2020学年高一数学下学期期末考试试题 理 人教新目标版 新版

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汕头市金山中学2019学年度第二学期期末考试 高一理科数学 试题卷 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.‎ 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）‎ 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．设全集，集合，，则（ ）‎ A．　　　 B． C． D．‎ ‎2．下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．设，，，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．在边长为的菱形中,,则在方向上的投影为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．函数的零点所在的区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设,若,则（ ）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎7．为了研究某班学生的脚长（单位厘米）和身高（单位厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知 9‎ ‎，，．该班某学生的脚长为，据此估计其身高为（ ）‎ ‎ ‎ ‎8．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于的区域内的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．执行如图的程序框图，已知输出的。若输入的，则实数的最大值为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4 ‎ ‎10．若函数，又，且的最小值为，则正数的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．各项均为正数的等差数列中，前项和为，当时，有，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数有唯一零点，则负实数（ ）‎ A． B． C．-3 D．-2‎ 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）‎ 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．如果，且是第四象限的角，那么 。‎ ‎14．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为 。‎ ‎15．若实数满足，则的最大值为 。‎ 9‎ ‎16．非零向量的夹角为，且满足，向量组由一个和两个排列而成，向量组由两个和一个排列而成，若所有可能值中的最小值为，则 ． ‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 如图中，已知点在边上，且，．‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 设数列的前项和为，已知， .‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和。‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知某山区小学有100名四年级学生，将全体四年级学生随机按00～99编号，并且按编号顺序平均分成10组．现要从中抽取10名学生，各组内抽取的编号按依次增加10进行系统抽样.‎ ‎（1）若抽出的一个号码为22，则此号码所在的组数是多少？据此写出所有被抽出学生的号码；‎ ‎（2）分别统计这10名学生的数学成绩，获得成绩数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；‎ ‎（3）在（2）的条件下，从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，求被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率．‎ 9‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量（百斤）与使用某种液体肥料（千克）之间对应数据为如图所示的折线图． ‎ ‎（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合与的关系？请计算相关系数并加以说明（精确到0．01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）‎ ‎（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制，并有如下关系：‎ 周光照量（单位：小时）‎ 光照控制仪最多可运行台数 ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．‎ 附：相关系数公式，参考数据，．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 在数列中，，，，。‎ ‎（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，，求数列的前项和.‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 设为实数，函数．‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）讨论的单调性；‎ ‎（3）当时，讨论在区间内的零点个数．‎ 9‎ 汕头市金山中学2019学年度第二学期期末考试 高一理科数学 参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 选项 C C D C B C C A D B A C 二、填空题 ‎13．． 14． 3 15． 16． ‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）因为，所以,‎ 所以． …………………………………………………………………………………1分 在中，由余弦定理可知，‎ 即, ………………………………………………………………………………3分 解之得或, 由于,所以．………………………………………5分 ‎（2）在中，由正弦定理可知，,‎ ‎ 又由可知 ………………………………………………………7分 ‎ 所以 ……………………………………………………………8分 ‎ 因为，即…………………………………………10分 ‎18．解：（1）∵当时， ，∴. ∴. ……2分 9‎ ‎∵，，∴. ……………………………………………………………………………3分 ‎∴数列是以为首项，公比为的等比数列. ……………………………………………………4分 ‎∴. ………………………………………………………………………………………6分 ‎（2）由（1）得， ………………………8分 当时， ……………………………………………………10分 ‎∴。 ……………………………12分 ‎19． 解：（1）由题意，得抽出号码为22的组数为3. ………………………………………………………………………………………1分 因为2＋10×(3－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为02，抽出的10名学生的号码依次分别为：02， 12， 22， 32， 42，52，62，72，82，92. ………………………………………………………………………3分 ‎（2）这10名学生的平均成绩为： ×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，‎ 故样本方差为：（102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122）＝52. ………………………6分 ‎（3）从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，共有如下10种不同的取法：‎ ‎（73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）. ……………………………………………………………………………………………………8分 其中成绩之和不小于154分的有如下7种：（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）. ……………………………………………………………………………………………10分 故被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率为：。 ………………………………12分 ‎20．解：（1）由已知数据可得，．…………………1分 因为 …………………………………………2分 9‎ ‎ …………………………………………………3分 ‎ ………………………………………………………4分 所以相关系数．…………………5分 因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系．……………………………………………6分 ‎（2）记商家周总利润为元，由条件可得在过去50周里：‎ 当时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，周总利润=1×3000-2×1000=1000元…8分 当时，共有35周，此时2台光照控制仪运行，周总利润=2×3000-1×1000=5000元．9分 当时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，周总利润=3×3000=9000元．……………10分 所以过去50周周总利润的平均值元，‎ 所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元． …………………………………………………12分 ‎21．解析：（1）由 ，得，………………………………2分 又， ，所以，……………………………………………………………………3分 所以是首项为，公比为的等比数列．所以， ……………………………4分 所以. ……………………………6分 ‎（2）,， ……………………………………………7分 9‎ ‎，………………………………………………………………………………………8分 又 ………………………………………………………………10分 ‎ ‎ 所以数列的前项和为. …………………………………………………………………12分 ‎22．解：（1），因为，所以，‎ 当时，，显然成立；……………………………………………………………………………1分 当，则有，所以.所以.……………………………………………………2分 综上所述，的取值范围是.………………………………………………………………………3分 ‎（2）…………………………………………………………………4分 对于，其对称轴为，开口向上，‎ 所以在上单调递增；…………………………………………………………………………5分 对于，其对称轴为，开口向上，‎ 所以在上单调递减. …………………………………………………………………………6分 综上所述，在上单调递增，在上单调递减. ………………………………………7分 ‎（3）由（2）得在上单调递增，在上单调递减，所以.8分 ‎(i)当时，，‎ 令，即（）.‎ 9‎ 因为在上单调递减，所以 而在上单调递增，，所以与在无交点.‎ 当时，，即，所以，所以，因为，所以，即当时，有一个零点.………9分 ‎(ii)当时，，‎ 当时，，，而在上单调递增，‎ 当时，.下面比较与的大小 因为 所以…………………………………………………………………………………10分 结合图象不难得当时，与有两个交点. ………………………………………11分 综上所述，当时，有一个零点；当时，有两个零点. ………12分 9‎