿＿＿．‎ ‎【解析】 当时，有，此时，此时为减函数，不合题意.若，则，故，检验知符合题意．‎ 专题02 函数 ‎ 函数与方程 一、选择题 ‎1．(2018全国卷Ⅰ)已知函数．若存在2个零点，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ C【解析】函数存在 2个零点，即关于的方程有2 个不同的实根，即函数的图象与直线有2个交点，作出直线与函数的图象，如图所示，‎ 由图可知，，解得，故选C．‎ ‎2．（2017新课标Ⅲ）已知函数有唯一零点，则=‎ A． B． C． D．1‎ C【解析】令，则方程有唯一解，‎ 设，，则与有唯一交点，‎ 又，当且仅当时取得最小值2．‎ 而，此时时取得最大值1，‎ 有唯一的交点，则．选C．  ‎ ‎3．（2017山东）已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ B【解析】当时，，函数，在上单调递减，函数，在上单调递增，因为，，，，所以，，此时与在有一个交点；当时，，函数，在 上单调递减，在上单调递增，此时，在无交点，‎ 要使两个函数的图象有一个交点，需，即，解得．‎ 选B．‎ ‎4．已知函数=（,且）在R上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是 A．(0，] B．[，] C．[，]{} D．[，）{}‎ C【解析】当时，单调递减，必须满足，故，此时函数在上单调递减，若在上单调递减，还需，即，所以．当时，函数的图象和直线只有一个公共点，即当时，方程只有一个实数解．因此，只需当时，方程 只有一个实数解，根据已知条件可得，当时，方程 ‎，即在上恰有唯一的实数解．判别式，当时，，此时满足题意；令，由题意得，即，即时，方程有一个正根、一个负根，满足要求；当，即时，方程有一个为0、一个根为，满足要求；当，即，即时对称轴，此时方程有两个负根，不满足要求；综上实数的取值范围是．‎ ‎5．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 A． B． C． D．‎ A【解析】是偶函数且有无数多个零点，为奇函数，既不是奇函数又不是偶函数，是偶函数但没有零点．故选A．‎ ‎6．若是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于 A．6 B．7 C．8 D．9‎ D【解析】由韦达定理得，，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；‎ 当是等差中项时，，解得，，综上所述，，‎ 所以，选D．‎ ‎7．已知函数 函数 ，其中 ‎ ，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是 A． ‎ B． C． D．‎ D【解析】由得，‎ 所以，‎ 即，‎ ‎，所以恰有4个零点等价于方程有4个不同的解，即函数与函数 的图象的4个公共点，由图象可知．‎ ‎8．对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是 A．－1是的零点 B．1是的极值点 C．3是的极值 D．点在曲线上 A【解析】由A知；由B知，；由C知 ‎，令可得，则，则；‎ 由D知，假设A选项错误，则，得，满足题意，故A结论错误，同理易知当B或C或D选项错误时不符合题意，故选A．‎ ‎9．已知函数，．若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ B【解析】如图所示，方程有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线的斜率大于坐标原点与点的连续的斜率，且小于直线的斜率时符合题意，故选．‎ ‎10．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是 A． B． C． D．‎ C【解析】∵，，‎ ‎，∴零点的区间是．‎ ‎11．已知函数, 且在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ A【解析】在内有且仅有两个不同的零点就是函数 的图象与函数的图象有两个交点，在同一直角坐标系内作出函数，和函数的图象，如图，‎ 当直线与和都相交时 ‎；当直线与有两个交点时，‎ 由，消元得，即，‎ 化简得，当，即时直线 与相切，当直线过点 时，，所以，综上实数的取值范围是．‎ ‎12．已知是定义在上的奇函数，当时，．则函数的零点的集合为 ‎ A． B． C． D． ‎ D【解析】当时，函数的零点即方程的根，由，解得或3；当时，由是奇函数得，‎ 即，由得（正根舍去）．‎ ‎13．已知函数有两个极值点，若 ‎，则关于的方程的不同实根个数为 A．3 B．4 C．5 D．6‎ A【解析】，是方程的两根，‎ 由，则又两个使得等式成立，‎ ‎，，其函数图象如下：‎ 如图则有3个交点，故选A.‎ ‎14．若，则函数的两个零点分别位于区间 A．和内 B．和内 ‎ C．和内 D．和内 A【解析】由，可得，，‎ ‎．显然，，‎ 所以该函数在和上均有零点，故选A．‎ ‎15．函数的图像与函数的图象的交点个数为 A．3 B．2 C．1 D．0 ‎ B【解析】二次函数的图像开口向上，在轴上方，对称轴为 ‎，； ．所以，‎ 从图像上可知交点个数为2．‎ ‎16．函数的零点个数为 A．1 B．2 C．3 D．4‎ B【解析】令，可得，由图象法可知有两个零点．