2015年高考数学（理科）真题分类汇编H单元 解析几何
数 学
H单元 解析几何
H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
20．F1、H1、H5、H7、H8[2015·湖南卷] 已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.
(1)求C2的方程．
(2)过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．
(i)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率；
(ii)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．
20．解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0，1)．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以
a2－b2＝1.①
又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，
由此易知C1与C2的公共点的坐标为±，，所以＋＝1.②
联立①②，得a2＝9，b2＝8，
故C2的方程为＋＝1.
(2)如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
(i)因为与同向，且|AC|＝|BD|，所以＝，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③
设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.
由得x2－4kx－4＝0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④
由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0.
而x3，x4是这个方程的两根，所以
x3＋x4＝－，x3x4＝－.⑤
将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋，即16(k2＋1)＝，
所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±，即直线l的斜率为±.
(ii)证明：由x2＝4y得y′＝，所以C1在点A处的切线方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝－.
令y＝0，得x＝，即M，0，所以＝，－1.而＝(x1，y1－1)，于是·＝－y1＋1＝＋1>0，
因此∠AFM是锐角，从而∠MFD＝180°－∠AFM是钝角．
故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．
19．H1、H5、H8[2015·天津卷] 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－c，0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，|FM|＝.
(1)求直线FM的斜率；
(2)求椭圆的方程；
(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．
19．解：(1)由已知有＝，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.
设直线FM的斜率为k(k>0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c)．由已知，有2＋2＝2，解得k＝.
(2)由(1)得椭圆方程为＋＝1，直线FM的方程为y＝(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c或x＝c.因为点M在第一象限，所以M的坐标为c，c.由|FM|＝＝，解得c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.
(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，则t＝，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6.又由已知，得t＝>，解得－
0，于是m＝，得m∈，.
②当x∈(－1，0)时，有y＝t(x＋1)>0，因此m<0，于是m＝－，得m∈－∞，－.
综上，直线OP的斜率的取值范围是－∞，－∪，.
H2 两直线的位置关系与点到直线的距离
15．B12、H2[2015·陕西卷] 设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．
15．(1，1) [解析] 对y＝ex求导得y′＝ex，令x＝0，得曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y＝(x>0)上点P处的切线斜率为－1，由y′＝－＝－1，得x＝1，则y＝1，所以P的坐标为(1，1)．
H3 圆的方程
14．H3、H4[2015·湖北卷] 如图13，圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.
图13
(1)圆C的标准方程为________；
(2)过点A任作一条直线与圆O：x2＋y2＝1相交于M，N两点，下列三个结论：
①＝；②－＝2；③＋＝2.
其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)
14．(1)(x－1)2＋(y－)2＝2 (2)①②③
[解析] (1)由题意，设圆心C(1，r)(r为圆C的半径)，则r2＝＋12＝2，解得r＝.所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2＝2.
(2)由(1)知，A(0，－1)，B(0，＋1)．
设M(a，b)，则＝＝＝
＝＝＝－1；同理＝－1.
所以＝，①正确；－＝－(－1)＝2，②正确；＋＝＋－1＝2，③正确．
综上，正确结论的序号是①②③.
7．H3[2015·全国卷Ⅱ] 过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( )
A．2 B．8
C．4 D．10
7．C [解析] 方法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的坐标代入得方程组解得所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝25，所以＝2＝4.
方法二：因为kAB＝－，kBC＝3，所以kABkBC＝－1，所以AB⊥BC，所以△ABC为直角三角形，所以△ABC的外接圆圆心为AC的中点(1，－2)，半径r＝＝5，所以＝2＝4.
方法三：由·＝0得AB⊥BC，下同方法二．
14．H3[2015·全国卷Ⅰ] 一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
14.＋y2＝ [解析] 设圆心为(t，0)(t>0)，则半径为4－t，所以4＋t2＝(4－t)2，解得t＝，所以圆的标准方程为＋y2＝.
8．H3、H4[2015·重庆卷] 已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．2
8．C [解析] 由题设，得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，故圆C的圆心为(2，1)，半径为2.因为直线l为圆C的对称轴，所以圆心(2，1)在直线l上，则2＋a－1＝0，解得a＝－1，所以|AB|2＝|AC|2－|BC|2＝[(－4－2)2＋(－1－1)2]－4＝36，所以|AB|＝6.
H4 直线与圆、圆与圆的位置关系
5．H4[2015·广东卷] 平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
5．A [解析] 设所求直线方程为2x＋y＋m＝0，则圆心到该直线的距离为＝，∴|m|＝5，即m＝±5.
14．H3、H4[2015·湖北卷] 如图13，圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.
图13
(1)圆C的标准方程为________；
(2)过点A任作一条直线与圆O：x2＋y2＝1相交于M，N两点，下列三个结论：
①＝；②－＝2；③＋＝2.
其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)
14．(1)(x－1)2＋(y－)2＝2 (2)①②③
[解析] (1)由题意，设圆心C(1，r)(r为圆C的半径)，则r2＝＋12＝2，解得r＝.所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2＝2.
