2020届高三数学第四次考试试题 理（含解析）(新版)人教版

2020届高三数学第四次考试试题 理（含解析）(新版)人教版

‎2019届高三第四次模拟考试 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知复数，则下列命题中错误的是（ ）‎ A. B. C. 的虚部为 D. 在复平面上对应点再第一象限 ‎【答案】C ‎【解析】= 故A对；‎ 故B对；的虚部为1，故C错；在复平面上对应点为在第一象限，故D对；‎ 故选C ‎2. 集合，则的子集个数是（ ）个 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎【答案】C ‎【解析】集合A={x|x2-7x＜0，x∈N*}={1，2，3，4，5，6}， ={1，2，3，6}， 故B有16个子集， 故选 C．‎ ‎3. 设，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎.....................‎ 故选B ‎4. 命题：“若，则且”的逆否命题是（ ）‎ - 12 -‎ A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若或，则 D. 若或，则 ‎【答案】C ‎【解析】根据逆否命题的写法可得命题：“若，则且”的逆否命题是若或，则 故选C ‎5. 已知向量，则是“与反向”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】与反向则存在唯一的实数，使得，即 ‎ 所以是“与反向”的充要条件 故选C ‎6. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数），若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是（ ）小时.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 故选D ‎7. 若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，解得或，因为所以，，所以 - 12 -‎ ‎= ‎ 故选C ‎8. 函数的图象可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以函数的图象关于点（2,0）对称，排除A，B。当时，，所以，排除D。选C。‎ ‎9. 已知点的坐标满足不等式，为直线上任一点，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】点M的坐标(x,y)满足不等式组的可行域如图：‎ - 12 -‎ N为直线y=−2x+2上任一点,则|MN|的最小值,就是两条平行线y=−2x+2与2x+y−4=0之间的距离： ‎ 故选B ‎10. 若函数的图象关于直线对称，且当时，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 又 且关于点对称，‎ 从而 本题选择A选项.‎ ‎11. 已知双曲线右焦点为为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】曲线右焦点为 ，周长 要使周长最小，只需 最小，如图：‎ - 12 -‎ 当三点共线时取到,故l=2|AF|+2a= ‎ 故选B 点睛：本题考查了双曲线的定义，两条线段之和取得最小值的转化，考查了转化思想，属于中档题.‎ ‎12. 已知，集合，集合的所有非空子集的最小元素之和为，则使得的最小正整数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】当n=2时，的所有非空子集为：{, ∴和为S= ‎ 当n=3时，∴和为S= ‎ 当n≥4时，当最小值为 时，每个元素都有或无两种情况，共有n-1个元素，共有2n-1-1个非空子集，‎ S1=当最小值为不含含共n-2个元素，有2n-2-1个非空子集，‎ S2=‎ ‎∴=S1+S2+S3+…+Sn=+则 的最小正整数为13 ‎ 故选B 点睛：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要熟练掌握集合的子集的概念，注意分类讨论思想的灵活运用.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 若，则的最大值为__________．‎ - 12 -‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】 ‎ 当 时取等号 故答案为-2‎ ‎14. 已知向量满足且，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】=所以 的最小值为 故答案为 ‎15. 若，则的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】， 令 所以在递减，在递增，且即为,所以 故解集为 故答案为 ‎16. 已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点是抛物线焦点，点在抛物线上，且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|,∴|PA|=m|PN|,则，设PA的倾斜角为α,则sinα，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，‎ 设直线PA的方程为y=kx−1,代入,可得=4(kx−1)，‎ 即−4kx+4=0，‎ ‎∴△=16−16=0，∴k=±1，‎ ‎∴P(2,1)，‎ ‎∴双曲线的实轴长为PA−PB=2 所以双曲线的离心率为 ‎ 故答案为 - 12 -‎ 点睛：本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，考查数形结合思想，属于中档题．