‎ ‎17．函数的零点个数为 A．0 B．1 C．2 D．3‎ B【解析】因为在内单调递增，又，‎ 所以在内存在唯一的零点．‎ ‎18.函数在区间上的零点个数为 A．4 B．5 C．6 D．7‎ C【解析】，则或，，又，‎ 所以共有6个解.选C．‎ ‎19．设函数满足，，且当时，．又函数，则函数在上的零点个数为 A．5 B．6 C．7 D．8‎ B【解析】由题意知，所以函数为偶函数，所以 ‎，所以函数为周期为2的周期函数，‎ 且，，而为偶函数，‎ 且，在同一坐标系下作出两函数在上的图像，发现在内图像共有6个公共点，则函数在上的零点个数为6，故选B．‎ ‎20．对实数与，定义新运算“”： 设函数 若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是 A． 　B．‎ C． D．‎ B【解析】由题意知，若，即时，；当，即或时，，要使函数的图像与轴恰有两个公共点，只须方程有两个不相等的实数根即可，即函数的图像与直线有两个不同的交点即可，画出函数的图像与直线，不难得出答案B．‎ 二、填空题 ‎21．(2018全国卷Ⅲ)函数在的零点个数为________．‎ ‎3【解析】由题意知，，所以，，‎ 所以，，当时，；当时，；‎ 当时，，均满足题意，所以函数在的零点个数为3．‎ ‎22．(2018天津)已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 ． ‎ ‎【解析】当时，由，得；‎ 当时，由，得．‎ 令，作出直线，，‎ 函数的图象如图所示，‎ 的最大值为，由图象可知，若恰有2个互异的实数解，则，得．‎ ‎23．(2018江苏)若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 ．‎ ‎【解析】()，当时在 上恒成立，则在上单调递增，又，所以此时在内无零点，不满足题意．当时，由得，由得，则在上单调递减，在上单调递增，又在内有且只有一个零点，所以，得，所以，‎ 则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，则，，，则，所以在上的最大值与最小值的和为．‎ ‎24．(2018浙江)已知，函数，当时，不等式的解集是_____．若函数恰有2个零点，则的取值范围是______．‎ ‎；【解析】若，则当时，令，得；当时，令，得．综上可知，所以不等式 的解集为．令，解得；令，解得或．因为函数恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知或．‎ ‎25．(2018浙江)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，，，则，当时， ， ．‎ ‎8；11【解析】因为，所以，解得．‎ ‎26．（2017江苏）设是定义在且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是 ．‎ ‎8【解析】由于，则需考虑的情况，‎ 在此范围内，且时，设，且互质，‎ 若，则由，可设，且互质，‎ 因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，‎ 因此，因此不可能与每个周期内对应的部分相等，‎ 只需考虑与每个周期的部分的交点，‎ 画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，‎ 且处，则在附近仅有一个交点，‎ 因此方程的解的个数为8．‎ ‎27．已知函数 其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是_________.‎ ‎【解析】由题意，当时，，其顶点为；当时，函数的图象与直线的交点为．‎ ‎①当，即时，函数的图象如图1所示，此时直线与函数的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；‎ ‎②当，即时，函数的图象如图2所示，则存在实数满足，使得直线与函数的图象有三个不同的交点，符合题意．综上，的取值范围为．‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎28．函数的零点个数为 ．‎ ‎2【解析】因为 ‎=‎ 专题02 函数 函数的综合及其应用 一、选择题 ‎1．已知函数设，若关于的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 A． B． C． D．‎ A【解析】解法一 根据题意，作出的大致图象，如图所示 当时，若要恒成立，结合图象，只需，即，故对于方程，，解得；当时，若要恒成立，结合图象，只需，即，又，当且仅当，即时等号成立，所以，综上，的取值范围是．选A．‎ 解法二 由题意的最小值为，此时．不等式在R 上恒成立等价于在R上恒成立．‎ 当时，令，，不符合，排除C、D；‎ 当时，令，，不符合，排除B．选A．‎ ‎2．设，且，则 A． B． C． D．‎ D【解析】对A项，当时，，故A错误；‎ 对B项，取，时，，不满足，故B错误；‎ 对C项，取，时，，不满足，故C错误；‎ 对D项，函数在上单调递增，，则，故D正确;故选：D ‎3．