(2)由(1)知，A(0，－1)，B(0，＋1)．
设M(a，b)，则＝＝＝＝＝＝－1；同理＝－1.
所以＝，①正确；－＝－(－1)＝2，②正确；＋＝＋－1＝2，③正确．
综上，正确结论的序号是①②③.
10．H4[2015·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
10．(x－1)2＋y2＝2 [解析] 由直线mx－y－2m－1＝0得m(x－2)－(y＋1)＝0，故直线过点(2，－1)．当切线与过(1，0)，(2，－1)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有r＝＝，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
9．H4[2015·山东卷] 一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．－或－ B．－或－
C．－或－ D．－或－
9．D [解析] 设反射光线所在直线的斜率为k，反射光线过点(－2，－3)关于y轴的对称点(2，－3)，∴反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x－2)．
又∵其与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，∴＝1，解得k＝－或k＝－.
10．H4，H7[2015·四川卷] 设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )
A．(1，3) B．(1，4)
C．(2，3) D．(2，4)
10．D [解析] 当直线l与x轴垂直，且0b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.
(1)求E的离心率e；
(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．
20．解：(1)由题设条件知，点M的坐标为.又kOM＝，所以＝，
进而得a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.
(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为＋＝1，点N的坐标为.
设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上，且kNS·kAB＝－1，
从而有解得b＝3，
所以a＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.
21．H9、H5、H8、H10[2015·湖北卷] 一种作图工具如图16所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN＝3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图17所示的平面直角坐标系．
(1)求曲线C的方程．
(2)设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
图16
图17
21．解：(1)设点D(t，0)(|t|≤2)，N(x0，y0)，M(x，y)，依题意，
＝2，且||＝||＝1，
所以(t－x，－y)＝2(x0－t，y0)，
且
即且t(t－2x0)＝0.
由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，
于是t＝2x0，故x0＝，y0＝－，代入x＋y＝1，可得＋＝1，
即所求的曲线C的方程为＋＝1.
(2)(i)当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4或x＝－4，都有S△OPQ＝×4×4＝8.
(ii)当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋m，
由消去y，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0.
因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，
所以Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－16)＝0，即m2＝16k2＋4.①
又由可得P；
同理可得Q.
由原点O到直线PQ的距离d＝和|PQ|＝|xP－xQ|，可得
S△OPQ＝|PQ|·d＝|m||xP－xQ|＝|m|·
＋＝.②
将①代入②得，S△OPQ＝＝8.
当k2>时，S△OPQ＝8·＝8>8；
当0≤k2<时，S△OPQ＝8·＝8.
因0≤k2<，则0<1－4k2≤1，≥2，所以S△OPQ＝8≥8，当且仅当k＝0时取等号．
所以当k＝0时，S△OPQ的最小值为8.
综合(i)(ii)可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.
18．H5、H10[2015·江苏卷] 如图14，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．
图14
18．解：(1)由题意，得＝，且c＋＝3，
解得a＝，c＝1，则b＝1，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)当AB⊥x轴时，AB＝，又CP＝3，不合题意．
当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入椭圆方程，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，则x1，2＝，C点的坐标为，
且AB＝＝＝
.
若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意，
从而k≠0，故直线PC的方程为y＋＝－，
则P点的坐标为，
从而PC＝.
因为PC＝2AB，所以＝，解得k＝±1，
此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.
20．H5、H8[2015·全国卷Ⅱ] 已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
20．解：(1)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2，
得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，
故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝.
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，
即kOM·k＝－9.
所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
(2)四边形OAPB能为平行四边形．
因为直线l过点，所以l不过原点且与椭圆C有两个交点的充要条件是k>0，k≠3.
由(1)得直线OM的方程为y＝－x.
设点P的横坐标为xP，
由得x＝，
即xP＝ .
将点的坐标代入(1)中l的方程得b＝，因此xM＝.
四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM，
于是＝2×，
解得k1＝4－，k2＝4＋.
因为k>0，k≠3，所以当l的斜率为4－或4＋时，四边形OAPB为平行四边形．
19．H5，H8[2015·北京卷] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点P(0，1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.
(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；
(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由．
19．解：(1)由题意得解得a2＝2，
故椭圆C的方程为＋y2＝1，
设M(xM，0)．
因为m≠0，所以－1b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.
(1)求C2的方程．
(2)过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．
(i)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率；
(ii)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．
20．解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0，1)．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以
a2－b2＝1.①
又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，
由此易知C1与C2的公共点的坐标为±，，所以＋＝1.②
联立①②，得a2＝9，b2＝8，
故C2的方程为＋＝1.
(2)如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
(i)因为与同向，且|AC|＝|BD|，所以＝，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③
设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.
由得x2－4kx－4＝0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④
由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0.
而x3，x4是这个方程的两根，所以
x3＋x4＝－，x3x4＝－.⑤
将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋，即16(k2＋1)＝，
所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±，即直线l的斜率为±.
(ii)证明：由x2＝4y得y′＝，所以C1在点A处的切线方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝－.
