高中数学必修4：2_4_1平面向量的数量积的物理背景及其含义（教、学案）

高中数学必修4：2_4_1平面向量的数量积的物理背景及其含义（教、学案）

‎2. 4.1‎平面向量的数量积的物理背景及其含义 一、教材分析 ‎ 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.‎ 二．教学目标 ‎1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；‎ ‎2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；‎ ‎3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。‎ 三、教学重点难点 重点： 1、平面向量数量积的含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。‎ 难点：平面向量数量积的概念 四、学情分析 我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细 五、教学方法 ‎1．实验法：多媒体、实物投影仪。‎ ‎2．学案导学：见后面的学案。‎ ‎3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 ‎1．学生的学习准备：预习学案。‎ ‎2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。。‎ 七、课时安排：1课时 八、教学过程 ‎(一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。‎ ‎（二）情景导入、展示目标。‎ 创设问题情景，引出新课 ‎1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？‎ 期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。 ‎ ‎2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？‎ 期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用 ‎3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义 ‎ ‎（三）合作探究，精讲点拨 探究一：数量积的概念 S F α ‎1、给出有关材料并提出问题3：‎ ‎（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，‎ 那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。 ‎ ‎（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：‎ ‎①W（功）是 量，‎ ‎②F（力）是 量，‎ ‎③S（位移）是 量，‎ ‎④α是 。‎ ‎（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?‎ 期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积 ‎2、明晰数量积的定义 （1） 数量积的定义：‎ 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 ︱︱·︱b︱cos叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·= ︱︱·︱︱cos ‎（2）定义说明：‎ ‎①记法“·”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 ‎ ‎② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。‎ ‎（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？‎ ‎ 期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。‎ ‎（4）学生讨论，并完成下表：‎ 的范围 ‎0°≤<90°‎ ‎=90°‎ ‎0°<≤180°‎ ‎·的符号 例1 ：已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求·.‎ 解：①当∥时，若与同向，则它们的夹角θ＝０°，‎ ‎∴·＝｜｜·｜｜cos0°＝3×6×1＝18；‎ 若与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，‎ ‎∴·＝｜｜｜｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；‎ ‎②当⊥时，它们的夹角θ＝90°，‎ ‎∴·＝０；‎ ‎③当与的夹角是60°时，有 ‎·＝｜｜｜｜cos60°＝3×6×＝9‎ 评述： 两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当∥时，有0°或180°两种可能. ‎ 变式：对于两个非零向量、，求使|+t|最小时的t值，并求此时与+t的夹角。‎ 探究二：研究数量积的意义 ‎1.给出向量投影的概念：‎ 如图，我们把││cos（││cos）‎ 叫做向量在方向上（在方向上）的投影，‎ 记做：OB1=︱││︱cos ‎2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？‎ 期望学生回答：数量积·等于的长度︱︱与在的方向上的投影 ‎︱︱cos 的乘积。‎ ‎ 3. 研究数量积的物理意义 ‎ 请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积 。‎ 探究三：探究数量积的运算性质 ‎1、提出问题6：‎ 比较︱·︱与︱︱×︱︱的大小，你有什么结论？ ‎ ‎ 设和b都是非零向量，则 ‎ 1、⊥ ·=0‎ ‎ 2、当与同向时，︱·︱=︱︱︱︱；当与反向时，‎ ‎︱·︱= -︱︱︱︱， 特别地，·=︱︱2或︱︱=‎ ‎ 3、︱·︱≤︱︱×︱︱‎ ‎2、明晰：数量积的性质 ‎3.数量积的运算律 ‎ （1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？‎ 预测：学生可能会提出以下猜想：‎ ① ‎·= · ‎ ② ‎（·）= (·) ‎ ‎③（ + ）· =· + ·‎ ‎ （2）、分析猜想：‎ 猜想①的正确性是显而易见的。‎ 关于猜想②的正确性，请同学们先来讨论：猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？‎ 期望学生回答：左边是与向量共线的向量，而右边则是与向量共线的向量，显然在向量与向量不共线的情况下猜测②是不正确的。‎ ‎ （3）、明晰：数量积的运算律：‎ 已知向量、 、和实数λ，则：‎ ‎（1）·= · （2）（λ）·=λ（·)= ·（λ）‎ ‎（3）（ + ）·=· + ·‎ 例2、（师生共同完成）已知︱︱=6，︱︱=4, 与的夹角为60°，求（+2 ）·（-3），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？‎ 解：（+2 ）·（-3）=.-3.+2.-6.‎ ‎ =36-3×4×6×0.5-6×4×4‎ ‎ = -72‎ 评述：可以和实数做类比记忆数量积的运算律 变式：（1）(+)2=2+2·+2 ‎ ‎（2）(+ )·(-)= 2—2‎ ‎（四）反思总结，当堂检测。‎ 教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。‎ 设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）‎ ‎（五）发导学案、布置预习。‎ 我们已经学习平面向量数量积的物理背景及含义，那么，在下一节课我们一起来学习数量积的坐标运算。