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数关系（、、是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）‎ A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 B【解析】由题意可知过点（3，0.7），（4，0.8）（5，0.5），代入 中可解得，∴‎ ‎，∴当分钟时，可食用率最大．‎ ‎4．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A． B． C． D．‎ D【解析】设年平均增长率为，原生产总值为，则，解得，故选D．‎ 二、填空题 ‎5．若函数(e=2．71828，是自然对数的底数)在的定义域上单调递增，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是 ．‎ ‎① ② ③ ④‎ ‎①④【解析】①在上单调递增，故具有性质；‎ ‎②在上单调递减，故不具有性质；‎ ‎③，令，则，‎ 当时，，当时，，‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ 故不具有性质；‎ ‎④，令，‎ 则，‎ 在上单调递增，故具有性质．‎ ‎6．设是定义在且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是 ．‎ ‎8【解析】由于，则需考虑的情况，‎ 在此范围内，且时，设，且互质，‎ 若，则由，可设，且互质，‎ 因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，‎ 因此，‎ 因此不可能与每个周期内对应的部分相等，‎ 只需考虑与每个周期的部分的交点，‎ 画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，‎ 且处，则在附近仅有一个交点，‎ 因此方程的解的个数为8．‎ ‎7．设函数． ①若，则的最大值为____________________；‎ ②若无最大值，则实数的取值范围是_________________．‎ ‎，.【解析】①若，则，当时，；‎ 当时，，所以函数在上单调递 增，在 上单调递减，所以函数在上的最大值为．‎ 综上函数的最大值为2．‎ ②函数与的大致图象如图所示 若无最大值，由图象可知，即．‎ ‎8．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是 小时．‎ ‎24【解析】由题意得，即，所以该食品在℃的保鲜时间是 ‎．‎ ‎9．已知函数，对函数，定义关于的“对称函数”为函数，满足：对任意，两个点 关于点对称，若是关于 的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是____．‎ ‎【解析】函数的定义域为，根据已知得，‎ 所以，恒成立，‎ 即，令，，则只要直线在半圆上方即可，由，解得（舍去负值），故实数的取值范围是．‎ ‎10.要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）‎ ‎160【解析】设该容器的总造价为元，长方体的底面矩形的长，因为无盖长方体的容积为，高为，所以长方体的底面矩形的宽为，依题意，得 ‎11．以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间 ‎．例如，当，时，，．现有如下命题：①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”；②函数的充要条件是有最大值和最小值；‎ ‎③若函数，的定义域相同，且，，则；‎ ‎④若函数（，）有最大值，则．‎ 其中的真命题有 ．（写出所有真命题的序号）‎ ‎①③④【解析】对于①，根据题中定义，函数，的值域为，由函数值域的概念知，函数，的值域为 ‎，所以①正确；对于②，例如函数的值域包含于区间，所以，但有最大值l，没有最小值，所以②错误；对于③，若 ‎，则存在一个正数，使得函数的值域包含于区间，所以，由知，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间，所以，亦有 ‎，两式相加得≤≤，于是，与已知“.”矛盾，故，即③正确；对于④，如果，‎ 那么，如果，那么，所以有最大值，必须，此时在区间上，有，‎ 所以，即④正确，故填①③④．‎ 三、解答题 ‎12．‎ 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 ‎（单位：分钟），‎ 而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：‎ ‎(1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？‎ ‎(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．‎ ‎【解析】(1)当时，恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间；‎ 当时，若，即，解得（舍）或；‎ ‎∴当时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；‎ ‎(2)设该地上班族总人数为，则自驾人数为，乘公交人数为．‎ 因此人均通勤时间，整理得：，‎ 则当，即时，单调递减；‎ 当时，单调递增．‎ 实际意义：当有的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短．