令y＝0，得x＝，即M，0，所以＝，－1.而＝(x1，y1－1)，于是·＝－y1＋1＝＋1>0，
因此∠AFM是锐角，从而∠MFD＝180°－∠AFM是钝角．
故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．
20．H5、H8[2015·山东卷] 平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程．
(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点．过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.
(i)求的值；
(ii)求△ABQ面积的最大值．
20．解：(1)由题意知2a＝4，则a＝2，
又＝，a2－c2＝b2，
可得b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知，椭圆E的方程为＋＝1，
(i)设P(x0，y0)，＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0)．
因为＋y＝1，
且＋＝1，即＝1，
所以λ＝2，即＝2.
(ii)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，
由Δ>0，可得m2<4＋16k2，①
则有x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以|x1－x2|＝.
因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，
所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|
＝
＝
＝2.
设＝t.
将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②
由①②可知0b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为c.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图17，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．
图17
20．解：(1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，
则原点O到该直线的距离d＝＝，
由d＝c，得a＝2b＝2，解得离心率＝.
(2)方法一：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①
依题意，圆心M(－2，1)是线段AB的中点，且|AB|＝.
易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得
(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝.
从而x1x2＝8－2b2.
于是|AB|＝|x1－x2|＝
＝.
由|AB|＝，得＝，解得b2＝3.
故椭圆E的方程为＋＝1.
方法二：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.②
依题意，点A，B关于圆心M(－2，1)对称，且|AB|＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x＋4y＝4b2，x＋4y＝4b2，
两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得
－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0.
易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，
所以AB的斜率kAB＝＝.
因此直线AB的方程为y＝(x＋2)＋1，代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0，
所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2.
于是|AB|＝|x1－x2|＝
＝.
由|AB|＝，得＝，解得b2＝3.
故椭圆E的方程为＋＝1.
20．H5、H8、H9[2015·四川卷] 如图15所示，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率是，过点P(0，1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点．当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2 .
图15
(1)求椭圆E的方程．
(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得＝恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
20．解：(1)由已知得，点(，1)在椭圆E上，
因此解得a＝2，b＝，
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C，D两点．
如果存在定点Q满足条件，则有＝＝1，即|QC|＝|QD|，
所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(0，y0)．
当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点，
则M，N的坐标分别为(0，)，(0，－)．
由＝，得＝，
解得y0＝1或y0＝2，
所以若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为(0，2)．
下面证明：对任意直线l，均有＝.
当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立．
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.
其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－，
因此＋＝＝2k.
易知点B关于y轴对称的点B′的坐标为(－x2，y2)．
又kQA＝＝＝k－，
kQB′＝＝＝－k＋＝k－，
所以kQA＝kQB′，即Q，A，B′三点共线，
所以＝＝＝.
故存在与P不同的定点Q(0，2)，使得＝恒成立．
19．H1、H5、H8[2015·天津卷] 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－c，0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，|FM|＝.
(1)求直线FM的斜率；
(2)求椭圆的方程；
(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．
19．解：(1)由已知有＝，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.
设直线FM的斜率为k(k>0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c)．由已知，有2＋2＝2，解得k＝.
(2)由(1)得椭圆方程为＋＝1，直线FM的方程为y＝(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c或x＝c.因为点M在第一象限，所以M的坐标为c，c.由|FM|＝＝，解得c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.
(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，则t＝，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6.又由已知，得t＝>，解得－0，于是m＝，得m∈，.
②当x∈(－1，0)时，有y＝t(x＋1)>0，因此m<0，于是m＝－，得m∈－∞，－.
综上，直线OP的斜率的取值范围是－∞，－∪，.
19．H5、H8[2015·浙江卷] 已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．
(1)求实数m的取值范围；
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．
图16
19．解：(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.
由
消去y，得x2－x＋b2－1＝0.
因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，
所以Δ＝－2b2＋2＋>0.①
将AB的中点M的坐标代入直线方程
y＝mx＋，解得b＝－.②
由①②得，m<－或m>.
(2)令t＝∈∪，则
|AB|＝·，
且O到直线AB的距离d＝.
设△AOB的面积为S(t)，所以
S(t)＝|AB|·d＝ ≤，
当且仅当t2＝时，等号成立．
故△AOB面积的最大值为.
21．H5、H8[2015·重庆卷] 如图16所示，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.
(1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－， 求椭圆的标准方程；
(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.
图16
21．解：(1)由椭圆的定义，得2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2.
设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，得2c＝
|F1F2|＝＝
＝2，
即c＝，从而b＝＝1.
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)方法一：如图，设点P(x0，y0)，由点P在椭圆上，且PF1⊥PF2，得
＋＝1，x＋y＝c2，
求得x0＝±，y0＝±.
由|PF1|＝|PQ|>|PF2|得x0>0，从而
|PF1|2＝＋c2＋
＝2(a2－b2)＋2a＝(a＋)2.
由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由
|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，得|QF1|＝4a－2|PF1|.
又由PF1⊥PF2，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝|PF1|，因此
(2＋)|PF1|＝4a，即(2＋)(a＋)＝4a，
于是(2＋)(1＋)＝4，解得
e＝＝－.