模。夹角。这节课后大家可以先预习这一部分，着重分析坐标的作用 设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。‎ 九、板书设计 平面向量数量积的物理背景及其含义 一、 数量积的概念 二、数量积的性质 四、应用与提高 1、 概念： 例1：‎ 2、 概念强调 （1）记法 例2：‎ ‎（2）“规定” 三、数量积的运算律 ‎ ‎3、几何意义：‎ ‎4、物理意义：‎ 十、教学反思 本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。我首先安排让学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格，其次将数量积的几何意义提前，这样使学生从代数和 几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现，为了让学生很好的完成这两个探究活动，我始终按照先创设一定的情景，让学生去发现结论，教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明。比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。‎ ‎2.4.1‎平面向量的数量积的物理背景及其含义 课前预习学案 一、预习目标：‎ 预习平面向量的数量积及其几何意义；平面向量数量积的重要性质及运算律；‎ 二、预习内容：‎ ‎1.平面向量数量积（内积）的定义： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3．“投影”的概念：作图 ‎4.向量的数量积的几何意义： ‎ ‎5．两个向量的数量积的性质：‎ 设、为两个非零向量，e是与同向的单位向量.‎ ‎1° e×= e = ‎ ‎2° ^Û× = ‎ 设、为两个非零向量，e是与同向的单位向量.‎ e× =×e = ‎ ‎3° 当与同向时，×= 当与反向时，× = 特别的×= ||2或 ‎4° cosq = ‎ ‎5° |×| ≤ ||||‎ 三、提出疑惑：‎ 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 一、学习目标 ‎1说出平面向量的数量积及其几何意义；‎ ‎2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；‎ ‎3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；‎ 学习重难点：。平面向量的数量积及其几何意义 二、学习过程 创设问题情景，引出新课 ‎1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？‎ ‎2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？‎ ‎3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义 ‎ 探究一：‎ 数量积的概念 S F α ‎1、给出有关材料并提出问题3：‎ ‎（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，‎ 那么力F所做的功：W= ‎ ‎（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：‎ ‎①W（功）是 量，‎ ‎②F（力）是 量，‎ ‎③S（位移）是 量，‎ ‎④α是 。‎ ‎（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?‎ ‎2、明晰数量积的定义 ‎（1）数量积的定义：‎ 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 ︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·= ︱︱·︱︱cos ‎（2）定义说明：‎ ‎①记法“·”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 ‎ ‎② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。‎ ‎（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？‎ ‎ ‎ ‎（4）学生讨论，并完成下表：‎ 的范围 ‎0°≤<90°‎ ‎=90°‎ ‎0°<≤180°‎ ‎·的符号 例1 ：已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求·.‎ 解： ‎ 变式：‎ ‎. 对于两个非零向量、，求使|+t|最小时的t值，并求此时与+t的夹角.‎ 探究二：研究数量积的意义 ‎1.给出向量投影的概念：‎ 如图，我们把││cos（││cos）‎ 叫做向量在方向上（在方向上）的投影，‎ 记做：OB1=︱││︱cos ‎2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？‎ ‎ 3. 研究数量积的物理意义 ‎ 请同学们用一句话来概括功的数学本质：‎ ‎ ‎ 探究三：探究数量积的运算性质 ‎1、提出问题6：比较︱·︱与︱︱×︱︱的大小，你有什么结论？‎ ‎2、明晰：数量积的性质 ‎ 设和b都是非零向量，则 ‎ 1、⊥ ·=0‎ ‎ 2、当与同向时，︱·︱=︱︱︱︱；当与反向时，‎ ‎︱·︱= -︱︱︱︱， 特别地，·=︱︱2或︱︱=‎ ‎ 3、︱·︱≤︱︱×︱︱‎ ‎3.数量积的运算律 ‎ （1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也用？‎ ‎ （2）、明晰：数量积的运算律：‎ 已知向量、 、和实数λ，则：‎ ‎（1）·= · （2）（λ）·=λ（·)= ·（λ）‎ ‎（3）（ + ）·=· + ·‎ 例2、（师生共同完成）已知︱︱=6，︱︱=4, 与的夹角为60°，求（+2 ）·（-3），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？‎ 解：‎ 变式：（1）(+)2=2+2·+2 ‎ ‎（2）(+ )·(-)= 2—2‎ ‎（三）反思总结 ‎ ‎ ‎(四)当堂检测 ‎1 .已知||=5， ||=4， 与的夹角θ=120o，求·.‎ ‎2. 已知||=6， ||=4，与的夹角为60o求(+2)·(-3)‎ ‎.‎ ‎3 .已知||=3， ||=4， 且与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直. ‎ ‎4.已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与 的夹角是60°时，分别求·.‎ ‎5.已知||=1，||=，(1)若∥，求·；(2)若、的夹角为６０°，求|+|；(3)若-与垂直，求与的夹角.‎ ‎6.设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量=‎2m+n与=2n‎-3m的夹角.‎ 课后练习与提高 ‎1.已知||=1，||=，且(-)与垂直，则与的夹角是（ ）‎ A.60° B.30° C.135° D.４５°‎ ‎2.已知||=2，||=1，与之间的夹角为，那么向量m=-4的模为（ ）‎ A.2 B‎.2 ‎C.6 D.12‎ ‎3.已知、是非零向量，则||=||是(+)与(-)垂直的（ ）‎ A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.已知向量、的夹角为，||=2，||=1，则|+|·|-|= .‎ ‎5.已知+=2i-8j，-=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么·= .‎ ‎6.已知⊥、c与、的夹角均为60°，且||=1，||=2，|c|=3，则(+2-c)２＝______.‎