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在锐角中，.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式和正弦函数加法定理推导出由此能求出角A． （2）由，利用余弦定理求出AB=3，由此能求出△ABC的面积．‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为，‎ 所以，‎ 则，即，‎ 由为锐角三角形得.‎ ‎（2）在中，，即，‎ 化简得，解得（负根舍去），‎ 所以.‎ ‎18. 已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若在区间上的最大值为，求的值.‎ ‎【答案】（1）在上是增函数，在上是减函数；（2）。‎ ‎【解析】试题分析：（1）定义域为，在上是增函数，在上是减函数；（2）即分类讨论时在上是增函数不合题意，时若在 - 12 -‎ 上是增函数，由①知不合题意. 若,在上是增函数，在为减函数，，即得值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）易知定义域为，‎ 令，得.‎ 当时，；当时，.‎ 在上是增函数，在上是减函数.‎ ‎（2），‎ ‎①若，则，从而在上是增函数，‎ ‎，不合题意.‎ ‎②若，则由，即，‎ 若在上是增函数，由①知不合题意.‎ 若,由，即.‎ 从而在上是增函数，在为减函数，‎ ‎，‎ 所求的.‎ ‎19. 已知数列为数列的前项和，且满足 .‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求的通项公式 ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由的关系得相减得检验时，适合上式即得数列的通项公式（2），两边同时除以得累加法即得解.‎ 试题解析：‎ - 12 -‎ ‎（1）当时，，‎ 当时，由，得：，‎ 则 当时，适合上式 综上，是公比为，首项为的等比数列，；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，累加得 所以 ‎.‎ ‎20. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线交椭圆与两点，若，求证：.‎ ‎【答案】（1）椭圆的方程为；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设出椭圆C的方程，利用椭圆C过点过 建立方程组，即可求得椭圆C的方程； （2）由两边平方整理可得故只需证明 将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，及向量的数量积即可得到结论．‎ 试题解析：‎ ‎（1）设椭圆的方程为 由椭圆过点得：‎ 解得 椭圆的方程为 ‎（2）设由 - 12 -‎ 消去整理得，由韦达定理得，则 由两边平方整理可得 只需证明 ‎，‎ 而 ‎，‎ ‎，‎ 故恒成立 ‎21. 已知函数在上不具有单调性.‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的导函数，设，试证明：对任意两个不相等正数，不等式恒成立.‎ ‎【答案】（1）实数的取值范围；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求函数在x∈（2，+∞）上不具有单调性时实数a的取值范围，可以考虑求导函数的方法，则导函数在（2，+∞）上即有正也有负，即有零点，求出范围即可． （2）由（1）求出g（x）的函数表达式，然后求导函数h（x），通过判断h（x）的单调性求出然后可以得到函数是增函数，对任意两个不相等正数x1、x2，即可得到不等式成立．‎ 试题解析：‎ ‎（1）‎ 在上不具有单调性，在上有正也有负也有，即二次函数在上有零点 - 12 -‎ 是对称轴是，开口向上的抛物线，的实数的取值范围 ‎（2）由（1），‎ ‎，‎ ‎，‎ 设 在是减函数，在增函数，当时，取最小值 从而，函数是增函数，‎ 是两个不相等正数，不妨设，则 ‎ ‎ ‎，即 点睛：本题主要考查不等式的证明问题，其中涉及到利用求导函数的方法求函数单调性的问题，涵盖的考点较多，技巧性强，属于难题.‎ ‎22. 已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴简历极坐标系，曲线的极坐标方程为为极角）‎ ‎（1）分别写出曲线的普通方程和曲线的参数方程；‎ ‎（2）已知为曲线的上顶点，为曲线上任意一点，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）最大为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用三种方程的转化方法，分别写出曲线C1的普通方程与曲线C2的参数方程；（2）由（1）知，，所以当或时，最大.‎ 试题解析：‎ ‎（1）‎ - 12 -‎ ‎（2）由（1）知 ‎，‎ 当或时，最大为.‎ ‎23. 已知函数.‎ ‎（1）若对任意的恒成立，求实数的最小值；‎ ‎（2）若函数，求函数的值域.‎ ‎【答案】（1）实数的最小值为；（2）函数的值域为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）h（x）-|x-2|≤n对任意的x＞0恒成立，等价于对任意的x＞0，由此能求出实数n的最小值（2）推导出，由此能求出数的值域．‎ 试题解析：‎ ‎（1）对任意的恒成立，‎ 等价于对任意的恒成立，‎ 等价于对任意的 因为，‎ 当且仅当时取等号，所以，得.‎ 所以实数的最小值为.‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 当时，，‎ 当时，.‎ 综上，.‎ 所以函数的值域为.‎ 点睛：本题考查不等式恒成立，考查函数的值域的求法，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．‎ - 12 -‎