方法二：如图，由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，得|QF1|＝4a－2|PF1|.
又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝|PF1|，因此，4a－2|PF1|＝|PF1|，得|PF1|＝2(2－)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－)a＝2(－1)a.
由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，因此
e＝＝＝
＝＝－.
H6 双曲线及其几何性质
4．H6[2015·安徽卷] 下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C.－x2＝1 D．y2－＝1
4．C [解析] 选项A，B中的双曲线的焦点在x轴上，不正确；C中的双曲线的焦点在y轴上，且渐近线方程为y＝±2x，符合题意；D中的双曲线的焦点在y轴上，但渐近线方程为y＝±x，不符合题意．故选C.
7．H6[2015·广东卷] 已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
7．C [解析] 由题知解得故b2＝c2－a2＝9.
8．H6[2015·湖北卷] 将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则( )
A．对任意的a，b，e1>e2
B．当a>b时，e1>e2；当ab时，e1e2
8．D [解析] e1＝，e2＝.不妨令e10)，得bma时，有e1>e2.故选D.
12．H6、H10[2015·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．
12. [解析] 不妨设点P(x0，)(x0≥1)，则点P到直线x－y＋1＝0的距离d＝.令u(x)＝x－＝，则u(x)是单调递减函数，且u(x)>0.当x→＋∞时，u(x)→0，所以d>，故cmax＝.
11．H6[2015·全国卷Ⅱ] 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A. B．2
C. D.
11．D [解析] 由题意，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，如图所示，
设M在第一象限，由题意知|AB|＝|BM|＝2a，∠ABM＝120°，所以在△ABM中，|AM|＝2a，所以M(2a，a)，代入双曲线方程得－＝1，解得a2＝b2，所以e＝.故选D.
5．H6[2015·全国卷Ⅰ] 已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5．A [解析] 由题意不妨取F1(－，0)，F2(，0)，所以＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)，所以·＝x＋y－3<0.又点M在曲线C上，所以有－y＝1，即x＝2＋2y，代入上式得y<，所以－0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝________．
10. [解析] 双曲线－y2＝1(a>0)的渐近线方程是y＝±x，又知一条渐近线为x＋y＝0，所以＝，解得a＝.
3．H6[2015·福建卷] 若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A．11 B．9
C．5 D．3
3．B [解析] 由题知－＝±6，所以＝±6＝－3或9(负值舍去)，故＝9.
15．H6、H7[2015·山东卷] 平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p>0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．
15. [解析] 设OA所在的直线方程为y＝x，OB所在的直线方程为y＝－x，抛物线C2的焦点为F，则可知，A，B，F.又∵F为△OAB的垂心，
∴AF⊥OB，即·＝0.又∵＝，＝，
∴＋＝0，整理得5a2＝4b2，
∴e＝＝＝＝＝.
14．H6、H7[2015·陕西卷] 若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________．
14．2 [解析] 双曲线x2－y2＝1的左焦点为(－，0)，所以－＝－，故p＝2.
5．H6，H8[2015·四川卷] 过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝( )
A. B．2 C．6 D．4
5．D [解析] 易知双曲线的右焦点为F(2，0)，渐近线方程为y＝±x.将x＝2代入渐近线方程，得y＝±2 ，故|AB|＝4 .
6．H6、H7[2015·天津卷] 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
6．D [解析] 双曲线－＝1(a>0，b>0) 的渐近线是y＝±x.因为一条渐近线过点(2，)，所以＝.抛物线y2＝4x 的准线是x＝－，因为双曲线的一个焦点在直线x＝－上，所以a2＋b2＝7，解得a＝2，b＝，所以双曲线的方程为－＝1.
9．H6[2015·浙江卷] 双曲线－y2＝1的焦距是________，渐近线方程是________．
9．2 y＝±x [解析] c2＝a2＋b2＝3⇒c＝，则焦距为2 ，渐近线方程为y＝±x.
10．H6、E1[2015·重庆卷] 设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a＋，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )
A．(－1，0)∪(0，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－，0)∪(0，)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
10．A [解析] 由题意得A(a，0)，不妨取Bc，，Cc，－，由双曲线的对称性知D在x
轴上，设D(x0，0)，由BD⊥AC得·＝－1，解得c－x0＝，由题可知c－x0＝b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.
(1)求C2的方程．
(2)过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．
(i)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率；
(ii)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．
20．解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0，1)．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以
a2－b2＝1.①
又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，
由此易知C1与C2的公共点的坐标为±，，所以＋＝1.②
联立①②，得a2＝9，b2＝8，
故C2的方程为＋＝1.
(2)如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
(i)因为与同向，且|AC|＝|BD|，所以＝，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③
设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.
由得x2－4kx－4＝0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④
由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0.
而x3，x4是这个方程的两根，所以
x3＋x4＝－，x3x4＝－.⑤
将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋，即16(k2＋1)＝
，
所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±，即直线l的斜率为±.
(ii)证明：由x2＝4y得y′＝，所以C1在点A处的切线方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝－.