‎ 适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体 效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降．‎ ‎13．（2018江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设与所成的角为．‎ ‎(1)用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；‎ ‎(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．‎ ‎【解析】(1)连结并延长交于，则⊥，所以=10．‎ 过作⊥于，则∥，所以，‎ 故，，‎ 则矩形的面积为，‎ 的面积为．‎ 过作⊥，分别交圆弧和的延长线于和，则．‎ 令，则，．‎ 当时，才能作出满足条件的矩形，‎ 所以的取值范围是．‎ 答：矩形的面积为平方米，的面积为 ‎，的取值范围是．‎ ‎(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，‎ 设甲的单位面积的年产值为，乙的单位面积的年产值为，‎ 则年总产值为 ‎，．‎ 设，，‎ 则．‎ 令，得，‎ 当时，，所以为增函数；‎ 当时，，所以为减函数，‎ 因此，当时，取到最大值．‎ 答：当时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．‎ ‎14．已知，函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；‎ ‎（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.‎ ‎【解析】（1）由，得，‎ 解得．‎ ‎（2），，‎ 当时，，经检验，满足题意．‎ 当时，，经检验，满足题意．‎ 当且时，，，．‎ 是原方程的解当且仅当，即；‎ 是原方程的解当且仅当，即．‎ 于是满足题意的．‎ 综上，的取值范围为．‎ ‎（3）当时，，，‎ 所以在上单调递减．‎ 函数在区间上的最大值与最小值分别为，．‎ 即，‎ 对任意成立．‎ 因为，所以函数在区间上单调递增，‎ 时，有最小值，由，得．‎ 故的取值范围为．‎ ‎15．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为，计划修建的公路为，如图所示，，为的两个端点，测得点到 的距离分别为5千米和40千米，点到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，假设曲线符合函数（其中为常数）模型．‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）设公路与曲线相切于点，的横坐标为.‎ ‎ ①请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域；‎ ‎ ②当为何值时，公路的长度最短？求出最短长度．‎ ‎【解析】（1）由题意知，点，的坐标分别为，．‎ 将其分别代入，得，解得．‎ ‎（2）①由（1）知，（），则点的坐标为，‎ 设在点处的切线交，轴分别于，点，，‎ 则的方程为，由此得，．‎ 故，．‎ ②设，则．令，解得．‎ 当时，，是减函数；‎ 当时，，是增函数．‎ 从而，当时，函数有极小值，也是最小值，所以，‎ 此时．‎ 答：当时，公路的长度最短，最短长度为千米．‎ ‎16．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为米，高为米，体积为立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000元（为圆周率）．‎ ‎（Ⅰ）将表示成的函数，并求该函数的定义域；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数的单调性，并确定和为何值时该蓄水池的体积最大．‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为蓄水池侧面积的总成本为元，底面的总成本为元，所以蓄水池的总成本为（）元.‎ 又题意据，所以，‎ 从而．因，又由可得，‎ 故函数的定义域为.‎ ‎（Ⅱ）因，故．令，‎ 解得（因不在定义域内，舍去）.‎ 当时，，故在上为增函数；‎ 当时，，故在上为减函数.‎ 由此可知，在处取得最大值，此时．‎ 即当，时，该蓄水池的体积最大．‎ ‎17．设函数 ‎（1）设，，证明：在区间内存在唯一的零点；‎ ‎（2）设n为偶数，，，求的最小值和最大值；‎ ‎（3）设，若对任意，有，求的取值范围；‎ ‎【解析】（1）当时，．‎ ‎∵，∴在内存在零点．‎ 又当时，，∴在上是单调递增的，‎ ‎∴在区间内存在唯一的零点；‎ ‎（2）解法一 由题意知即由图像知，在点取得最小值，在点取得最大值．‎ 解法二 由题意知，即．…①‎ ‎，即．…②‎ ‎①+②得 当时，；当时，‎ 所以的最小值，最大值．‎ 解法三 由题意知,‎ 解得 ‎．‎ 又∵, ∴‎ 当时，；当时，‎ 所以的最小值，最大值．‎ ‎(3)当时,．‎ 对任意都有有等价于在[-1,1]上的最大值与最小值之差．据此分类讨论如下:‎ ‎(ⅰ)当,即时, ,与题设矛盾．‎ ‎(ⅱ)当,即时, 恒成立．‎ ‎(ⅲ) 当,即时, 恒成立．‎ 综上可知,．‎