数学理卷·2018届重庆市杨家坪中学高二上学期第三次月考（2016-12）

数学理卷·2018届重庆市杨家坪中学高二上学期第三次月考（2016-12）

杨家坪中学高2018级高二上第3次月考 理科数学 一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ）‎ ‎1．过点且与直线垂直的直线方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2．双曲线的焦点到其渐近线距离为（ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎3．下列说法不正确的（ ）‎ A.若“且”为假，则，至少有一个是假命题 B.命题“”的否定是“”‎ C. 当时，幂函数上单调递减 D. “”是“为偶函数”的充要条件 ‎4．如图，空间四边形中，，点在上，且是的中点，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎5．下列命题中正确命题的个数是（ ）‎ ‎①过空间任意一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ‎②过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直 ‎③过空间任意一点有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行 ‎④过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎6．为抛物线上一点，，则到此抛物线的准线的距离与到点的距离之和的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎8．已知圆，直线，求圆上任取一点到直线的距离小于2的概率（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．正四棱锥中，为顶点在底面上的射影，为侧棱的中点，且，则直线与所成的角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以，为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．如图，在棱长为1的正方体的对角线上取一点，以为球心，为半径作一个球，设，记该球面与正方体表面的交线的长度和为，则函数的图像最有可能的是（ ）‎ ‎12．已知点P为椭圆上的动点，EF为圆N:的任一直径，求最大值和最小值是（ ）‎ A．16， B．19, C． D．20, ‎ 二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．）‎ ‎13．若长方体一个顶点上三条棱的长分別是 (单位:cm) ，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积(单位:)是__________.‎ ‎14．直线和直线平行，则 ．‎ ‎15．已知正四面体，则直线与平面所成角的正弦值为________．‎ ‎16．圆的切线过双曲线的左焦点，其中为切点，为切线与双曲线右支的交点，为的中点，为坐标原点，则___________．‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（10分）已知命题“是焦点在轴上的椭圆的标准方程”，命题 .若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，, ‎ 底面, ,为的中点，为的中点.‎ ‎（1）证明：直线平面. ‎ ‎（2）求三棱锥的体积；‎ ‎ ‎ ‎19．（12分）已知抛物线的焦点为，为该抛物线上的一个动点.‎ ‎（1）当|PF|=2时，求点的坐标；‎ ‎（2）过且斜率为1的直线与抛物线交与两点，若在弧上，求面积的最大值．‎ ‎20．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．‎ ‎（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；‎ ‎（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M且有|PM|=|PO|（O为原点），求使|PM|取得最小值时点P的坐标．‎ ‎21．（12分）如图所示，在矩形中，，点是的中点，将沿折起到的位置，使二面角是直二面角.‎ ‎（1）证明: ；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎22．（12分）已知椭圆的中心是原点，对称轴是坐标轴，抛物线的焦点是的一个焦点，且离心率.‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）已知圆的方程是（），设直线：与圆和椭圆都相切，且切点分别为，.求当为何值时，取得最大值？并求出最大值.‎ 数学答案 ‎1 A.2 C．3 D.4 B.5 A．6 D．7C 8 D. 9 C 10 A. 11 B 12 B ‎11【解析】：球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：（1）当；（2）当；（3）当.（1）当时，以为球心，为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线弧长为，且为函数的最大值；（2）当时，以为球心，为半径作一个球，根据图形的相似，‎ 该球面与正方体表面的交线弧长为（1）中的一半；（3）当时，以为球心，为半径作一个球，其弧长为，且为函数的最大值，对照选项可得B正确.‎ 考点：函数图象.‎ ‎12【解析】：因为，设，又因为点在椭圆，所以，‎ ‎，‎ ‎（）所以有当时，取最大；当时，取最小，故选B.‎ 考点：向量的数量积，函数最值.‎ ‎13【解析】根据球与长方体的组合体的结构特征可知，长方体的体对角线为球的直径，所以，所以球的半径为，所以球的表面积为.‎ 考点：长方体与球的组合体及球的表面积公式.‎ ‎14【解析】由直线平行的充要条件得：，解得；当时，直线都等于重合，不符合题意，所以.故答案为-7.‎ 考点：直线平行的充要条件.‎ ‎15 ‎ ‎16记右焦点 ‎．‎ 考点：1、直线与圆；2、直线与双曲线．‎ ‎17【解析】如果为真命题，则有，即； ‎ 若果为真命题，则或. ‎ 因为为真命题，为假命题，所以和一真一假，‎ 所以实数的取值范围为 ‎ ‎18.解：（1） 略 ‎(2)‎ ‎19【解析】（1）将圆C化成标准方程得，‎ ‎①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为，由直线与圆相切得，即，从而切线方程为．‎ ‎②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为，由直线与圆相切得或 ‎．‎ ‎（2）由得.‎ 即点P在直线为上，取最小值时，即取得最小值，直线OP⊥l，于是直线的方程为．‎ 解方程组得P点坐标为．‎ 考点：直线与圆相交的性质 ‎20【解析】（Ⅰ）由抛物线x2=4y的焦点为F，P为该抛物线在上的一个动点，‎ 故设P（a，），‎ ‎∵|PF|=2，结合抛物线的定义得，+1=2，∴a=2，‎ ‎∴点P的坐标为（2，1）；‎ ‎（Ⅱ）过F的直线方程为 由有 设，则，‎ 在弧上，要使面积最大时，则过点的直线平行于直线且与抛物线相切 设直线方程为 由有 直线与抛物线相切时， 有 此时，两直线的距离为 ‎ ‎ ‎21【解析】（1）是的中点，是等腰直角三角形，易知，,即.又平面平面,面面面,又面.‎ ‎（2）法一：分别以所在的直线为轴、轴，过垂直于平面的射线为轴，建立空间直角坐标系，则.‎ 设平面的法向量为;平面的法向量为.由 ‎，‎ 二面角的余弦值为.‎ 法二：取EC中点O，连结D’O,则平面,找出二面角的平面角 考点：空间中直线与平面的垂直关系及二面角的求法.‎ ‎22【解析】（I）依题意可设椭圆的方程为，则 因为抛物线的焦点坐标为，所以 又因为，所以，所以 故椭圆的方程为.……………5分 ‎（II）由题意易知直线的斜率存在，所以可设直线：，即 ‎∵直线和圆相切 ∴，即①‎ 联立方程组 消去整理可得，‎ ‎∵直线和椭圆相切 ‎∴，即②‎ 由①②可得 现在设点的坐标为，则有，‎ ‎，‎ 所以，‎ 所以 等号仅当,即取得 故当时，取得最大值，最大值为.‎