令y＝0，得x＝，即M，0，所以＝，－1.而＝(x1，y1－1)，于是·＝－y1＋1＝＋1>0，
因此∠AFM是锐角，从而∠MFD＝180°－∠AFM是钝角．
故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．
15．H6、H7[2015·山东卷] 平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p>0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．
15. [解析] 设OA所在的直线方程为y＝x，OB所在的直线方程为y＝－x，抛物线C2的焦点为F，则可知，A，B，F.又∵F为△OAB的垂心，
∴AF⊥OB，即·＝0.又∵＝，＝，
∴＋＝0，整理得5a2＝4b2，
∴e＝＝＝＝＝.
14．H6、H7[2015·陕西卷] 若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________．
14．2 [解析] 双曲线x2－y2＝1的左焦点为(－，0)，所以－＝－，故p＝2.
10．H4，H7[2015·四川卷] 设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )
A．(1，3) B．(1，4)
C．(2，3) D．(2，4)
10．D [解析] 当直线l与x轴垂直，且00，b>0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
6．D [解析] 双曲线－＝1(a>0，b>0) 的渐近线是y＝±x.因为一条渐近线过点(2，)，所以＝.抛物线y2＝4x 的准线是x＝－，因为双曲线的一个焦点在直线x＝－上，所以a2＋b2＝7，解得a＝2，b＝，所以双曲线的方程为－＝1.
5．H7[2015·浙江卷] 如图12所示，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( )
A.
B.
C.
D.
5．A [解析] 作准线x ＝－1，过点A，B分别作它的垂线，交y轴分别为M，N，因为两个三角形的高相等，所以△BCF与△ACF的面积之比就是BC与AC的长度之比，即＝＝.根据抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，则＝，故选A.
H8 直线与圆锥曲线（AB课时作业）
20．H5、H8[2015·安徽卷] 设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.
(1)求E的离心率e；
(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．
20．解：(1)由题设条件知，点M的坐标为.又kOM＝，所以＝，
进而得a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.
(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为＋＝1，点N的坐标为.
设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上，且kNS·kAB＝－1，
从而有解得b＝3，
所以a＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.
21．H9、H5、H8、H10[2015·湖北卷] 一种作图工具如图16所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN＝3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图17所示的平面直角坐标系．
(1)求曲线C的方程．
(2)设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
图16
图17
21．解：(1)设点D(t，0)(|t|≤2)，N(x0，y0)，M(x，y)，依题意，
＝2，且||＝||＝1，
所以(t－x，－y)＝2(x0－t，y0)，
且
即且t(t－2x0)＝0.
由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，
于是t＝2x0，故x0＝，y0＝－，代入x＋y＝1，可得＋＝1，
即所求的曲线C的方程为＋＝1.
(2)(i)当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4或x＝－4，都有S△OPQ＝×4×4＝8.
(ii)当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋m，
由消去y，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0.
因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，
所以Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－16)＝0，即m2＝16k2＋4.①
又由可得P；
同理可得Q.
由原点O到直线PQ的距离d＝和|PQ|＝|xP－xQ|，可得
S△OPQ＝|PQ|·d＝|m||xP－xQ|＝|m|·
＋＝.②
将①代入②得，S△OPQ＝＝8.
当k2>时，S△OPQ＝8·＝8>8；
当0≤k2<时，S△OPQ＝8·＝8.
因0≤k2<，则0<1－4k2≤1，≥2，所以S△OPQ＝8≥8，当且仅当k＝0时取等号．
所以当k＝0时，S△OPQ的最小值为8.
综合(i)(ii)可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.
20．H5、H8[2015·全国卷Ⅱ] 已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
20．解：(1)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2，
得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，
故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝.
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，
即kOM·k＝－9.
所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
(2)四边形OAPB能为平行四边形．
因为直线l过点，所以l不过原点且与椭圆C有两个交点的充要条件是k>0，k≠3.
由(1)得直线OM的方程为y＝－x.
设点P的横坐标为xP，
由得x＝，
即xP＝ .
将点的坐标代入(1)中l的方程得b＝，因此xM＝.
四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM，
于是＝2×，
解得k1＝4－，k2＝4＋.
因为k>0，k≠3，所以当l的斜率为4－或4＋时，四边形OAPB为平行四边形．
20．B12、H8[2015·全国卷Ⅰ] 在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点．
(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程．
(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．
20．解：(1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a)或M(－2，a)，N(2，a)．
又y′＝，故y＝在x＝2处的导数值为，所以曲线C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，即x－y－a＝0.
y＝在x＝－2处的导数值为－，所以曲线C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，即x＋y＋a＝0.
故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.
(2)存在符合题意的点，证明如下：
设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.
将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0，
故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.
从而k1＋k2＝＋
＝
＝.
当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意．
19．H5，H8[2015·北京卷] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点P(0，1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.
(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；
(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由．
19．解：(1)由题意得解得a2＝2，
故椭圆C的方程为＋y2＝1，
设M(xM，0)．
因为m≠0，所以－1b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.
(1)求C2的方程．
(2)过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．
(i)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率；
(ii)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．
20．解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0，1)．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以
a2－b2＝1.①
又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，
由此易知C1与C2的公共点的坐标为±，，所以＋＝1.②
联立①②，得a2＝9，b2＝8，
故C2的方程为＋＝1.
(2)如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
(i)因为与同向，且|AC|＝|BD|，所以＝，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③
设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.
由得x2－4kx－4＝0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④
由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0.
而x3，x4是这个方程的两根，所以
x3＋x4＝－，x3x4＝－.⑤
将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋，即16(k2＋1)＝，
所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±，即直线l的斜率为±.
(ii)证明：由x2＝4y得y′＝，所以C1在点A处的切线方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝－.
令y＝0，得x＝，即M，0，所以＝，－1.而＝(x1，y1－1)，于是·＝－y1＋1＝＋1>0，
因此∠AFM是锐角，从而∠MFD＝180°－∠AFM是钝角．
故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．
20．H5、H8[2015·山东卷] 平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程．
(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点．过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.
(i)求的值；
(ii)求△ABQ面积的最大值．
20．解：(1)由题意知2a＝4，则a＝2，
又＝，a2－c2＝b2，
可得b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知，椭圆E的方程为＋＝1，
(i)设P(x0，y0)，＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0)．
因为＋y＝1，
且＋＝1，即＝1，
所以λ＝2，即＝2.
(ii)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，
由Δ>0，可得m2<4＋16k2，①
则有x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以|x1－x2|＝.
因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，
所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|
＝
＝
＝2.
设＝t.
将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②
由①②可知0b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为c.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图17，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．
图17
20．解：(1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，
则原点O到该直线的距离d＝＝，
由d＝c，得a＝2b＝2，解得离心率＝.
(2)方法一：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①
依题意，圆心M(－2，1)是线段AB的中点，且|AB|＝.
易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得
(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝.
从而x1x2＝8－2b2.
于是|AB|＝|x1－x2|＝
＝.
由|AB|＝，得＝，解得b2＝3.
故椭圆E的方程为＋＝1.
方法二：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.②
依题意，点A，B关于圆心M(－2，1)对称，且|AB|＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x＋4y＝4b2，x＋4y＝4b2，
两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得
－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0.
易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，
所以AB的斜率kAB＝＝.
因此直线AB的方程为y＝(x＋2)＋1，代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0，
所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2.
于是|AB|＝|x1－x2|＝
＝.
由|AB|＝，得＝，解得b2＝3.
故椭圆E的方程为＋＝1.
5．H6，H8[2015·四川卷] 过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝( )
A. B．2 C．6 D．4
5．D [解析] 易知双曲线的右焦点为F(2，0)，渐近线方程为y＝±x.将x＝2代入渐近线方程，得y＝±2 ，故|AB|＝4 .
20．H5、H8、H9[2015·四川卷] 如图15所示，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率是，过点P(0，1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点．当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2 .
图15
(1)求椭圆E的方程．
(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得＝恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
20．解：(1)由已知得，点(，1)在椭圆E上，
因此解得a＝2，b＝，
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C，D两点．
如果存在定点Q满足条件，则有＝＝1，即|QC|＝|QD|，
所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(0，y0)．
当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点，
则M，N的坐标分别为(0，)，(0，－)．
由＝，得＝，
解得y0＝1或y0＝2，
所以若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为(0，2)．
下面证明：对任意直线l，均有＝.
当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立．
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.
其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－，
因此＋＝＝2k.
易知点B关于y轴对称的点B′的坐标为(－x2，y2)．
又kQA＝＝＝k－，
kQB′＝＝＝－k＋＝k－，
所以kQA＝kQB′，即Q，A，B′三点共线，
所以＝＝＝.
故存在与P不同的定点Q(0，2)，使得＝恒成立．
19．H1、H5、H8[2015·天津卷] 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－c，0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，|FM|＝.
(1)求直线FM的斜率；
(2)求椭圆的方程；
(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．
19．解：(1)由已知有＝，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.
设直线FM的斜率为k(k>0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c)．由已知，有2＋2＝2，解得k＝.
(2)由(1)得椭圆方程为＋＝1，直线FM的方程为y＝(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c或x＝c.因为点M在第一象限，所以M的坐标为c，c.由|FM|＝＝，解得c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.
(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，则t＝，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6.又由已知，得t＝>，解得－0，于是m＝，得m∈，.
②当x∈(－1，0)时，有y＝t(x＋1)>0，因此m<0，于是m＝－，得m∈－∞，－.
综上，直线OP的斜率的取值范围是－∞，－∪，.
19．H5、H8[2015·浙江卷] 已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．
(1)求实数m的取值范围；
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．
图16
19．解：(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.
由
消去y，得x2－x＋b2－1＝0.
因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，
所以Δ＝－2b2＋2＋>0.①
将AB的中点M的坐标代入直线方程
y＝mx＋，解得b＝－.②
由①②得，m<－或m>.
(2)令t＝∈∪，则
|AB|＝·，
且O到直线AB的距离d＝.
设△AOB的面积为S(t)，所以
S(t)＝|AB|·d＝ ≤，
当且仅当t2＝时，等号成立．
故△AOB面积的最大值为.
21．H5、H8[2015·重庆卷] 如图16所示，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.
(1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－， 求椭圆的标准方程；
(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.
图16
21．解：(1)由椭圆的定义，得2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2.
设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，得2c＝
|F1F2|＝＝
＝2，
即c＝，从而b＝＝1.
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)方法一：如图，设点P(x0，y0)，由点P在椭圆上，且PF1⊥PF2，得
＋＝1，x＋y＝c2，
求得x0＝±，y0＝±.
由|PF1|＝|PQ|>|PF2|得x0>0，从而
|PF1|2＝＋c2＋
＝2(a2－b2)＋2a＝(a＋)2.
由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由
|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，得|QF1|＝4a－2|PF1|.
又由PF1⊥PF2，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝|PF1|，因此
(2＋)|PF1|＝4a，即(2＋)(a＋)＝4a，
于是(2＋)(1＋)＝4，解得
e＝＝－.
方法二：如图，由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，得|QF1|＝4a－2|PF1|.
又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝|PF1|，因此，4a－2|PF1|＝|PF1|，得|PF1|＝2(2－)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－)a＝2(－1)a.
由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，因此
e＝＝＝
＝＝－.
H9 曲线与方程
21．H9、H5、H8、H10[2015·湖北卷] 一种作图工具如图16所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN＝3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图17所示的平面直角坐标系．
(1)求曲线C的方程．
(2)设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
图16
图17
21．解：(1)设点D(t，0)(|t|≤2)，N(x0，y0)，M(x，y)，依题意，
＝2，且||＝||＝1，
所以(t－x，－y)＝2(x0－t，y0)，
且
即且t(t－2x0)＝0.
由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，
于是t＝2x0，故x0＝，y0＝－，代入x＋y＝1，可得＋＝1，
即所求的曲线C的方程为＋＝1.
(2)(i)当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4或x＝－4，都有S△OPQ＝×4×4＝8.
(ii)当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋m，
由消去y，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0.
因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，
所以Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－16)＝0，即m2＝16k2＋4.①
又由可得P；
同理可得Q.
由原点O到直线PQ的距离d＝和|PQ|＝|xP－xQ|，可得
S△OPQ＝|PQ|·d＝|m||xP－xQ|＝|m|·
＋＝.②
将①代入②得，S△OPQ＝＝8.
当k2>时，S△OPQ＝8·＝8>8；
当0≤k2<时，S△OPQ＝8·＝8.
因0≤k2<，则0<1－4k2≤1，≥2，所以S△OPQ＝8≥8，当且仅当k＝0时取等号．
所以当k＝0时，S△OPQ的最小值为8.
综合(i)(ii)可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.
20．H5、H8、H9[2015·四川卷] 如图15所示，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率是，过点P(0，1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点．当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2 .
图15
(1)求椭圆E的方程．
(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得＝恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
20．解：(1)由已知得，点(，1)在椭圆E上，
因此解得a＝2，b＝，
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C，D两点．
如果存在定点Q满足条件，则有＝＝1，即|QC|＝|QD|，
所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(0，y0)．
当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点，
则M，N的坐标分别为(0，)，(0，－)．
由＝，得＝，
解得y0＝1或y0＝2，
所以若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为(0，2)．
下面证明：对任意直线l，均有＝.
当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立．
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.
其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－，
因此＋＝＝2k.
易知点B关于y轴对称的点B′的坐标为(－x2，y2)．
又kQA＝＝＝k－，
kQB′＝＝＝－k＋＝k－，
所以kQA＝kQB′，即Q，A，B′三点共线，
所以＝＝＝.
故存在与P不同的定点Q(0，2)，使得＝恒成立．
H10 单元综合
21．H9、H5、H8、H10[2015·湖北卷] 一种作图工具如图16所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN＝3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图17所示的平面直角坐标系．
(1)求曲线C的方程．
(2)设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
图16
图17
21．解：(1)设点D(t，0)(|t|≤2)，N(x0，y0)，M(x，y)，依题意，
＝2，且||＝||＝1，
所以(t－x，－y)＝2(x0－t，y0)，
且
即且t(t－2x0)＝0.
由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，
于是t＝2x0，故x0＝，y0＝－，代入x＋y＝1，可得＋＝1，
即所求的曲线C的方程为＋＝1.
(2)(i)当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4或x＝－4，都有S△OPQ＝×4×4＝8.
(ii)当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋m，
由消去y，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0.
因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，
所以Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－16)＝0，即m2＝16k2＋4.①
又由可得P；
同理可得Q.
由原点O到直线PQ的距离d＝和|PQ|＝|xP－xQ|，可得
S△OPQ＝|PQ|·d＝|m||xP－xQ|＝|m|·
＋＝.②
将①代入②得，S△OPQ＝＝8.
当k2>时，S△OPQ＝8·＝8>8；
当0≤k2<时，S△OPQ＝8·＝8.
因0≤k2<，则0<1－4k2≤1，≥2，所以S△OPQ＝8≥8，当且仅当k＝0时取等号．
所以当k＝0时，S△OPQ的最小值为8.
综合(i)(ii)可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.
12．H6、H10[2015·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．
12. [解析] 不妨设点P(x0，)(x0≥1)，则点P到直线x－y＋1＝0的距离d＝.令u(x)＝x－＝，则u(x)是单调递减函数，且u(x)>0.当x→＋∞时，u(x)→0，所以d>，故cmax＝.
18．H5、H10[2015·江苏卷] 如图14，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．
图14
18．解：(1)由题意，得＝，且c＋＝3，
解得a＝，c＝1，则b＝1，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)当AB⊥x轴时，AB＝，又CP＝3，不合题意．
当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入椭圆方程，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，则x1，2＝，C点的坐标为，
且AB＝＝＝
.
若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意，
从而k≠0，故直线PC的方程为y＋＝－，
则P点的坐标为，
从而PC＝.
因为PC＝2AB，所以＝，解得k＝±1，
此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.
18．H10[2015·福建卷] 已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)过点(0，)，且离心率e＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线l：x＝my－1(m∈R)交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．
图14
18．解：方法一：(1)由已知得，
解得
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为H(x0，y0)．
由得(m2＋2)y2－2my－3＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－，
从而y0＝，
所以|GH|2＝＋y＝＋y＝(m2＋1)y＋my0＋.
又＝
＝
＝
＝(1＋m2)(y－y1y2)，
故|GH|2－＝my0＋(1＋m2)y1y2＋
＝－＋
＝＞0，
所以|GH|＞.
故点G在以AB为直径的圆外．
方法二：(1)同方法一．
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝，＝.
由得(m2＋2)y2－2my－3＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－，
从而·＝＋y1y2
＝＋y1y2
＝(m2＋1)y1y2＋m(y1＋y2)＋
＝＋＋
＝＞0，
所以cos〈，〉＞0.
又，不共线，所以∠AGB为锐角．
故点G在以AB为直径的圆外．
6．[2015·江西重点中学协作体联考] 已知两点A(1，2)，B(3，1)到直线l的距离分别是，－，则满足条件的直线l共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
6．C [解析] 当A，B位于直线l的同一侧时，一定存在这样的直线l，且有两条，又|AB|＝＝，而A到直线l与B到直线l的距离之和为＋－＝，所以当A，B位于直线l两侧时，存在一条与AB垂直且距离A，B分别为，－的直线．综上可知，满足条件的直线有3条．
7．[2015·烟台莱州一中期末] 已知过点A且斜率为k的直线l与圆C：＋＝1相交于P，Q两点，则·的值为________．
7．7 [解析] 易知圆心C(3，2)，半径R＝1.设过A的切线交圆C于B，则·＝||·||cos 0°＝||·||＝||2.
∵||2＝||2－||2＝(3－1)2＋22－1＝7，
∴·＝||2＝7.
8．[2015·沈阳二中期中] 已知抛物线C的顶点在原点，焦点F与双曲线－＝1的右焦点重合，过点P(2，0)且斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，则弦AB的中点到抛物线准线的距离为________．
8．11 [解析] 设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)．∵焦点F与双曲线－＝1的右焦点重合，∴F(3，0)，∴＝3，p＝6，∴抛物线方程为y2＝12x.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点P(2，0)且斜率为1的直线l的方程为y＝x－2，与抛物线方程联立得x2－16x＋4＝0，∴x1＋x2＝16，
∴弦AB的中点到抛物线的准线的距离为＝11.
7．[2015·杭州二中月考] 已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为( )
A.－1 B．2－
C. D.
7．A [解析] 因为直线MF1是圆F2的切线，所以∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c.因为|F1F2|＝2c，所以|MF1|＝c.由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a，所以离心率e＝＝－1.
8.[2015·宁波十校联考] 已知动点P(x，y)到直线l：x＝－2的距离是它到定点F(－1，0)的距离的倍．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过F(－1，0)作与x轴垂直的直线与轨迹C在第三象限的交点为Q，过F(－1，0)的动直线与轨迹C相交于不同的两点A，B，与直线l相交于点M，记直线QA，QB，QM的斜率依次为k1，k2，k3，试证明：为定值．
8．解：(1)作PN⊥直线l于N，则由题意可知|PN|＝|PF|.
由于|PN|＝|x＋2|，|PF|＝，所以|x＋2|＝·，化简得动点P的轨迹C的方程为＋y2＝1.
(2)易得Q.
①当动直线AB的斜率k＝0时．设A(－，0)，B(，0)，又M(－2，0)，此时k1＝－－1，k2＝－＋1，k3＝－，此时，＝2.
②当动直线AB的斜率k≠0时，设直线AB的方程为x＝ty－1(其中tk＝1)，令x＝－2得，y＝－，所以M，所以k3＝－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＝ty1－1，x2＝ty2－1，k1＝＝＝＋·，k2＝＋·，所以k1＋k2＝＋·.把x＝ty－1代入＋y2＝1，可得(t2＋2)y2－2ty－1＝0，所以y1＋y2＝，y1·y2＝，所以＋＝－2t，所以k1＋k2＝＋·＝－，所以＝2成立．
